Lạm bàn về việc thiết kế bài toán cực trị vật lý dựa vào các bất đẳng thức phổ dụng

LẠM BÀN VỀ VIỆC THIẾT KẾ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VẬT LÝ DỰA VÀO CÁC BẤT ðẲNG THỨC PHỔ DỤNG. I. DẪN NHẬP : Cuộc sống là chuỗi quá trình tiến hoá và ñào thải. Hoà nhập vào cuộc sống, con người luôn mong muốn những sự việc, hiện tượng xảy ra xung quanh ta ñạt ñến sự tối ưu (optimum),viên mãn; cố gắng loại trừ ñi những trở ngại, kìm hãm bước phát triển theo quy luật tự nhiên. Nhận thức ñúng ñắn về khoa học vật lý nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung, thiển nghĩ vẫn không nằm ngoài quy luật nêu trên. Một biểu hiện cụ thể ñáng kể của khoa học vật lý là khảo sát các biến cố ñể tìm sự tối ưu : xem xét ñại lượng nào ñó trong hiện tượng sao cho nó ñạt ñến trạng thái cực trị (maximum and minimum). Xuất phát từ ý tưởng này, chúng tôi cố gắng thử ñưa ra vài mẩu xây dựng bài toán cực trị vật lý lấy chất liệu chính từ các bất ñẳng thức toán học thường dùng. II. CƠ SỞ THIẾT KẾ : 1. Bất ñẳng thức Cauchy : (không mở rộng) Thiết lập năm 1821. ðiều kiện : Cho a, b ≥ 0 Nội dung : 2 a b ab + ≥ (Diễn ý : Trung bình cộng 2 số không âm sẽ chẳng bao giờ thua trung bình nhân của chúng). Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2. Bất ñẳng thức Savart : (không mở rộng) ðiều kiện : Cho a, b, x, y bất kỳ Nội dung : 2 2 2 2ax+by ( )( )a b x y≤ + + Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hoặc ay = bx (x, y không ñồng thời triệt tiêu). 3. Bất ñẳng thức Bunhiacovxki : (không mở rộng) ðiều kiện : Cho a, b, x, y bất kỳ Nội dung : 2 2 2 2 2(ax+by) ( )( )a b x y≤ + + Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hoặc ay = bx. Hệ quả khác : Nếu a = b = 1 → 2 2 2( ) 2( )x y x y+ ≤ + . [Cần nói thêm : Thường nhầm Bunhiacovxki là dẫn xuất của Savart bằng cách bình phương 2 vế. Thiệt ra, Bunhiacovxki công bố vào năm 1859, trong khi Savart sử dụng bất ñẳng thức trong các công trình của ông mãi tận năm 1884 !. Có thể : tư tưởng lớn thường gặp nhau chăng ? (Nhận ñịnh của kẻ viết bài này)] 4. Bất ñẳng thức Bernoulli : ðiều kiện : Cho a > -1 và n ∈ N* Nội dung : (1 ) 1na na+ ≥ + Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1. III. PHẦN TRƯNG DẪN : 1. Dùng bất ñẳng thức Cauchy : ðặt vấn ñề : Có n ñiện trở khác nhau : R1, R2, ……, Rn. Nếu mắc chúng nối tiếp thì ñiện trở tương ñương là Rtñ. Nếu mắc chúng song song mỗi nhánh một ñiện trở thì ñiện trở tương ñương là R’tñ. Chứng minh rằng : 2' td td R n R ≥ . Trường hợp nào xảy ra dấu “=” ? Tìm hiểu : Ta có : Rtñ = R1 + R2 + ……. + Rn Vận dụng bñt Cauchy cho n số không âm : R1 + R2 + ……. + Rn 1 2.............n nn R R R≥ (1) Ta có : 1 2 1 1 1 1 ........ 'td nR R R R = + + + Vận dụng bñt Cauchy cho n số không âm : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ........ .......... 1 1 1 1 ...... ......... n n n n n n n R R R R R R n R R R R R R + + ≥ ⇔ + + + ≥ (2) Lấy (1) x (2) vế theo vế ta ñược : 2 ' td td R n R ≥ (ñpcm) Dấu “=” xảy ra khi n ñiện trở có trị số bằng nhau. 2. Dùng bất ñẳng thức Bunhiacovxki : ðặt vấn ñề : Dùng dây kéo vật có khối lượng m trượt ñều trên mặt ngang. Dây nghiêng góc α lên trên so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là µ. Phải kéo lực F ít nhất bao nhiêu ? Lúc ñó, cần nghiêng góc α mấy ñộ ? Thử số liệu : m = 50 (kg), µ = 0,5, g = 10 (m/s2). m F α Tìm hiểu : Phân tích lực tác dụng vào vật, viết biểu thức ñịnh luật II Newton, chiếu biểu thức lên 2 phương Ox, Oy phù hợp và từ ñó tìm ñược : ( ) os + sin m a g F c µ α µ α + = Thấy rằng : Fmin → (cosα + µsinα)max Vận dụng bñt Bunhiacovxki : 2 2 max os + sin 1+ ( os + sin ) 1 c c α µ α µ α µ α µ ≤ ⇒ = + Do ñó : min 2 ( ) 50(0 0,5.10) 100 5 223,6 1 0,251 m a g F µ µ + + = = = ++ ≃ (N) Mặt khác, dấu “=” xảy ra khi sinα = µcosα → µ = tgα → α = arctg µ = arctg 0,5 ≃ 26033’ 3. Dùng bất ñẳng thức Bernoulli : ðặt vấn ñề : Xác ñịnh lực hút mạnh nhất của trái ñất ñối với tàu vũ trụ “Phương ðông” ñang ở ñộ cao h ? Thử số liệu : m = 2 (tấn), h = 320 (km), lấy g0 = 10 (m/s 2), R = 6400 (km). O R h Tìm hiểu : Thiết lập các biểu thức g0, gh rồi suy ra : 0 0 2 2 1 1 h h h g mg g P mg h h R R = ⇒ = =    + +        Ta có : (Ph)max nếu 2 min 1 h R  +    Vận dụng bñt Bernoulli : 2 1 1 2 h h R R  + ≥ +    2 min 1 1 2 h h R R  ⇒ + = +    Do ñó : 0ax( ) 1 2 h m mg P h R = + = 3 410 .10 10 .10 9,09 320 111 2 6400 = + ≃ (kN) IV. LỜI BẠT : Chúng tôi rất mong nhận ñược những chỗ thiếu sót trong chuyên ñề này ñể rút kinh nghiệm và cũng rất mong những mẩu thiết kế mới “ñẹp” hơn từ các thầy trong tổ Vật lý - Kỹ thuật. Tổ Vật lý-Kỹ thuật Trường THPT Tôn ðức Thắng.