Luận văn Kiểu đa thức của môđun trên vành noether địa phương

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MễĐUN TRấN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thỏi Nguyờn - năm 2009 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYấN KIỂU ĐA THỨC CỦA MễĐUN TRấN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyờn ngành: Đại số và lý thuyết số Mó số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG Thỏi Nguyờn - năm 2009 Mục lục Lời nói đầu 4 1 Tính đa thức của hàm độ dài 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nhận xét mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Đặc trưng tính chất đa thức của hàm độ dài . . . . . . . . . . . 9 1.4 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Kiểu đa thức 18 2.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Kiểu đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Các chặn trên và dưới của kiểu đa thức . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Trường hợp A là vành thương của vành Cohen-Macaulay . . . 32 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 2Lời nói đầu Một ý tưởng quan trọng trong Hình học đại số và Đại số giao hoán là thông qua việc nghiên cứu thông qua nghiên cứu các bất biến bằng số để nói lên cấu trúc của các đa tạp hoặc cấu trúc của các vành giao hoán điều này có thể thấy rõ trong những lý thuyết nổi tiếng như lý thuyết bất biến của Mumford, lý thuyết giải kỳ dị của Hironaka... Một ví dụ điển hình trong Đại số giao hoán là vành Cohen- Macaulay, một lớp vành quan trọng nhất trong Đại số giao hoán. Cho (A,m) là một vành giao hoán , địa phương, Noether có chiều dimA = d. Một iđêan q ∈ SpecA được gọi là một iđêan tham số nếu q là m− nguyên sơ và sinh bởi d phần tử. Khi đó A là vành Cohen- Macaulay khi và chỉ khi tồn tại một iđêan tham số q sao cho lA(A/q) = e(q;A). ở đây lA(∗) kí hiệu cho độ dài các A môđun và e(q;A) là số bội Zariski-Samuel của A đối với iđêan tham số q. Ta cũng biết rằng với mọi iđêan tham số q thì lA(A/q) ≥ e(q;A). Đặt I(q;A) = lA(A/q)− e(q;A). Khi đó nếu I(q;A) là một hằng số không đổi với mọi iđêan tham số q, (chú ý rằng khi A là vành Cohen- Macaulay thì I(q;A) = 0 với mọi iđêan tham số q) thì lớp vành đó được gọi là vành Buchbaum. Nếu supqI(q;A) < ∞, trong đó q chạy khắp trên tập các iđêan tham số của A thì khi đó nó được gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng. Như vậy các lớp vành quen thuộc trong Đại số giao hoán đều được đặc trưng qua lý thuyết bội và hàm độ dài. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả của GS - TSKH Nguyễn Tự Cường về kiểu đa thức trên vành Noether, địa phương trong các bài báo [4], [5] và [6]. Trong suốt luận văn này ta luôn ký hiệu (A,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether vàM là một A− môđun hữu hạn sinh có chiều dimM = d. Một hệ phần tử x = (x1, . . . , xd) của A được gọi là hệ tham số của M nếu lA(M/xM) < ∞. Cho n = (n1, . . . , nd) là một bộ d số nguyên dương tuỳ ý. Khi đó chúng ta có thể xem hiệu IM(n, x) = lA(M/(x n1 1 , . . . , x nd d )M)− n1 . . . nde(x,M) như một hàm số theo n có giá trị không âm với mọi biến nguyên, trong đó e(x;M) là số bội theo nghĩa Serre củaM đối với hệ tham số x. KhiM = A thì nó chính là số bội Zariski - Samuel. Năm 1985, Sharp đưa ra câu hỏi mở: Phải chăng IM(n;x) là một đa thức theo n khi n đủ lớn (ký hiệu là n 0)? Một loạt ví dụ được đưa ra để chứng tỏ rằng IM(n;x) không phải là đa thức khi n  0. Từ đây nảy sinh ra một câu hỏi: Khi nào thì IM(n;x) là đa thức theo n khi n  0? Một trả lời trọn vẹn cho câu hỏi này được đưa ra trong [4] nói rằng IM(n;x) là đa thức khi và chỉ khi x là một u.p - dãy. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 3Khi IM(n;x) không còn là đa thức thì ta nhận thấy rằng hàm IM(n;x) luôn bị chặn trên bởi đa thức n1 . . . ndl(M/(x1, . . . , xd)M) (xem trong [6]). Như vậy bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên theo n chặn hàm IM(n;x) là tồn tại. Điều đó dẫn đến một bất biến mới trênM, gọi là kiểu đa thức của M. Bất biến này được bắt đầu từ một kết quả sau (xem trong [6]): Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm IM(n;x) không phụ thuộc vào hệ tham số x. Vậy bậc bé nhất này là một bất biến của M. Ta ký hiệu bất biến đó là p(M) và gọi nó là kiểu đa thức của M. Ta quy ước bậc của đa thức không bằng −∞. Khi đó ta dễ dàng thấy rằng M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M) = −∞. Rõ ràng M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M) ≤ 0. Như vậy tính Cohen-Macaulay được dễ dàng đặc trưng qua tính đa thức. Luận văn được chia thành 2 chương: Chương I nói về tính đa thức của hàm IM(n;x) trên vành giao hoán Noether địa phương (A,m). Kết quả quan trọng nhất của chương này là định lý 1.3.4 nó cũng là câu trả lời trọn vẹn cho câu hỏi mở của Sharp nói rằng : Hàm số IM(n;x) là đa thức theo n với n  0 khi và chỉ khi hệ tham số x = (x1, . . . , xd) là u.p-dãy Chương II đưa ra khái niệm kiểu đa thức p(M) của một môđunM trên vành giao hoán, Noether, địa phương. Đây là khái niệm quan trọng nhất trong luận văn. Ngoài ra một loạt các tính chất của kiểu đa thức cũng như các cận trên và dưới được đưa trong chương này. Một kết quả quan trọng là định lý 2.3.9 và hệ quả 2.4.2 nói lên ý nghĩa hình học của kiểu đa thức nói rằng: Giả sử A có phức đối ngẫu hoặc A là vành thương của vành Cohen- Macaulay. Nếu M là đẳng chiều thì p(M) = dim nCM(M). Chú ý rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M ) được xác định bởi nCM(M) = {p ∈ Supp(M)|Mp không là môđun Cohen-Macaulay}. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS - TSKH Nguyễn Tự Cường. Nhân dịp này em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong ĐH Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm luận văn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 4Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trường ĐH Khoa Học - Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình. Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn Chương 1 Tính đa thức của hàm độ dài Trong chương này, chúng ta luôn giả thiết (A,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với m là iđêan cực đại và M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều dimM = d. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại định lý quan trọng sau đây Định lý 1.1.1. Cho q là iđêan của A sao cho l(M/qM) < ∞. Khi đó l(M/qnM) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n 0 và d = dimM = deg(l(M/qnM) = inf{t|∃ x1, . . . , xt ∈ m để l(M/(x1, . . . , xt)M) <∞}. Đa thức l(M/qnM), khi n  0 được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q. Theo định lý trên tồn tại hệ {x1, . . . , xd} ⊆ m sao cho l(M/(x1, . . . , xd)M) < ∞. Một hệ {x1, . . . , xd} thoả mãn tính chất trên được gọi là một hệ tham số của M. Chú ý rằng nếu x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M thì (xn11 . . . , x nd d ) cũng là một hệ tham số của M với mọi (n1, . . . , nd) ∈ Nd. Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M. Đặt q = (x1, . . . , xd)A thì khi đó ta gọi q là iđêan tham số của M. Theo định lý trên, l(M/qnM) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n 0, đa thức này nhận giá trị nguyên với 5Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 6mọi biến nguyên. Vì thế nó có biểu diễn l(M/qn+1M) = e0(q;M) ( n+ d d ) +e1(q;M) ( n+ d− 1 d− 1 ) +. . .+ed(q;M), trong đó ei ∈ Z, e0 > 0 với mọi i = 0 . . . , d. Định nghĩa 1.1.2. Số e0 trong biểu diễn trên được gọi là số bội Zariski - Samuel của M ứng với iđêan tham số q và được kí hiệu là e(q;M). Định nghĩa 1.1.3. Một hệ các phần tử x = (x1, . . . , xt) của A được gọi là hệ bội của M nếu l(M/(x1, . . . , xt)M) <∞. Nếu t = 0 thì điều kiện trên được hiểu là l(M) <∞. Khi đó ký hiệu bội e(x;M) đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp theo t như sau: Nếu t = 0, tức là l(M) <∞. Khi đó ta đặt e(∅;M) = l(M). Nếu t > 0, tức là l(M/(x1, . . . , xt)M) <∞. Từ đó ta suy ra l((0M : x1)/(x1, . . . , xt)(0M : x1)) <∞, tức là (x2, . . . , xt) là hệ bội của 0M : x1. Theo giả thiết quy nạp thì e((x2, . . . , xt);M/x1M) và e((x2, . . . , xt); 0M : x1) là tồn tại. Khi đó ta định nghĩa e(x;M) = e((x2, . . . , xt);M/x1M)− e((x2, . . . , xt); 0M : x1). Số e(x;M) được định nghĩa như trên được gọi là số bội của M ứng với hệ bội x. Chú ý 1.1.4. Cho x = (x1, . . . , xt) là hệ bội của M. Dưới đây chúng ta sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của số bội e(x;M) thường được sử dụng trong luận văn. (i) 0 ≤ e(x;M) ≤ l(M/(x1, . . . , xt)M). Nếu tồn tại i sao cho xniM = 0, với n là một số tự nhiên nào đó thì e(x;M) = 0. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 7(ii) (Định lý cộng tính của bội). Giả sử 0 −→Mn −→ . . . −→M1 −→M0 −→ 0 là dãy khớp các A− môđun Noether và x là hệ bội của Mi, với mọi i = 0, . . . , n. Khi đó, n∑ i=0 (−1)ie(x;Mi) = 0. (iii) Cho x = (x1, . . . , xt) là một hệ bội của M. Khi đó e(x;M) = 0 khi và chỉ khi t > dimM. (iv) Cho (n1, . . . , nt) ∈ Nt. Khi đó, e((xn11 , . . . , x nt t );M) = n1 . . . nte(x;M) (v) Nếu x là một hệ tham số của M tức là t = d, thì ta có công thức liên hệ giữa số bội hình thức và số bội Zariski - Samuel là e0(q;M) = e(x;M), trong đó q = (x1, . . . .xd)A. (vi) Công thức Auslander - Buchsbaum [A- B]. Với những kí hiệu trên thì l(M/(x1, . . . , xd)M)− e(x;M) = ∑d−1 i=0 e((xi+1, . . . , xd); (x1, . . . , xi−1)M : xi/(x1, . . . , xi−1)M. Khi đó M là A-môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số x = (x1, . . . , xd) sao cho l(M/(x1, . . . , xd)M) = e(x;M). Định nghĩa 1.1.5. (i) Một A-môđunM được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu I(M) = sup{l(M/(x1, . . . , xd)M − e(x;M))} <∞ trong đó x = (x1, . . . , xd) chạy khắp tập các hệ tham số của M. (ii) Một hệ tham số x = (x1, . . . , xd) củaM được gọi là hệ tham số chuẩn tắc của M nếu lA(M/(x1, . . . , xd)M)−e(x;M) = lA(M/(x21, . . . , x2d)−e((x21, . . . , x2d);M) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 8Chú ý 1.1.6. Khi đó ta có một số đặc trưng về môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (i)M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khiM có ít nhất một hệ tham số chuẩn tắc. Hơn nữa, I(M) = lA(M/(x1, . . . , xd)M) − e(x;M) nếu x là một hệ tham số chuẩn tắc. (ii) Giả sửM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đóMp là môđun Cohen-Macaulay và dimMp + dimA/p = d với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SuppM \{m}. Hơn nữa nếu A là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì điều ngược lại cũng đúng. (iii) Ký hiệu M̂ là bao đầy đủ m-adic củaM. Khi đóM là môđun Cohen- Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M̂ là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (iv) Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó dim(R/p) = dimM với mọi p ∈ AssM, p 6= m. 1.2 Nhận xét mở đầu Cho hệ tham số x = (x1, ..., xd) của M và một tập các số nguyên dương n = (n1, ..., nd) ta đặt x(n) = (x n1 1 , ..., x nd d ). Xét hiệu IM(n;x) = `(M/x(n)M)− n1...nde(x;M) như một hàm của n1, ..., nd, trong đó e(x;M) là số bội củaM tương ứng với x. Khi đó, nhìn chung IM(n;x) không là đa thức với n1, ..., nd đủ lớn, tuy nhiên chúng luôn nhận giá trị không âm. Thật vậy, ta xét ví dụ sau: Cho A = k[[X, Y, Z]]/I, trong đó k[[X, Y, Z]] là vành chuỗi luỹ thừa hình thức theo ba biến X, Y, Z trên trường đóng đại số k và I = (X2, XY Z). Rõ ràng ta có dimA = 2 và hệ x = (x1, x2) là hệ tham số của A, trong đó x1 là ảnh của Y + Z trong A và x2 là ảnh của Y trong A. Khi đó ta có xn1A : x m 2 = { (x, xn1)A nếu m ≥ n+ 1 (x, xn1)A ∩ (x2, z, xn−m2 )A nếu m ≤ n trong đó x là ảnh của X trong A và z là ảnh của Z trong A. Cho n = (n,m) và x = (x1, x2). Giả sử IM(n;x) = `(M/x(n)M)− nme(x;M) là đa thức. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 9Theo công thức [A-B] ta có l(M/(xn1 , x km 2 )M)− l(M/(xn1 , xm2 )M) = l(xn1M : x km 2 /x n 1M)− l(xn1M : xm2 /xn1M) + e((xn1 , x (k−1)m 2 );M) + e(x (k−1)m) 2 ; 0 :M x n 1) = l(M/(xn1 , x km 2 )M)− l(M/(xn1 , xm2 )M) + l(M/(xn1 , x (k−1)m 2 )M)− l(xn1M : x(k−1)m2 /xn1M) với mọi số tự nhiên k. Cố định n thì do mọi dãy tăng các môđun con củaM đều dừng nên ta luôn tìm được k sao cho xn1M : x km 2 = x n 1M : x (k−1)m 2 . Từ đó suy ra l(xn1M : x m 2 /x n 1M) = l(M/(x n 1 , x m 2 )M) +l(M/(xn1 , x (k−1)m 2 )M)− l(M/(xn1 , xkm2 )M). Theo giả thiết các số hạng bên phải của đẳng thức là các đa thức với n 0. Vậy l(xn1M : x m 2 /x n 1M) cũng là đa thức. Cố định n, khi đó tồn tại sốm0 sao cho xn1M : x m 2 = x n 1M : x m0 2 , điều này là mâu thuẫn. Vậy IM(n;x) = `(M/x(n)M) − n1...nde(x;M) không là đa thức với n 0. Do đómột câu hỏi được đặt ra là: Khi nào thì IM(n;x)) = `(M/x(n)M)− n1...nde(x;M) là một đa thức với n 0? Câu hỏi này được giải quyết trọn vẹn trọng mục 1.3 1.3 Đặc trưng tính chất đa thức của hàm độ dài Định nghĩa 1.3.1. (i) Một phần hệ tham số x1, x2, . . . , xj của M được gọi là p - dãy nếu tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho (xn11 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x ni i = (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x n0 i với mọi n1, . . . , nj  0 và i = 1, . . . , j ( ở đây ta đặt x0 = 0). (ii) Dãy x1, x2, . . . , xj được gọi là p - dãy không điều kiện, ký hiệu là Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 10 u.p - dãy nếu nó là p - dãy với mọi hoán vị của dãy đó. Trước khi phát biểu kết quả chính của mục này chúng ta cần sử dụng một số kết quả sau. Mệnh đề 1.3.2. Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số củaM. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) x là một u.p-dãy; (ii) Tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n1, . . . , nd ≥ n0 và với mọi hoán vị α của tập {1, . . . , d} ta có ((x nα(1) α(1) , . . . , x nα(i−1) α(i−1))M : x nα(i) α(i) ) ⋂ (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(i) α(i) )M = (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(i−1) α(i−1))M, ∀i = 1, . . . , d; (iii) Tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n1, . . . , nd ≥ n0 và với mọi hoán vị α của tập {1, . . . , d} ta có ((x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d−1) α(d−1))M : x nα(d) α(d) ) ⋂ (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d) α(d) )M = (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d−1) α(d−1))M ; (iv) Tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n1, . . . , nd ≥ n0 và với mọi hoán vị α của tập {1, . . . , d} ta có (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d−1) α(d−1))M : x nα(d) α(d) = (x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d−1) α(d−1))M : x n0 α(d). Chứng minh. : (i) =⇒ (ii). Bằng cách đánh số lại dãy x1, . . . , xd ta chỉ cần chứng minh rằng ((xn11 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x ni i ) ⋂ (x1) n1, . . . , xnii )M = (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M. Giả sử a ∈ ((xn11 , . . . , xni−1i−1 )M : xnii ) ⋂ (xn11 , . . . , x ni i )M . Ta có thể viết a = ∑i j=1 yjxj nj với yj ∈ M . Vì axnii ∈ (xn11 , . . . , xn(i−1)i−1 )M : xnii nên yix 2ni i ∈ (xn11 , . . . , xn(i−1)i−1) )M . Vậy với mọi ni ≥ n0 ta được yi ∈ (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M : x2nii = (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M : xnii . Từ đó ta suy ra yix ni i ∈ (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M, tức a ∈ (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M . (ii) =⇒ (iii) là hiển nhiên. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 11 (iii) =⇒ (iv). Với n1, . . . , nd ≥ n0 ta có ((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x n0 d ) ⋂ (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 , x n0 d )M = (x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M. Chia cả hai vế đẳng thức trên cho xn0d ta thu được (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x 2n0 d = (x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x n0 d . Từ đây ta suy ra (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x kn0 d = (x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x n0 d với mọi n1, . . . , nd ≥ n0 và k ≥ 1. Vì chứng minh trên không phụ thuộc vào thứ thự của dãy x1, . . . , xd nên ta suy ra (iv). (iv) =⇒ (i). Theo định lý giao Krull, từ (iv) ta suy ra (xn11 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x ni i ⊆ ∞⋂ k=n0 ((xn11 , . . . , x ni−1 i−1 , x k i+1, . . . , x k d)M : x ni i ) = ∞⋂ k=n0 ((xn11 , . . . , x ni−1 i−1 , x k i+1, . . . , x k d)M : x n0 i ) = (xn11 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x n0 i ⊆ (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M : xnii , với mọi i = 1, . . . , d và n1, . . . , nd ≥ n0. Cũng như trên, phép chứng minh không phụ thuộc vào thứ tự của dãy x1, . . . , xd. Vậy x1, . . . , xd là một u.p - dãy và mệnh đề 1.3.2 được chứng minh. Bổ đề 1.3.3. Giả sử l(M/(xn11 , . . . , x nd d )M) là đa thức theo n khi n 0. Khi đó đa thức trên là tuyến tính theo từng biến n1, . . . , nd. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo dimM = d. Vì ta có IM(n;x) = l(M/(x n1 1 , . . . , x nd d )M) − n1 . . . nde(x;M) nên ta chỉ cần chứng minh đa thức IM(n;x) là tuyến tính theo từng biến n1, . . . , nd. Thật vậy, với d = 1 khi đó ta có IM(n;x) = l(M/x n1 1 M)−n1e(x1;M) là đa thức theo n1 với n1  0. Theo công thức Lech ta có lim n1→∞ lM/(xn11 M) n1 = e(x1;M) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 12 nên suy ra bậc của đa thức IM(n;x) là bằng 0. Do đó đa thức IM(n;x) là đa thức tuyến tính theo n1. Giả sử d > 1. Cố định n1 đặt E = M/x n1 1 M thì dimE = d − 1. Khi đó ta có l(M/(xn11 , . . . , xd)M) = l(E/(x n2 2 , . . . , x nd d )E). Khi đó IM(n;x) = l(E/(x n2 2 , . . . , x nd d )E) − n1.n2 . . . nde(x;M). Theo giả thiết quy nạp suy ra IM(n;x) là đa thức tuyến tính theo n2, . . . , nd. Cố định n2, . . . , nd đặt F = M/(x n2 2 , . . . , x nd d )M thì dimF = 1. Khi đó l(M/(xn11 , . . . , x nd d )M) = l(F/x n1 1 F ). Suy ra IM(n;x) = l(F/x n1 1 F ) − n1 . . . nd−1nde(x;M). Theo giả thiết quy nạp suy ra IM(n;x) là đa thức tuyến tính theo n1. Tiếp theo là một kết quả chính của tiết này cũng là một trả lời trọn vẹn cho câu hỏi trong mục 1.2. Định lý 1.3.4. Hàm số IM(n;x) là một đa thức theo n với n 0 khi và chỉ khi hệ tham số x là u.p-dãy. Chứng minh. Điều kiện cần: Theo công thức [A-B] ta có l(M/(xn11 , . . . , x nd−1 d−1 , x knd d )M)− l(M/(xn11 , . . . , xnd−1d−1 , xndd )M) = l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x knd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M) −l((xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M : xndd /(xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M) + d−1∑ i=1 e((x ni+1 i+1 , ..., x nd−1 d−1 , x knd d ); (x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M : x ni i /(x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M) − d−1∑ i=1 e((x ni+1 i+1 , ..., x nd−1 d−1 , x nd d ); (x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M : x ni i /(x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M) = l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x knd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M) −l((xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M : xndd /(xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M) + d−1∑ i=1 e((x ni+1 i+1 , ..., x nd−1 d−1 , x (k−1)nd d ); (x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M : x ni i /(x n1 1 , ..., x ni−1 i−1 )M) = l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x knd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M) −l((xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M : xndd /(xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 13 +l(M/(xn11 , . . . , x nd−1 d−1 , x (k−1)nd d )M) −l((xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M : x(k−1)ndd /(xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M) với mọi số tự nhiên k. Khi đó với d− 1 số nguyên dương n1, . . . , nd1 ta luôn có thể tìm được một số k sao cho (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x knd d = (x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x (k−1)nd d . Từ đây suy ra l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x nd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M) = l(M/(x n1 1 , . . . , x nd d )M) +l(M/(xn11 , . . . , x nd−1 d−1 , x (k−1)nd d )M)− l(M/(xn11 , . . . , xnd−1d−1 , xkndd )M). Theo mệnh đề 1.3.3 các số hạng bên phải đẳng thức là những đa thức tuyến tính theo từng biến ni với n 0. Do đó l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x nd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M) cũng là đa thức. Cố định n1, . . . , nd−1 thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x nd d = (x n1 1 , . . . , x nd d−1)M : x n0 d với nd ≥ n0. Do đó đa thức trên không phụ thuộc vào nd. Vậy tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho (xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x nd d = (x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x n0 d với mọi n1, . . . , nd ≥ n0. Vì chứng minh không phụ thuộc vào thứ tự của dãy x1, . . . , xd nên điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh điều kiện đủ. Đặt e(∅; (xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M : xndd /(xn11 , . . . , xnd−1d−1 )M = l((xn11 , . . . , x nd−1 d−1 )M : x nd d /(x n1 1 , . . . , x nd−1 d−1 )M. Khi đó theo công thức [A-B] ta chỉ cần chứng minh e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd−1 d−1 , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x ni i /(x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M) là các đa thức theo n1, . . . , ni  0, với i = 0, . . . , d. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d và i. Nếu d = 1 hoặc i = 0 và d bất kỳ thì mệnh đề trên hiển nhiên đúng. Cho d > 1 và i ≥ 1. Giả sử mệnh đề đúng với d − 1 hoặc i − 1, ta cần chứng minh e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x ni i /(x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 14 là một đa thức với n1, . . . , nd  0. Thật vậy, xét hoán vị α = (α(1), ..., α(d)) của tập {1, . . . , d} xác định bởi α(i − 1) = i, α(i) = i − 1 và α(j) = j với mọi j 6= {i− 1, i}. Khi đó, theo giả thiết vì x1, . . . , xd là u.p-dãy và dựa vào công thức [A-B] ta tìm được số tự nhiên n0 sao cho 0 = l(M/(xn11 , . . . , x nd d )M)− l(M/(x nα(1) α(1) , . . . , x nα(d) α(d) )M) = e((xnii , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i−1/(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) + e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M) − e((xnα(i)α(i) , . . . , x nα(d) α(d) ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) − e((xni+1i+1 , ..., xndd ); (x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M : x n0 i−1/(x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M với mọi n1, . . . , nd ≥ n0. Suy ra e((xnii , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i−1/(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) − e((xni+1i+1 , ..., xndd ); (x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M : x n0 i−1/(x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M = e((x nα(i) α(i) , . . . , x nα(d) α(d) ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) − e((xni+1i+1 , . . . , xndd ); (xn11 , . . . , xni−1i−1 )M : xn0i /(xn11 , . . . , xni−1i−1 )M). Ký hiệu F là hàm bên phải của đẳng thức. Rõ ràng vế trái của đẳng thức không phụ thuộc vào ni−1 nên F cũng không phụ thuộc vào ni−1. Do đó với n1, . . . , nd ≥ n0 suy ra F = e((xn0i−1, x ni+1 i+1 . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) − e((xni+1i+1 , . . . , xndd ); (xn11 , . . . , xn0i−1)M : xn0i /(xn11 , . . . , xn0i−1)M). Đặt M = M/xn0i−1M. Suy ra dimM = d − 1, từ giả thiết quy nạp theo d ta có e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x n0 i−1)M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x n0 i−1)M) = e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) là một đa thức khi n1, . . . , nd ≥ n0. Mặt khác từ giả thiết quy nạp theo i thì e((xn0i−1, x ni+1 i+1 . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−2 i−2 )M) Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 15 cũng là đa thức khi n1, . . . , nd ≥ n0. Vì F là tổng của hai đa thức nên F cũng là đa thức khi n1, . . . , nd ≥ n0. Cuối cùng, từ quy nạp theo i ta suy ra e((x ni+1 i+1 , . . . , x nd d ); (x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M : x n0 i /(x n1 1 , . . . , x ni−1 i−1 )M) = e((x ni+1 i+1 , ..., x nd d ); (x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M : x n0 i−1/(x nα(1) α(1) , ..., x nα(i−1) α(i−1))M + F là đa thức khi n1, . . . , nd ≥ n0. Khái niệm u.p-dãy lúc đầu được đưa ra là để giải quyết câu hỏi khi nào hàm số IM(n;x) là đa thức. Sau này khái niệm này còn được dùng vào nhiều lĩnh vực khác nhau của Đại số giao hoán. Trong mục tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng u.p-dãy có thể dùng để đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay. 1.4 Một số áp dụng Nhắc lại rằng, một hệ tham số x = (x1, . . . , xd) của M được gọi là f - dãy chính quy nếu xi /∈ p với mọi p ∈ Ass(M/(x1, . . . , xi−1)M)\m}, i = 1, . . . , d. Nó được gọi là f -dãy chính quy hoán vị được nếu mọi hoán vị của nó đều là f-dãy chính quy. Môđun M được gọi là f-môđun nếu mọi hệ tham số của M đều là f-dãy chính quy. Như chúng ta đã biết, f-môđun có những tính chất rất đẹp như Mp là Cohen-Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p 6= m. Mặc dầu với tính chất tốt như vậy nhưng tồn tại f-môđun không là Cohen-Macaulay suy rộng. Trong mục này ta sẽ đặc trưng tính chất đó thông qua u.p-dãy. Trước k