Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2013 – 2014 môn thi chuyên: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NINH THUẬN NĂM HỌC 2013 – 2014 Khóa ngày: 23 – 6 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi chuyên: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) -------------------------------- ĐỀ: (Đề này gồm 01 trang) Bài 1 (2,0 điểm) Cho phương trình: x4 – 3x2 + 2 – 2m = 0 (1) Giải phương trình (1) khi m = 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Bài 2 (2,0 điểm) Giải phương trình : Bài 3 (2,0 điểm) Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 7. Chứng minh rằng hiệu các lập phương của hai chữ số của số đó chia hết cho 7. Bài 4 (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC. Gọi A là một điểm trên nửa đường tròn sao cho AB < AC. Dựng về phía tia đối của tia AB hình vuông ACDE ; AD cắt nửa đường tròn tại H; BH cắt DE tại K. Chứng minh rằng CK là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng : AB = DK. Bài 5 (1,5 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua A và B, gọi DE là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với d. CD và CE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Khi đường tròn (O) thay đổi thì hai điểm M và N di động trên đường cố định nào ? -------- Hết -------- BÀI GIẢI Bài 1: (2,0 điểm) Phương trình: x4 – 3x2 + 2 – 2m = 0 (1) a) Với m = 3 phương trình (1) trở thành: x4 – 3x2 – 4 = 0 Đặt x2 = t ( t0), phương trình (2) trở thành: t2 – 3t – 4 = 0 t1 = – 1 (loại) ; t2 = 4 (nhận) Do đó: t = 4 x2 = 4 x = Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 2 ; x2 = – 2 b) Đặt x2 = t ( t0), phương trình (1) trở thành: t2 – 3t + 2 – 2m = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình : (ĐK : x ) Đặt , Phương trình tương đương với : Kiểm tra : x = 5 (TMĐK) Vậy : Phương trình đã cho có nghiệm : x = 5 Bài 3: (2,0 điểm) Gọi số có hai chữ số là : ( Ta có: 7 Hay: 7 Suy ra: (10a + b)3 7 (Vì: (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ) (*) Ta có: 1001a3 7 (vì 1001 7) 3.10a.b(10a + b) 7 (vì: 10a + b 7) Nên suy ra: -a3 + b 7 (đpcm) Bài 4: (2,5 điểm) (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) Suy ra: Vậy: Tứ giác CDKH nội tiếp (cùng chắn và do AD là đường chéo hình vuông) Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn) Suy ra Vậy: CK là tiếp tuyến của nũa đường tròn đường kính BC. b) ABC và DKC có: Vậy: ABC =DKC (g.c.g), suy ra AB = DK Bài 5: (1,5 điểm) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của CA với DE và EM. Do A, B, C cố định nên H cố định. CMK và CHD có: Vậy: CMK CHD (g.g) CMB và CAD có: Vậy: CMB CAD (g.g) Từ (1) và (2) Tam giác CDE có K là trực tâm nên DN cũng đi qua điểm K cố định. Mà (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) Vậy: Khi đường tròn (O) thay đổi thì hai điểm M và N di động trên đường tròn cố định đường kính CK, với .