Kyì thi chon hoc sinh giỏi THCS năm hoc 2006 - 2007 môn Toán lớp 9

PHOèNG GIAẽO DUÛC TP. HUÃÚ KYè THI CHOĩN HOĩC SINH GIOÍI THCS NÀM HOĩC 2006 - 2007 MÄN TOAẽN - LÅẽP 9 Thồỡi gian: 120 phuùt (khọng kóứ thồỡi gian giao õóử) Baỡi 1 (2 õióứm): Cho bióứu thổùc a) Phỏn tờch A thaỡnh nhỏn tổớ. b) Tỗm càỷp sọỳ x, y thoaớ maợn õióửu kióỷn y - x = õọửng thồỡi A = 0 Baỡi 2 (2 õióứm): Cho bióứu thổùc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 vồùi x, y, z, t laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm. Tỗm caùc giaù trở cuớa x, y, z, t õóứ bióứu thổùc M coù giaù trở nhoớ nhỏỳt thoaớ maợn õióửu kióỷn: 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Baỡi 3 (2 õióứm): Cho haỡm sọỳ f(x) = (x ẻ R) a) Chổùng minh ràũng vồùi hai giaù trở x1 , x2 tuyỡ yù cuớa x sao cho 1≤ x1< x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) Vồùi giaù trở naỡo cuớa x thỗ Baỡi 4 (4 õióứm): Cho tam giaùc cỏn ABC (AB = AC), õổồỡng cao AH. Trón caỷnh BC lỏỳy 2 õióứm M vaỡ E sao cho ME = BC (BM < BE). Qua M keớ õổồỡng thàúng vuọng goùc vồùi BC càừt AB taỷi D. Qua E keớ õổồỡng thàúng vuọng goùc vồùi DE càừt õổồỡng thàúng AH taỷi N. a) Chổùng minh: BM . BH = MD . HN b) Chổùng toớ N laỡ mọỹt õióứm cọỳ õởnh. c) Bióỳt AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tờnh khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp cuớa tam giaùc ABC. HặÅẽNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃệ THI HOĩC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007 Mọn: Toaùn - Lồùp 9 Baỡi 1(2 õióứm) a) (1 õióứm) (0,5 õ) (0,5 õ) b) (1 õióứm) hoàỷc hoàỷc Û Û Û * Hóỷ phổồng trỗnh vọ nghióỷm Û Û * Û Û * hoàỷc Û Û hoàỷc Vỏỷy coù 3 càỷp sọỳ thoớa maợn õióửu kióỷn A = 0 vaỡ laỡ: (; ) ; (x = ; y = ) vaỡ (; ) Baỡi 2 (2 õióứm) Tổỡ 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaỡ x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2 3M = 198 + 7t2 Giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66 khi t = 0 Do õoù: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaỡ x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2) Tổỡ (1) ị (x + y)(x - y ) = 15 Vỗ x, y laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm, nón x + y = 15 vaỡ x - y = 1 (3) Hoàỷc: x + y = 5 vaỡ x - y = 3 (4) Tổỡ (3) ị x = 8, y = 7, caùc giaù trở naỡy khọng thoớa (2) Tổỡ (4) ị x = 4, y = 1. Thay vaỡo (2) ta coù: 16 + 8 + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16 z = 4 (z = - 4 loaỷi) Vỏỷỷy giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0 Baỡi 3 (2 õióứm) a) 1 õióứm - Vồùi x1 = 1, x2 >1 thỗ f(x1) = 0, f(x2) > 0 nón f(x1) < f(x2) - Nóỳu x ạ 1, ta coù Vồùi 1 Do õoù: < hay f(x1) < f(x2) Vỏỷy vồùi 1Ê x1 < x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) 1 õióứm f(x) > > > > 0 Û x (x - 2) > 0 Û x > 2 hoàỷc x < 0 (1) f(x) <Û< Û 4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6 Û x2 - 2x - 2 < 0 Û (x - 1)2 - 3 < 0 Û (x -1 + ) (x - 1 - ) < 0 Û 1 - < x < 1 + (2) Tổỡ (1) vaỡ (2) suy ra < f(x) < Û 1 - < x < 0 hoàỷc 2 < x < 1 + Baỡi 4 (4 õióứm) A D B M H E C N a) Xeùt D MDE vaỡ D HEN coù: = = 900 = (goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng goùc) nón DMDE ∾ DHEN , suy ra: Hay MD.HN = HE.ME Do BH = ME () nón BM = HE Do õoù: MD.HN = BM.BH (1) b) Tổỡ (1) ị (2) DABH coù MD//AH nón (3) Tổỡ (2) vaỡ (3) ị ị N ẻ AH cọỳ õởnh vaỡ HN khọng thay õọứi nón N laỡ õióứm cọỳ õởnh. c) A K I P B H C BC = 6cm ị BH = 3cm DAHB () coù AH2 = AB2 - BH2 = 52 - 32 = 16 = 42 ị AH = 4cm Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK laỡ phỏn giaùc cuớa vaỡ K AH. Do õoù: Suy ra: KH = 1,5cm KA = 2,5cm Goỹi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp DABC thỗ IP laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa caỷnh AB vaỡ I AH nón . DABH () coù cos () DAPI () coù cos ()ị Do õoù KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Vỏỷy khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn ngoỹai tióỳp vaỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp cuớa tam giaùc ABC laỡ 0,625cm.