Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT chuyên – Năm học 2008 – 2009

UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn : Toán (Môn chung) – Ngày thi : 26/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1. (2.0 điểm) Cho biểu thức (với x ≥ 0 và x ≠ 1) a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 + 2. Câu 2. a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1 ; - 2) và song song với đường thẳng y = 2x – 1. b. Giải hệ phương trình Câu 3. (1,5 điểm) Quãng đường AB dài 120 km. Một ôtô khởi hành từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy khởi hành từ B về A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 24 kim/h. Ôtô đến B được 50 phút thì xe máy về tới A. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m + 2)x + 3m + 1 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Chứng minh rằng biểu thức M = x1(3 – x2) + x2(3 – x1) không phụ thuộc vào m. Câu 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và E cắt nhau tại N, tia CN và tia AE cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng AB và CE. a. Chứng minh tứ giác AQPC nội tiaaps một đường tròn. b. Chứng minh EN // BC. c. Chứng minh ----------Hết---------- UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn : Toán (Môn chung) – Ngày thi : 26/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu ý Đáp án Điểm 1 2 đ a. 1.25 đ = 0.5 đ = 0.25 đ = 0.25 đ = 0.25 đ b. 0.75 đ Ta có x = 0.25 đ 0.25 đ = 0.25 đ 2 2 đ a. 0.75 đ Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x – 1 nên phương trình có dạng y = 2x + b 0.25 đ Đường thẳng d đi qua A(1 ; - 2) nên ta có : - 2 = 2.1 + b Û b = - 4 0.25 đ Vậy (d) : y = 2x - 4 0.25 đ b. 1.25 đ Điều kiện : x ≠ 0 ; y ≠ 0 0.25 đ Đặt u = ; v = . Hệ đã cho viết lại 0.5 đ Û 0.25 đ Suy ra 0.25 đ 3 1.5 đ Gọi x (km/h) là vận tốc ôtô (x > 24). Ta có vận tốc xe máy là (x – 24) km/h 0.25 đ Thời gian ôtô đi từ A đến B là (h). Thời gian xe máy đi từ B về A là (h) 0.25 đ Đổi 50 phút = giờ. Vì ôtô đến B được 5/6 giờ thì xe máy về tới A, nên ta có phương trình : 0.25 đ hay x2 – 24x – 3456 = 0 0.25 đ Giải phương trình ta được x = 72 ; x = - 48. So điều kiện chọn được x = 72 0.25 đ Vậy vận tốc ôtô là 72 (km/h), vận tốc xe máy là 72 – 24 = 48 (km/h) 0.25 đ 4 1.5 đ a. 0.75 đ Ta có r’ = m2 + m + 3 0.25 đ = với mọi m 0.25 đ Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm 0.25 đ b. 0.75 đ Theo hệ thức Viète ta có : x1 + x2 = 2(m + 2) ; x1.x2 = 3m + 1 0.25 đ M = 3(x1 + x2) – 2x1x2 0.25 đ = 3.2(m + 2) – 2(3m + 1) = 10 Vậy M không phụ thuộc vào m. 0.25 đ 5 3 đ a. 1.25 đ Tia AE là tia phân giác của góc BAC nên 0.25 đ Ta có sđ và sđ 0.5 đ Do đó 0.25 đ Tứ giác AQPC có hai đỉnh liên tiếp A, C cùng nhìn cạnh PQ dưới hai góc bằng nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn 0.25 đ b. 1 đ Ta có NE = NC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Þ rENC cân tại N Þ 0.25 đ Mặc khác (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn hai cung bằng nhau) 0.25 đ Suy ra (hai góc này ở vị trí so le trong) 0,25 đ Þ NE // BC 0.25 đ c. 0.75 đ Trong rPCD có EN // CD nên 0.25 đ Þ 0.25 đ Vậy 0.25 đ * Hướng dẫn chấm : 1. Chấm theo đúng đáp án và biểu điểm. 2. Điểm chi tiết từng ý nhỏ của mỗi bài là 0.25 đ. Tổng điểm toàn bài không làm tròn. 3. Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa. Nếu chỉ đúng một phần trên nào đó của bài thì căn cứ vào biểu điểm để cho điểm. UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn : Toán (Môn chuyên) – Ngày thi : 27/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1. (2.5 điểm) a. Rút gọn biểu thức : (x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9) b. Tính giá trị của biểu thức : P = a3 + b3 – 3(a + b), biết rằng a = ; b = Câu 2. (1.5 điểm) Cho phương trình x4 +x2 – m2 – 1 = 0 (1) a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m. b. Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (1) thỏa mãn Câu 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : Câu 4. (1.0 điểm) Cho hàm số y = 2x + 3 có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm và cắt trục Oy tại B. Tìm tọa độ điểm A và tính diện tích tam giác OAB (theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet). Câu 5. (2.5 điểm) Trên đường thẳng d cho ba điểm A, B, C (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C (tâm O của đường tròn không thuộc đường thẳng d). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và MN. a. Chứng minh AM2 = AB.AC. b. Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh NK // AB c. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm E) khi đường tròn (O) thay đổi. Câu 6. (1.0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức 2x2 + 4y2 + = 4. Tìm x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. ----------Hết---------- UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn : Toán (Môn chuyên) – Ngày thi : 27/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu ý Đáp án Điểm 1 2.5 đ a 1.5 đ Rút gọn biểu thức : (x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9) = 0.5 = 0.25 = 0.5 = 0.25 b 1.0 đ Tính giá trị của biểu thức : P = a3 + b3 – 3(a + b) biết rằng a = ; b = Ta có a + b = = 3 + + 3 - = 6 0.25 a.b = 0.25 P = a3 + b3 – 3(a + b) = (a + b)3 – 3ab(a + b) – 3(a + b) 0.25 = 63 – 3.7.6 – 3.6 = 72 0.25 2 1.5 đ a 0.75 đ x4 + x2 – m2 – 1 = 0 (1) Đặt t = x2 (t ≥ 0). (1) trở thành : t2 + t – m2 – 1 = 0 (1’) 0,25 Vì a.c = 1.(- m2 – 1) = - m2 – 1 0 0.25 Vậy phương trình (1) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt x1, 2 = 0.25 b 0.75 đ Û 0.25 Û 0.25 T2 là một nghiệm của phương trình (1’) Þ m2 + 1 = t22 + t2 ≤ 2 Û m2 ≤ 1 Û 0.25 3 1.5 đ Giải hệ phương trình : (I) ĐK : x ≠ 0 và y ≠ 0 0.25 Hệ phương trình (I) trở thành 0.5 Đặt u = x + ; v = y + Hệ phương trình trở thành : 0.25 Þ u, v là hai nghiệm của phương trình : X2 – 4X + 4 = 0 Phương trình này có nghiệm X1 = X2 = 2 nên u = v = 2 0.25 Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1) 0.25 4 1.0 đ Điểm A thuộc đường thẳng y = 2x + 3 Þ 0.25 Đường thẳng y = 2x + 3 cắt trục Ox tại B(0 ; 3) (hình vẽ) 0.25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy (cm2) 0.5 5 2.5 đ a 0.5 đ Xét rABM và rAMC có = và = (cùng chắn cung ) Þ rABM ~ rAMC 0.25 Þ AM2 = AB.AC (đpcm) 0.25 b 1.0 đ Ta có : . Suy ra 5 điểm A, M, E, O, N nằm trên đường tròn đường kính AO 0.25 Þ (cùng chắn cung AM) 0.25 (cùng chắn cung NM) 0.25 Þ Þ NK // AB (đpcm) 0.25 c 1.0 đ Gọi H là giao điểm của BC với MN. Ta có tứ giác OFHE nội tiếp đường tròn đường kính OH. Þ rAHO ~ rAFE Þ AH.AE = AF.AO 0.25 rAMO vuông tại M, MF là đường cao Þ AM2 = AF.AO 0.25 Mà AM2 = AB.AC Þ AH.AE = AB.AC không đổi 0.25 Þ AH không đổi Þ H cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn đi qua điểm H cố định 0.25 6 1.0 đ 2x2 + 4y2 + = 4 Û + (x2 + 4xy + 4y2) – 4xy – 2 = 0 0.25 Û 4xy = + (x + 2y)2 – 2 ≥ - 2 Û xy ≥ - 0.25 Đẳng thức xảy ra khi hoặc 0.25 Vậy giá trị nhỏ nhất của xy bằng - khi (x ; y) = (1 ; - ) hoặc (x ; y) = (- 1 ; ) 0.25