Luận văn Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng và lượng giác cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ----  ---- PHẠM XUÂN THÁM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HèNH HỌC PHẲNG VÀ LƢỢNG GIÁC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THễNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYấN - 2008 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 1 QUY ƯỚC VIẾT TẮT VÀ Kí HIỆU (?) Cõu hỏi hoặc bài tập kiểm tra (!) Dự đoỏn cõu trả lời hoặc cỏch xử lý của học sinh GV Giỏo viờn HS Học sinh NXB Nhà xuất bản SGK Sỏch giỏo khoa THPT Trung học phổ thụng TS Tiến sĩ TSKH Tiến sĩ khoa học XH Xó hội LS Lịch sử Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2 mục lục Trang Mở Đầu 4 Ch-ơng 1 – Cơ sở lý luận và thực tiễn 8 1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán 8 1.1.1. Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong tr-ờng phổ thông 8 1.1.2. Chức năng của bài tập toán 10 1.1.3. Dạy học giải bài tập toán theo t- t-ởng của G.Polya 13 1.2. Lý luận về năng lực giải toán của học sinh 17 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực 18 1.2.2. Khái niệm về năng lực, năng lực toán học 18 1.2.3. Khái niệm về năng lực giải toán 20 1.2.4. Năng lực giải toán hình học phẳng và l-ợng giác bằng số phức 22 1.2.5. Bồi d-ỡng năng lực giải toán 41 1.3. Tổng quan về số phức và thực trạng giảng dạy số phức và ứng dụng của số phức ở tr-ờng phổ thông 43 1.3.1. Số phức 43 1.3.2. Biểu diễn một số khái niệm của hình học phẳng d-ới dạng ngôn ngữ số phức 48 1.3.3. Thực trạng dạy học ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng và l-ợng giác ở tr-ờng THPT 51 1.4. Kết luận ch-ơng 1 55 Ch-ơng 2 – Xây dựng một số chuyên đề nhằm bồi d-ỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng và l-ợng giác 56 2.1. Những định h-ớng cơ bản 56 2.1.1. Định h-ớng về mặt mục tiêu và yêu cầu của việc ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng và l-ợng giác cho học sinh khá giỏi ở tr-ờng THPT 56 2.1.2. Định h-ớng về mặt nội dung 57 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3 2.1.3. Định h-ớng về mặt ph-ơng pháp 57 2.2. Xây dựng một số chuyên đề vận dụng số phức vào giải toán hình học phẳng và l-ợng giác 60 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập, chuyên đề 60 2.2.2. Chuyên đề 1. ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng 62 2.2.3. Chuyên đề 2. ứng dụng số phức vào giải toán l-ợng giác 87 2.3. Bài tập tự luyện 108 2.4. Kết luận ch-ơng 2 109 Ch-ơng 3 – Thử nghiệm s- phạm 110 3.1. Mục đích thử nghiệm s- phạm 110 3.2. Tổ chức thử nghiệm 110 3.2.1. Nội dung thử nghiệm 110 3.2.2. Đối t-ợng thử nghiệm 110 3.2.3. Triển khai thử nghiệm 111 3.3. Kết quả thử nghiệm 111 3.4. Kết luận ch-ơng 3 115 Kết luận 117 Tài liệu tham khảo 118 Phụ lục 121 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Đất nước ta đang trờn con đường cụng nghiệp húa và hiện đại húa, để cụng cuộc đú thành cụng thỡ yếu tố con người là quyết định. Do vậy xó hội đang rất cần những con người cú khả năng lao động tự chủ, sỏng tạo, cú năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đú gúp phần thực hiện thắng lợi cỏc mục tiờu của Đất nước. Luật giỏo dục nước Cộng hũa xó hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đó ghi: “Phương phỏp giỏo dục phải phỏt huy tớnh tớch cực, tự giỏc, chủ động, sỏng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lũng say mờ học tập và ý chớ vươn lờn” (Chương I, điều 5). Thực hiện nhiệm vụ trờn trong những năm qua ngành Giỏo dục đó và đang tớch cực tiến hành đổi mới cả về nội dung và phương phỏp dạy học. Quan điểm chung về đổi mới phương phỏp dạy học mụn Toỏn ở trường THPT là làm cho HS học tập tớch cực, chủ động, sỏng tạo, chống lại thúi quen học tập thụ động. Trong việc đổi mới phương phỏp dạy học mụn Toỏn ở trường THPT, việc bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho HS khỏ giỏi là đặc biệt quan trọng và cần được bồi dưỡng thường xuyờn bởi chớnh cỏc em là thế hệ nhõn tài tương lai của Đất nước. Về nội dung mụn Toỏn: Trong hệ thống kiến thức được đưa vào chương trỡnh giảng dạy cho học sinh THPT, ngoài những nội dung quen thuộc của mụn Toỏn như cỏc Phộp biến hỡnh, Vectơ và tọa độ, Tập hợp, Phương trỡnh và Bất phương trỡnh, Hàm số và Đồ thị, những yếu tố của Phộp tớnh vi tớch phõn, Đại số tổ hợp, ... thỡ Số phức đó được đưa vào chương trỡnh Giải tớch 12. Mục tiờu chớnh của việc đưa nội dung số phức vào chương trỡnh mụn toỏn ở trường THPT là hoàn thiện hệ thống số và khai thỏc một số ứng dụng khỏc của số phức trong Đại số, trong Hỡnh học và trong Lượng giỏc. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 5 Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phỏt triển của Toỏn học về giải những phương trỡnh đại số. Từ khi ra đời số phức đó thỳc đẩy toỏn học tiến lờn mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Đối với HS bậc THPT thỡ số phức là một nội dung cũn mới mẻ, với thời lượng khụng nhiều, HS mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thỏc cỏc ứng dụng của số phức cũn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải cỏc bài toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc là một vấn đề khú, đũi hỏi HS phải cú năng lực giải toỏn nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toỏn học. Tuy nhiờn dạy cho HS khỏ giỏi biết ứng dụng số phức vào việc giải cỏc bài toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc cú tỏc dụng lớn trong việc bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho HS, đồng thời giỳp HS khắc sõu, tổng hợp, hệ thống húa được kiến thức cơ bản, dạng toỏn quen thuộc, giải quyết được một số bài toỏn khú, phức tạp chưa cú thuật toỏn. Để đỏp ứng được điều đú cũng đũi hỏi GV phải cú hiểu biết cần thiết, cú cỏch nhỡn sõu sắc hơn về cỏc ứng dụng của Số phức. Mặc dự vậy SGK Giải tớch 12 đưa số lượng bài tập ứng dụng Số phức vào giải toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc khụng nhiều. Hơn nữa, qua tỡm hiểu thực tế giảng dạy thớ điểm ở một số trường THPT, một số trường THPT chuyờn vấn đề đưa số phức trở thành cụng cụ giải toỏn cho HS chưa được GV quan tõm và coi trọng đỳng mức. Với những lớ do trờn, chỳng tụi chọn đề tài nghiờn cứu là: “Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc cho học sinh khỏ giỏi Trung học phổ thụng”. 2. Mục đớch nghiờn cứu. Nghiờn cứu việc vận dụng số phức vào giải cỏc bài toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc từ đú giỳp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong toỏn học núi chung và trong giải toỏn núi riờng. Từ đú rốn luyện Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6 kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải bài toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc cho HS. 3. Nhiệm vụ nghiờn cứu. - Nghiờn cứu một số vấn đề về giải toỏn; năng lực và năng lực giải toỏn. - Nghiờn cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức như một cụng cụ để giải toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc cho HS khỏ giỏi THPT. - Xõy dựng một số chuyờn đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho HS bằng số phức, gúp phần phỏt triển, bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho HS khỏ giỏi bậc THPT. Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tớnh khả thi của đề tài. 4. Giả thuyết khoa học. Nếu xõy dựng được một số chuyờn đề ứng dụng số phức để giải cỏc bài toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc, đồng thời đề xuất cỏc biện phỏp sư phạm phự hợp thỡ sẽ gúp phần phỏt triển năng lực giải toỏn cho HS khỏ giỏi. Giỳp HS khắc sõu kiến thức đó học, phỏt huy tớnh chủ động, tớnh tớch cực trong việc tiếp thu kiến thức mới gúp phần nõng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT. 5. Phƣơng phỏp nghiờn cứu. 5.1. Nghiờn cứu lý luận. - Nghiờn cứu cỏc tài liệu lý luận (triết học, giỏo dục học, tõm lớ học, lớ luận dạy học bộ mụn Toỏn) cú liờn quan tới đề tài của luận văn. - Nghiờn cứu SGK, sỏch tham khảo, tạp chớ, cỏc tài liệu trong nước và ngoài nước cú liờn quan đến nội dung ứng dụng số phức vào giải toỏn và bồi dưỡng năng lực giải toỏn của HS khỏ giỏi THPT. 5.2. Điều tra, quan sỏt. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7 Dự giờ, phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến của GV (ở một số trường THPT tiến hành dạy thực nghiệm Giải tớch 12, trường THPT chuyờn) về thực trạng dạy học nội dung số phức và ứng dụng của số phức vào giải toỏn. 5.3. Thử nghiệm sƣ phạm. Nhằm kiểm nghiệm thực tiễn một phần tớnh khả thi và hiệu quả của đề tài nghiờn cứu. 6. Cấu trỳc của luận văn. Luận văn gồm phần "Mở đầu", "Kết luận” và ba chương. Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2. Xõy dựng một số chuyờn đề nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải một số dạng toỏn hỡnh học phẳng và lượng giỏc. Chương 3. Thử nghiệm sư phạm. Danh mục tài liệu tham khảo và cỏc phụ lục. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toỏn. 1.1.1. Mục đớch, vị trớ, vai trũ và ý nghĩa của bài tập toỏn trong trƣờng phổ thụng. G.Polya cho rằng: “Trong toỏn học, nắm vững bộ mụn toỏn quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần tỳy mà ta cú thể bổ sung nhờ một cuốn sỏch tra cứu thớch hợp. Vỡ vậy cả trong trường trung học cũng như trong cỏc trường chuyờn nghiệp, ta khụng chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đú nắm vững mụn học. Vậy thế nào là nắm vững mụn toỏn? Đú là biết giải toỏn!” [20 - Tr.82]. Trờn cơ sở đú ta cú thể thấy rừ hơn mục đớch, vị trớ, vai trũ và ý nghĩa của bài tập toỏn trong trường THPT như sau. 1.1.1.1. Mục đớch. Để đào tạo được những con người đỏp ứng được đũi hỏi của xó hội ngày nay, những con người năng động, sỏng tạo, cú tinh thần trỏch nhiệm, cú trớ tuệ, cú khả năng lao động kĩ thuật cao,... trong cỏc nhà trường THPT đó đặt ra nhiều mục đớch, mục tiờu cụ thể cho việc đào tạo. Toỏn học cú vai trũ to lớn trong đời sống, trong khoa học và cụng nghệ hiện đại, kiến thức toỏn học là cụng cụ để HS học tập tốt cỏc mụn học khỏc, giỳp HS hoạt động cú hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Vỡ vậy, trong dạy toỏn núi chung, giải bài tập toỏn núi riờng cần xỏc định những mục đớch cụ thể, sỏt thực. Cú thể thấy rừ một số mục đớch bài tập toỏn ở trường phổ thụng là:  Phỏt triển ở HS những năng lực và phẩm chất trớ tuệ, giỳp HS biết những tri thức khoa học của nhõn loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thõn, thành cụng cụ để nhận thức và hành động đỳng đắn trong cỏc lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 9  Làm cho HS từng bước nắm được một cỏch chớnh xỏc, vững chắc và cú hệ thống những kiến thức và kỹ năng toỏn học phổ thụng cơ bản, hiện đại, phự hợp với thực tiễn và cú năng lực vận dụng những tri thức đú vào những tỡnh huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập cỏc bộ mụn khoa học khỏc.  Thụng qua việc giải bài tập, HS khắc sõu cỏc kiến thức đó học, biết xõu chuỗi cỏc kiến với nhau, kớch thớch sự tỡm tũi, sỏng tạo cỏc kiến thức mới đối với HS. Qua đú rốn luyện tư duy lụgic, sỏng tạo, tớnh kiờn trỡ, cần cự, chịu khú... ở người HS.  Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hỡnh thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới. 1.1.1.2. Vị trớ và vai trũ của bài tập toỏn. Trong dạy học toỏn ở trường THPT, bài tập toỏn cú vai trũ vụ cựng quan trọng, vỡ theo Nguyễn Bỏ Kim: “Ở truờng phổ thụng, dạy toỏn là dạy hoạt động toỏn học. Đối với HS cú thể xem giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động toỏn học. Cỏc bài tập toỏn ở trường phổ thụng là một phương tiện rất cú hiệu quả và khụng thể thay thế được trong việc giỳp HS nắm vững những tri thức, phỏt triển tư duy, hỡnh thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toỏn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toỏn là điều kiện để thực hiện tốt cỏc nhiệm vụ dạy học toỏn ở trường phổ thụng. Vỡ vậy, tổ chức cú hiệu quả việc dạy giải bài tập toỏn học cú vai trũ quyết định đối với chất lượng dạy học toỏn” [13 - Tr.201]. Cũng theo Nguyễn Bỏ Kim: “Bài tập toỏn học cú vai trũ quan trọng trong mụn toỏn. Điều căn bản là bài tập cú vai trũ giỏ mang hoạt động của HS. Thụng qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương phỏp, những hoạt động toỏn học phức hợp, những hoạt động trớ tuệ phổ biến trong Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 toỏn học, những hoạt động trớ tuệ chung và những hoạt động ngụn ngữ”. [13 - Tr 388] Như vậy bài tập toỏn ở trường phổ thụng cú vị trớ, vai trũ quan trọng trong hoạt động dạy, học toỏn ở trường THPT. Vỡ thế, cần lựa chọn cỏc bài tập toỏn sao cho phự hợp với đối tượng và năng lực của HS, như thế mới phỏt huy được năng lực giải toỏn của HS. 1.1.1.3. í nghĩa. Ở trường phổ thụng, dạy toỏn là dạy hoạt động toỏn học. Đối với HS cú thể xem việc giải toỏn là hỡnh thức chủ yếu của hoạt động toỏn học. Việc giải toỏn cú nhiều ý nghĩa. Cụ thể:  Đú là hỡnh thức tốt nhất để củng cố, đào sõu, hệ thống húa kiến thức và rốn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toỏn là một hỡnh thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mỡnh đi tỡm kiến thức mới.  Đú là một hỡnh thức vận dụng những kiến thức đó học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.  Đú là hỡnh thức tốt nhất để GV kiểm tra HS và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đó học.  Việc giải toỏn cú tỏc dụng lớn gõy hứng thỳ học tập của HS, phỏt triển trớ tuệ và giỏo dục, rốn luyện người HS về rất nhiều mặt. 1.1.2. Chức năng của bài tập toỏn. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toỏn học được sử dụng với nhiều dụng ý khỏc nhau. Một bài tập cú thể tạo tiền đề xuất phỏt, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,... Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đú của quỏ trỡnh dạy học đều chứa đựng một cỏch tường minh hay ẩn tàng những chức năng khỏc nhau, những chức năng này đều hướng đến cỏc mục đớch dạy học trong mụn Toỏn, hệ thống bài tập cú cỏc chức năng sau. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11  Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hỡnh thành, củng cố cho HS những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khỏc nhau của quỏ trỡnh dạy học. Cụ thể như: Làm sỏng tỏ và khắc sõu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trờn cơ sở thường xuyờn hệ thống húa kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tõm của lý thuyết. Đặc biệt bài tập cũn mang tỏc dụng giỏo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giỳp HS rốn luyện kĩ năng tớnh toỏn, kĩ năng đọc hỡnh vẽ, kĩ năng sử dụng cỏc phương tiện học tập, kĩ năng thực hành toỏn học; phương phỏp tư duy, thúi quen đặt vấn đề một cỏch hợp lớ, ngắn gọn tiết kiệm thời gian,... Chẳng hạn, sau khi đó dạy cho HS phương phỏp chọn tọa độ phức thớch hợp cho một bài toỏn, chỳng ta cú thể đưa ra vớ dụ sau đõy. Vớ dụ 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức cos2 cos2 cos2P A B C , với , và A B C là cỏc gúc của một tam giỏc ABC . Ở lớp 11, HS đó biết bài toỏn chứng minh trong tam giỏc ABC , ta cú: cos2 cos2 cos2 4cos cos cos 1 A B C A B C . Khi đú đứng trước bài toỏn tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P, học sinh sẽ gặp khú khăn trong việc biến đổi để cú thể đưa P về biểu thức cú thể đỏnh giỏ được. Từ đú dẫn HS tới việc phải tớnh cỏc giỏ trị cụsin của cỏc gúc, mà điều đú sẽ thuận lợi hơn khi ta chọn được một tọa độ phức thớch hợp cho cỏc đỉnh. Giải. Chọn đường trũn tõm O ngoại tiếp tam giỏc ABC làm đường trũn đơn vị; giả sử tọa độ của cỏc đỉnh tam giỏc là , và A a B b C c . Ta cú cos2 2 1 2bc cbA bc cbb c , do . 1 a a bb cc . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 Tương tự ta cú cos2 1 và 2 B ca ac cos2 .1 2 C ab ba Suy ra cos2 cos2 cos2 1P 2 A B C bc cb ca ac ab ba 121 32 aa ab ac bb ba bc cc ca cb aa bb cca a b c b b a c c c a b 1 32 23 2 a b c a b c , vỡ 0 a b c a b c . Do đú 32minP , khi và chỉ khi 0 a b c hay 0 OA OB OC    , suy ra O G , điều đú cú nghĩa là tam giỏc ABC là tam giỏc đều. Như vậy, thụng qua vớ dụ này GV đó khắc sõu được kiến thức về chọn tọa độ thớch hợp cho một bài toỏn. Đặc biệt giỳp HS ụn tập lại một số kiến thức đó học như: Cụng thức tớnh gúc, tớnh chất về mụđun, tớnh chất về tọa độ của cỏc điểm thuộc đường trũn đơn vị,... Qua bài toỏn cũng gúp phần rốn luyện kỹ năng tớnh toỏn, kỹ năng biến đổi số phức cho HS.  Với chức năng giỏo dục, bài tập giỳp HS hỡnh thành thế giới quan duy vật biện chứng, từng bước nõng cao hứng thỳ học tập, tạo niềm tin ở bản thõn HS và phẩm chất của con người lao động mới, rốn luyện cho HS đức tớnh kiờn nhẫn, bền bỉ, khụng ngại khú, sự chớnh xỏc và chu đỏo trong khoa học. Cú thể thấy rừ điều này qua vớ dụ 1 mà ta xột ở trờn. Sau khi HS liờn hệ đến bài tập đó biết ở lớp 11, bước đầu gõy cho cỏc em khú khăn trong việc tỡm hướng giải quyết bài toỏn. Sau khi gợi ý cho HS cú thể sử dụng số phức để giải bài toỏn này nhờ việc chọn tọa độ thớch hợp cho cỏc yếu tố của bài toỏn sẽ tạo cho cỏc em một niềm tin vào bản thõn, tạo cho cỏc em hứng thỳ hơn Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 bởi cú thể giải bài toỏn trờn bằng nhiều con đường khỏc nhau. GV cũng cần quan tõm, động viờn để cỏc em kiờn trỡ biến đổi đưa đến kết quả của bài toỏn.  Với chức năng phỏt triển, bài tập giỳp HS ngày càng nõng cao khả năng suy nghĩ, rốn luyện cỏc thao tỏc tư duy như: phõn tớch, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt húa, khỏi quỏt húa,...thụng thạo một số phương phỏp suy luận toỏn học, biết phỏt hiện và giải quyết vấn đề một cỏch thụng minh sỏng tạo. Từ đú hỡnh thành phẩm chất tư duy khoa học. Quay trở lại vớ dụ 1, sau khi HS đó hoàn thành lời giải cho bài toỏn, GV cú thể đưa ra một số bài toỏn khỏc gần gũi hoặc là những trường hợp đặc biệt, tương tự với bài toỏn trờn, chẳng hạn: Bài 1. Chứng minh rằng, với mọi tam giỏc ABC ta cú: 3cos cos cos 2 A B C . Bài 2. Cho tam giỏc nhọn ABC , chứng minh rằng 3cos2 cos2 cos2 2 A B C . Do HS đó giải được bài toỏn trờn nờn khi xột cỏc trường hợp đặc biệt, tương tự này sẽ tạo cho HS tớch cực hơn trong việc tỡm lời giải của bài toỏn. Qua đú hỡnh thành cho HS biết suy nghĩ, suy xột bài toỏn ở những gúc độ khỏc nhau, biết xột cỏc trường hợp đặc biệt để tỡm lời giải cho bài toỏn lớn.  Với chức năng kiểm tra, bài tập giỳp GV và HS đỏnh giỏ được mức độ và kết quả của quỏ trỡnh dạy và học, đồng thời nú cũng đỏnh giỏ khả năng độc lập học toỏn và trỡnh độ phỏp triển của HS . Thụng qua giải bài tập, GV cú thể tỡm thấy những điểm mạnh, những hạn chế trong việc tiếp thu và trỡnh bày tri thức của HS. Qua đú cú thể bổ sung, rốn luyện, và bồi dưỡng tiếp cho HS. Cú thể núi rằng hiệu quả của việc dạy toỏn ở trường phổ thụng phần lớn phụ thuộc vào việc khai thỏc và thực hiện một cỏch đầy đủ cỏc chức năng Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 cú thể cú của cỏc tỏc giả viết SGK đó cú dụng ý đưa vào chương trỡnh. Người GV phải cú nhiệm vụ khỏm phỏ và thực hiện dụng ý của tỏc giả bằng năng lực sư phạm của mỡnh. 1.1.3. Dạy học giải bài tập toỏn học theo tƣ tƣởng của G.Polya. Trong mụn toỏn ở trường phổ thụng cú nhiều bài tập toỏn chưa cú hoặc khụng cú thuật giải và cũng khụng cú một thuật giải tổng quỏt nào để giải tất cả cỏc bài toỏn, chỳng ta chỉ cú thể thụng qua việc dạy học giải một số bài toỏn cụ thể mà dần dần truyền thụ cho HS cỏch thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tỡm tũi lời giải cho mỗi bài toỏn. Dạy học giải bài tập toỏn khụng cú nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài toỏn. Biết lời giải bài toỏn khụng quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toỏn, vỡ vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cỏc suy nghĩ tỡm tũi, phỏt hiện cỏch giải bài toỏn là cần thiết. Dựa trờn những tư tưởng tổng quỏt cựng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cỏch thức giải toỏn, phương phỏp tỡm tũi lời giải cho một bài toỏn thường được tiến hành theo bốn bước sau. * Bước 1: Tỡm hiểu nội dung bài toỏn. Để tỡm hiểu nội dung của bài toỏn, cần chỳ ý cỏc yếu tố cơ bản: - Phõn biệt cỏi đó cho và cỏi phải tỡm, cỏi phải chứng minh. - Cú thể dựng cụng thức, kớ hiệu, hỡnh vẽ để diễn tả đề bài. - Phõn biệt cỏc thành phần khỏc nhau của điều kiện. Cú thể diễn tả cỏc điều kiện đú thành cụng thức khụng? * Bước 2: Xõy dựng chƣơng trỡnh giải. Yếu tố quan trọng khi giải được bài toỏn chớnh là việc xõy dựng chương trỡnh giải cho bài toỏn đú. Vỡ vậy khi thực hiện, chỳng ta cần chỳ ý: - Phõn tớch bài toỏn đó cho thành nhiều bài toỏn đơn giản quen thuộc. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 - Lựa chọn những kiến thức đó học (Định nghĩa, định lớ, quy tắc...) gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toỏn rồi mũ mẫm dự đoỏn kết quả. - Sử dụng những phương phỏp đặc thự với từng dạng toỏn như chứng minh (phản chứng, qui nạp toỏn học...) , toỏn dựng hỡnh, toỏn quỹ tớch... * Bước 3: Trỡnh bày lời giải. -Trỡnh bày lại lời giải sau khi đó điều chỉnh những chỗ cần thiết. * Bước 4: Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải. - Kiểm tra lại kết quả, xem lại cỏc lập luận trong quỏ trỡnh giải. - Nhỡn lại toàn bộ cỏc bước giải, rỳt ra tri thức phương phỏp để giải một bài toỏn nào đú. - Tỡm thờm cỏch giải khỏc (nếu cú thể). - Khai thỏc kết quả cú thể cú của bài toỏn. - Đề xuất bài toỏn tương tự, bài toỏn đặc biệt hoặc khỏi quỏt hoỏ bài toỏn... Như vậy, cú thể núi “Quỏ trỡnh HS học phương phỏp chung để giải toỏn là một quỏ trỡnh biến những tri thức phương phỏp tổng quỏt thành kinh nghiệm giải toỏn của bản thõn mỡnh thụng qua việc giải hàng loạt bài toỏn cụ thể. Từ phương phỏp chung giải toỏn đi tới cỏch giải một bài toỏn cụ thể cũn là cả một chặng đường đũi hỏi lao động tớch cực của người HS, trong đú cú nhiều yếu tố sỏng tạo” [21 - Tr.423] . Vớ dụ 2. Hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh A trựng với gốc tọa độ O, hai đỉnh B và D thay đổi tương ứng trờn phần dương trục , Ox Oy ; điểm I cú tọa độ ; I 2 2 . 1) Chứng minh tam giỏc AIC là tam giỏc vuụng. 2) Tỡm qũy tớch trọng tõm G của tam giỏc AIC. Lời giải. Bước 1: Tỡm hiểu bài toỏn. (?) Yờu cầu của bài toỏn là gỡ. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 16 (!) Bài toỏn yờu cầu chứng minh một tam giỏc là tam giỏc vuụng và tĩm quỹ tớch trọng tõm của tam giỏc đú. (?) Để chứng minh tam giỏc vuụng ta thường sử dụng kiến thức nào. (!) Định lý đảo của Pitago, tớnh gúc của tam giỏc,... (?) Ở bài toỏn này muốn ỏp dụng định lý đảo của Pitago ta cần tớnh được độ dài của cỏc cạnh tam giỏc. Cú thể thực hiện được điều đú khụng. (!) Thực hiện được vỡ ta cú thể xỏc định được tọa độ của cỏc đỉnh hỡnh vuụng. (?) Để tỡm quỹ tớch trọng tõm cú thể xỏc định được tọa độ của điểm trọng tõm khụng. (!) Xỏc định được vỡ đó tỡm được tọa độ cỏc đỉnh của nú. Bước 2: Xõy dựng chƣơng trỡnh giải. (?) Như vậy bài toỏn cú thể thực hiện được khi biết tọa độ của cỏc đỉnh của hỡnh vuụng. Hóy thiết lập hệ trục tọa độ và xỏc định tọa độ phức của cỏc đỉnh hỡnh vuụng và của điểm I. (!) ... (?) Để chứng minh tam giỏc AIC vuụng, hóy tớnh AI 2 , AC 2 và IC 2 . Sau đú so sỏnh, đối chiếu với định lý Pitago đảo. (!) ... (?) Bõy giờ vỡ G là trọng tõm của tam giỏc AIC nờn ta cú tọa độ trọng tõm của điểm G là 01 3 g a z c . Hóy xỏc định tọa độ của điểm G. Từ đú kết luận quỹ tớch của G. Bước 3: Trỡnh bày lời giải. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 17 Chuyển sang xột trong mặt phẳng phức ta cú: Giả sử số phức của cỏc đỉnh A, B, C và D của hỡnh vuụng ABCD và của điểm I là: , , , 0 0a b x c x ix d ix x và 0 2 2z i . 1) Chứng minh tam giỏc AIC là tam giỏc vuụng. Ta cú ; ;AI i AC x ix x2 22 2 22 2 8 2 và .22 2 22 2 0 2 2 2 2 2 8IC c z x i x x x x Như vậy IC AI IC2 2 2 . Theo định lý Pitago đảo, tam giỏc AIC vuụng tại A. 2) Quỹ tớch trọng tõm G của tam giỏc AIC. G là trọng tõm của tam giỏc AIC khi và chi khi 1 3 OG OA OI OC     , hay ta cú biểu thức 01 3 g a z c , vỡ 0a nờn 01 1 2 2 3 3 g z c i x ix 2 2 3 3 3 3 x x g i u iv xu v uxv ux v2 43 3 32 23 3 30 2 3 Vậy quỹ tớch G là tia O G t gồm cỏc điểm x iy thỏa món phương trỡnh: y x 4 3 (tia này song song với đường phõn giỏc gúc phần tư thứ nhất và đi qua điểm O G sao cho OAG A I1 3 ). Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 18 (?) Cú thể giải bài toỏn này theo cỏch khỏc được khụng? (!) + Cú thể giải được nhờ tớnh cỏc gúc của tam giỏc. + Bài toỏn cú thể giải được khi ỏp dụng cỏc kiến thức về tọa độ thụng thường mà khụng xột trong mặt phẳng tọa độ phức. Như vậy qua vớ dụ này, GV cần quan tõm tới vấn đề chuyển đổi ngụn ngữ hỡnh học thụng thường sang ngụn ngữ số phức; vấn đề thiết lập hệ tọa độ; giải quyết bài toỏn quỹ tớch thụng qua việc xỏc định tọa độ của yếu tố quỹ tớch,... 1.2. Lý luận về năng lực giải toỏn của học sinh. 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực. Từ cuối thế kỉ XIX