Luyên thi vào lớp 10 môn Toán

®Ò 1 Bài 1 : (2 ®iÓm) a) Tính : b) Giải hệ phương trình : Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. Bµi 3: Do ca n« xuÊt ph¸t tõ A cïng víi bÌ nøa nªn thêi gian cña ca n« b»ng thêi gian bÌ nøa: (h) Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) (x>4) Theo bµi ta cã: Vëy vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h Bµi 4: a) Ta cã (GT) (2 gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b¨ng nhau) * Do A, M nh×n HK d­êi 1 gãc b»ng nhau MHKA néi tiÕp. b) Do BC = BD (do ), OC = OD (b¸n kÝnh) OB lµ ®­êng trung trùc cña CD CDAB (1) Xet MHKA: lµ tø gi¸c néi tiÕp, (gãc nt ch¾n nöa ®­êng trßn) (®l) HKAB (2) Tõ 1,2 HK // CD Bµi 5: (*) , §Ó PT cã nghiÖm (3) (**) §Ó PT cã nghiÖm th× (4) Céng 3 víi 4 ta cã: (lu«n lu«n ®óng víi mäi a, b) De 2 Đề thi gồm có hai trang. PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 1. Tam giác ABC vuông tại A có . Giá trị cosC bằng : a). ; b). ; c). ; d). 2. Cho một hình lập phương có diện tích toàn phần S1 ; thể tích V1 và một hình cầu có diện tích S2 ; thể tích V2. Nếu S1 = S2 thì tỷ số thể tích bằng : a). ; b). ; c). ; d). 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a). x ³ 2 ; b). x ≤ –2 ; c). x ³ –2 và x ≤ 2 ; d). x ³ 2 hoặc x ≤ –2 4. Cho hai phương trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Để hai phương trình cùng vô nghiệm thì : a). a > 1 ; b). a < 1 ; c). ; d). 5. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm đối nhau là : a). m < 0 ; b). m = –1 ; c). m = 1 ; d). m = – 4 6. Cho phương trình có nghiệm x1 , x2. Biểu thức có giá trị : a). A = 28 ; b). A = –13 ; c). A = 13 ; d). A = 18 7. Cho góc a nhọn, hệ phương trình có nghiệm : a). ; b). ; c). ; d). 8. Diện tích hình tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a là : a). ; b). ; c). ; d). PHẦN 2. TỰ LUẬN : (16 điểm) Câu 1 : (4,5 điểm) Cho phương trình . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10. Giải phương trình: Câu 2 : (3,5 điểm) Cho góc nhọn a. Rút gọn không còn dấu căn biểu thức : Chứng minh: Câu 3 : (2 điểm) Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức : Khi nào đẳng thức xảy ra ? Câu 4 : (6 điểm) Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P Î (O), Q Î (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. -----HẾT----- ĐÁP ÁN PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 0,5đ ´ 8 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 a). x x b). x x c). x x d). x x PHẦN 2. TỰ LUẬN : Câu 1 : (4,5 điểm) 1. Đặt X = x2 (X ³ 0) Phương trình trở thành (1) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương + (I) + Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X2. Þ phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = ; x3, 4 = + Vậy ta có + Với m = 1, (I) được thỏa mãn + Với m = –5, (I) không thỏa mãn. + Vậy m = 1. 2. Đặt (t ³ 1) Được phương trình + 3t2 – 8t – 3 = 0 Þ t = 3 ; (loại) + Vậy Þ x = ± 1. + Câu 2 : (3,5 điểm) 1. (vì cosa > 0) + + (vì cosa < 1) + 2. + = = + = + = + Câu 3 : (2 điểm) + Tương tự, + Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. + Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 + Câu 4 : (6 điểm) O O’ B A C D E F I P Q H + 1. Ta có : ABC = 1v ABF = 1v Þ B, C, F thẳng hàng. + AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. ++ 2. ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) + Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) + Þ EBA = AFD hay EBI = EFI + Þ Tứ giác BEIF nội tiếp. + 3. Gọi H là giao điểm của AB và PQ Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng + Þ Þ HP2 = HA.HB + Tương tự, HQ2 = HA.HB + Þ HP = HQ Þ H là trung điểm PQ. + Lưu ý : Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm. Các cách giải khác được hưởng điểm tối đa của phần đó. Điểm từng phần, điểm toàn bài không làm tròn. lu«n lu«n cã nghiÖm. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------®Ò 3-- I.Tr¾c nghiÖm:(2 ®iÓm) H·y ghi l¹i mét ch÷ c¸i ®øng tr­íc kh¼ng ®Þnh ®óng nhÊt. C©u 1: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh lµ : A . 4 B . C . 16 D . 44 C©u 2 : Gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh mx2 +2 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt : A. B. C. vµ D. vµ C©u 3 :Cho néi tiÕp ®­êng trßn (O) cã . S® lµ: A . 750 B . 1050 C . 1350 D . 1500 C©u 4 : Mét h×nh nãn cã b¸n kÝnh ®­êng trßn ®¸y lµ 3cm, chiÒu cao lµ 4cm th× diÖn tÝch xung quanh h×nh nãn lµ: A 9(cm2) B. 12(cm2) C . 15(cm2) D. 18(cm2) II. Tù LuËn: (8 ®iÓm) C©u 5 : Cho biÓu thøc A= a) T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. b) Rót gän biÓu thøc A. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<1. C©u 6 : Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× ®Çy bÓ sau 2 giê 24 phót. NÕu ch¶y riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u th× ®Çy bÓ? C©u 7 : Cho ®­êng trßn t©m (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm C (AB>BC). VÏ ®­êng trßn t©m (O') ®­êng kÝnh BC.Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. VÏ d©y MN vu«ng gãc víi AC t¹i I, MC c¾t ®­êng trßn t©m O' t¹i D. a) Tø gi¸c AMCN lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh tø gi¸c NIDC néi tiÕp? c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ID vµ ®­êng trßn t©m (O) víi ®­êng trßn t©m (O'). §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm 1 C 0.5 2 D 0.5 3 D 0.5 4 C 0.5 5 a) A cã nghÜa 0.5 b) A= 0.5 = 0.25 =2 0.25 c) A<1 2<1 0.25 0.25 x<1 0.25 KÕt hîp ®iÒu kiÖn c©u a) VËy víi th× A<1 0.25 6 2giê 24 phót= giê Gäi thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (giê) ( §k x>0) 0.25 Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: x+2 (giê) Trong 1 giê vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc : (bÓ) 0.5 Trong 1 giê vßi thø hai ch¶y ®­îc : (bÓ) Trong 1 giê c¶ hai vßi ch¶y ®­îc : +(bÓ) Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh: += 0.25 GiaØ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x1=4; x2=-(lo¹i) 0.75 VËy: Thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ:4 giê Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: 4+2 =6(giê) 0.25 7 VÏ h×nh vµ ghi gt, kl ®óng 0.5 a) §­êng kÝnh ABMN (gt) I lµ trung ®iÓm cña MN (§­êng kÝnh vµ d©y cung) 0.5 IA=IC (gt) Tø gi¸c AMCN cã ®­¬ng chÐo AC vµ MN c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng vµ vu«ng gãc víi nhau nªn lµ h×nh thoi. 0.5 b) (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn t©m (O) ) BN AN. AN// MC (c¹nh ®èi h×nh thoi AMCN). BN MC (1) (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®­êng trßn t©m (O') ) BD MC (2) Tõ (1) vµ (2) N,B,D th¼ng hµng do ®ã (3). (v× ACMN) (4) 0.5 Tõ (3) vµ (4) N,I,D,C cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh NC Tø gi¸c NIDC néi tiÕp 0.5 c) OBA. O'BC mµ BA vafBC lµ hai tia ®èi nhau B n»m gi÷a O vµ O' do ®ã ta cã OO'=OB + O'B ®­êng trßn (O) vµ ®­êng trßn (O') tiÕp xóc ngoµi t¹i B 0.5 MDN vu«ng t¹i D nªn trung tuyÕn DI =MN =MI MDI c©n . T­¬ng tù ta cã mµ (v× ) 0.25 mµ do ®ã IDDO ID lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O'). 0.25 Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a §Ò 4 C©u1 : Cho biÓu thøc A=Víi x¹;±1 .a, Ruý gän biÓu thøc A .b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x= c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3 C©u2.a, Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: b. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: <0 C©u3. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0) C©u 4. Cho nöa ®­êng trßn t©m O , ®­êng kÝnh BC .§iÓm A thuéc nöa ®­êng trßn ®ã D­ng h×nh vu«ng ABCD thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB, kh«ng chøa ®Ønh C. Gäi Flµ giao ®iÓm cña Aevµ nöa ®­êng trßn (O) . Gäi Klµ giao ®iÓm cña CFvµ ED chøng minh r»ng 4 ®iÓm E,B,F,K. n»m trªn mét ®­êng trßn Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× sao. ? ®¸p ¸n C©u 1: a. Rót gän A= b.Thay x= vµo A ta ®­îc A= c.A=3 x2-3x-2=0=> x= C©u 2 : a)§Æt x-y=a ta ®­îc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 Tõ ®ã ta cã * (1) *(2) Gi¶i hÖ (1) ta ®­îc x=3, y=2 Gi¶i hÖ (2) ta ®­îc x=0, y=4 VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4 Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x VËy bÊt ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi x-5>0 =>x>5 C©u 3: Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 XÐt 2m-1¹0=> m¹ 1/2 khi ®ã ta cã = m2-2m+1= (m-1)2³0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) víi m¹ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x== pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0 =>=>m<0 VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0 C©u 4: a. Ta cã KEB= 900 mÆt kh¸c BFC= 900( gãc néi tiÕp ch¾n n÷a ®­êng trßn) do CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D => BFK= 900 => E,F thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BK. b. BCF= BAF Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450 Ta cã BKF= BEF Mµ BEF= BEA=450(EA lµ ®­êng chÐo cña h×nh vu«ng ABED)=> BKF=450 V× BKC= BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B §Ò 5 Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = a,Rót gän P b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m. b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n =50 Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng minh: a,Ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2. b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4 Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O . H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. b, Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng. c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 5: Cho hai sè d­¬ng x; y tho¶ m·n: x + y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = §¸p ¸n Bµi 1: (2 ®iÓm). §K: x a, Rót gän: P = P = b. P = §Ó P nguyªn th× VËy víi x= th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Bµi 3: a. V× x1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. . V× x1> 0 => c. Chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = V× x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0 v× x2> 0 nªn c. ®iÒu nµy chøng tá lµ mét nghiÖm d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 = VËy nÕu ph­¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d­¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph­¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 = ; t2 = b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d­¬ng nªn t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2 Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 4 Bµi 4 a. Gi¶ sö ®· t×m ®­îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . Khi ®ã: BD//HC; CD//HB v× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn CH vµ BH => BD vµ CD. Do ®ã: ABD = 900 vµ ACD = 900 . VËy AD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m O Ng­îc l¹i nÕu D lµ ®Çu ®­êng kÝnh AD cña ®­êng trßn t©m O th× tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn APB = ADB nh­ng ADB =ACB nh­ng ADB = ACB Do ®ã: APB = ACB MÆt kh¸c: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tø gi¸c APBH néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn nªn PAB = PHB Mµ PAB = DAB do ®ã: PHB = DAB Chøng minh t­¬ng tù ta cã: CHQ = DAC VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c). Ta thÊy APQ lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A Cã AP = AQ = AD vµ PAQ = 2BAC kh«ng ®æi nªn c¹nh ®¸y PQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ó AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay ó AD lµ lín nhÊt ó D lµ ®Çu ®­êng kÝnh kÎ tõ A cña ®­êng trßn t©m O §Ò 6 Bµi 1: Cho biÓu thøc: a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b). T×m x,y nguyªn tháa m·n ph¬ng tr×nh P = 2. Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . a). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iÓm thuéc ®­êng trßn . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi ®êng trßn (O), gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC . Tia BC c¾t Ax t¹i Q , tia AM c¾t BC t¹i N. a). Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n . b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R. Bµi 5: Cho tháa m·n : H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . §¸p ¸n Bµi 1: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; . *). Rót gän P: VËy P = b). P = 2 = 2 Ta cã: 1 + Þ Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n Bµi 2: a). §­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) lµ : y = mx + m – 2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: - x2 = mx + m – 2 x2 + mx + m – 2 = 0 (*) V× ph¬ng tr×nh (*) cã nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. b). A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu m – 2 < 0 m < 2. Bµi 3 : §KX§ : Thay vµo (1) => x = y = z = 3 . Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh . VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3. Bµi 4: a). XÐt vµ . Ta cã: AB lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O) nªn :AMB = NMB = 90o . M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC nªn ABM = MBN => BAM = BNM => c©n ®Ønh B. Tø gi¸c AMCB néi tiÕp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB). => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM). => Tam gi¸c MCN c©n ®Ønh M b). XÐt vµ cã : MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt) BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ). => => BC = NQ . XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = Bµi 5: Tõ : => => Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = §Ò 7 Bµi 1: 1) Cho ®­êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4. §­êng th¼ng d/ ®èi xøng víi ®­êng th¼ng d qua ®­êng th¼ng y = x lµ: A.y = x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y = x - 2 ; D.y = - 2x - 4 H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng. 2) Mét h×nh trô cã chiÒu cao gÊp ®«i ®­êng kÝnh ®¸y ®ùng ®Çy n­íc, nhóng ch×m vµo b×nh mét h×nh cÇu khi lÊy ra mùc n­íc trong b×nh cßn l¹i b×nh. TØ sè gi÷a b¸n kÝnh h×nh trô vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu lµ A.2 ; B. ; C. ; D. mét kÕt qu¶ kh¸c. B×a2: 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0 2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = + Bµi 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7 Ph©n tÝch thµnh thõa sè ®­îc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam gi¸c nhän x©y, B, C lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm cè ®Þnh trªn tia Ax, Ay sao cho AB < AC, ®iÓm M di ®éng trong gãc xAy sao cho = X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4: Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I bÊt kú trªn ®oan CD. a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña MN. b) Chøng minh tæng MA + NA kh«ng ®æi. c) Chøng minh r»ng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh. H­íng dÉn Bµi 1: 1) Chän C. Tr¶ lêi ®óng. 2) Chän D. KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè lµ: 1 Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph­¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n. 2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt. XÐt A2 = (+ )2 = x + y + 2 = 1 + 2 (1) Ta cã: (BÊt ®¼ng thøc C« si) => 1 > 2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2 < 1 + 2 = 2 Max A2 = 2 x = y = , max A = x = y = Bµi3 C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c) Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c) Cã 2 tr­êng hîp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7 4 + c = - 7 4 + c = - 1 Tr­êng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11) Tr­êng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2 Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5) C©u2 (1,5®iÓm) Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho: AD = AB. Ta cã D lµ ®iÓm cè ®Þnh Mµ = (gt) do ®ã = XÐt tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c ADM cã M©B (chung) = = Do ®ã Δ AMB ~ Δ ADM => = = 2 => MD = 2MD (0,25 ®iÓm) XÐt ba ®iÓm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®æi) Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" x¶y ra M thuéc ®o¹n th¼ng DC Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + 2 MC lµ 2 DC * C¸ch dùng ®iÓm M. - Dùng ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AB - Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = AB M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®­êng trßn (A; AB) Bµi 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N Do M©N = 900 nªn MN lµ ®­êng kÝnh VËy I lµ trung ®iÓm cña MN b) KÎ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (v× ΔMKD vu«ng c©n) VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi c) Ta cã IA = IB = IM = IN VËy ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ΔAMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh . §Ò 8 Bµi 1. Cho ba sè x, y, z tho· m·n ®ång thêi : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :. Bµi 2). Cho biÓu thøc :. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã Bµi 3. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : Bµi 4. Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB b¸n kÝnh R. TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M bbÊt kú trªn ®­êng trßn (O) c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn l­ît t¹i C vµ D. a.Chøng minh : AC . BD = R2. b.T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c COD lµ nhá nhÊt . Bµi 5.Cho a, b lµ c¸c sè thùc d­¬ng. Chøng minh r»ng : Bµi 6).Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD. Chøng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC. H­íng dÉn gi¶i Bµi 1. Tõ gi¶ thiÕt ta cã : Céng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc ta cã : VËy : A = -3. Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã : Do vµ Bµi 3. §Æt : Ta cã : u ; v lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : ; ; Gi¶i hai hÖ trªn ta ®­îc : NghiÖm cña hÖ lµ : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ c¸c ho¸n vÞ. Bµi 4. a.Ta cã CA = CM; DB = DM C¸c tia OC vµ OD lµ ph©n gi¸c cña hai gãc AOM vµ MOB nªn OC OD Tam gi¸c COD vu«ng ®Ønh O, OM lµ ®­êng cao thuéc c¹nh huyÒn CD nªn : o h d c m b a MO2 = CM . MD R2 = AC . BD b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp (0,25®) Do ®ã : (MH1 AB) Do MH1 OM nªn Chu vi chu vi DÊu = x¶y ra MH1 = OM MO M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung Bµi 5 (1,5 ®iÓm) Ta cã : a , b > 0 a , b > 0 MÆt kh¸c Nh©n tõng vÕ ta cã : Bµi 6. (1 ®iÓm) VÏ ®­êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp d e c b a Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) Ta cã: (g.g) L¹i cã : §Ì 9 C©u 1: Cho hµm sè f(x) = a) TÝnh f(-1); f(5) b) T×m x ®Ó f(x) = 10 c) Rót gän A = khi x ¹ C©u 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh C©u 3: Cho biÓu thøcA = víi x > 0 vµ x ¹ 1 a) Rót gän A b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 C©u 4: Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®­êng kÝnh BC. a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH b) Gi¶ sö PO = d. TÝnh AH theo R vµ d. C©u 5: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 ®¸p ¸n C©u 1a) f(x) = Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3 b) c) Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra C©u 2 C©u 3 a) Ta cã: A = = = = = = = b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3 C©u 4 O B C H E A P Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) nªn theo ®Þnh lý Ta let ¸p dông cho CPB ta cã ; (1) MÆt kh¸c, do PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai gãc ®ång vÞ) => D AHC D POB Do ®ã: (2) Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña AH. b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®­êng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB C©u 5 §Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× D > 0 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Tõ ®ã suy ra m ¹ 1,5 (1) MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2) §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x1 + x2 = 11 §Ò 10 C©u 1: Cho P = + - a/. Rót gän P. b/. Chøng minh: P < víi x 0 vµ x 1. C©u 2: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè. a/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. b/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia. C©u 3: a/. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : + = 2 b/. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc thâa m·n : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña Q = 6 a + 7 b + 2006 c. C©u 4: Cho c©n t¹i A víi AB > BC. §iÓm D di ®éng trªn c¹nh AB, ( D kh«ng trïng víi A, B). Gäi (O) lµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp . TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ D c¾t nhau ë K . a/. Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp. b/. Tø gi¸c ABCK lµ h×nh g×? V× sao? c/. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCK lµ h×nh b×nh hµnh. §¸p ¸n C©u 1: §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1. (0,25 ®iÓm) P = + - = + - = = = b/. Víi x 0 vµ x 1 .Ta cã: P < < 3 0 ) x - 2 + 1 > 0 ( - 1)2 > 0. ( §óng v× x 0 vµ x 1) C©u 2:a/. Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ 0. (m - 1)2 – m2 – 3 0 4 – 2m 0 m 2. b/. Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm. Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã: a= 3()2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0 m = –32 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn). C©u 3: §iÒu kiÖn x 0 ; 2 – x2 > 0 x 0 ; < . §Æt y = > 0 Ta cã: Tõ (2) cã : x + y = 2xy. Thay vµo (1) cã : xy = 1 hoÆc xy = - * NÕu xy = 1 th× x+ y = 2. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X2 – 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1. * NÕu xy = - th× x+ y = -1. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X2 + X - = 0 X = V× y > 0 nªn: y = x = VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = C©u 4: c/. Theo c©u b, tø gi¸c ABCK lµ h×nh thang. Do ®ã, tø gi¸c ABCK lµ h×nh b×nh hµnh AB // CK Mµ s® = s® = Nªn Dùng tia Cy sao cho .Khi ®ã, D lµ giao ®iÓm cña vµ Cy. Víi gi¶ thiÕt > th× > > . D AB . VËy ®iÓm D x¸c ®Þnh nh­ trªn lµ ®iÓm cÇn t×m. §Ò 11 C©u 1: a) X¸c ®Þnh x R ®Ó biÓu thøc :A = Lµ mét sè tù nhiªn b. Cho biÓu thøc: P = BiÕt x.y.z = 4 , tÝnh . C©u 2:Cho c¸c ®iÓm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) Chøng minh 3 ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; 3 ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. C©u3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: C©u 4 Cho ®­êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm A sao cho OA = R. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®­êng trßn. Mét gãc ÐxOy = 450 c¾t ®o¹n th¼ng AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng: a.DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ( O ). b. ®¸p ¸n C©u 1: a. A = A lµ sè tù nhiªn -2x lµ sè tù nhiªn x = (trong ®ã k Z vµ k 0 ) b.§iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x,y,z 0, kÕt hpä víi x.y.z = 4 ta ®­îc x, y, z > 0 vµ Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø 2 víi ; thay 2 ë mÉu cña h¹ng tö thø 3 bëi ta ®­îc: P = (1®) v× P > 0 C©u 2: a.§­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b §iÓm A(-2;0) vµ B(0;4) thuéc ®­êng th¼ng AB nªn b = 4; a = 2 VËy ®­êng th¼ng AB lµ y = 2x + 4. §iÓm C(1;1) cã to¹ ®é kh«ng tho¶ m·n y = 2x + 4 nªn C kh«ng thuéc ®­êng th¼ng AB A, B, C kh«ng th¼ng hµng. §iÓm D(-3;2) cã to¹ ®é tho¶ m·n y = 2x + 4 nªn ®iÓm D thuéc ®­êng th¼ng AB A,B,D th¼ng hµn b.Ta cã : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 AB2 = AC2 + BC2 DABC vu«ng t¹i C VËy SDABC = 1/2AC.BC = ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) C©u 3: §kx® x1, ®Æt ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: B M A O C D E Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ ta ®­îc: v = 2 x = 10. C©u 4 a.¸p dông ®Þnh lÝ Pitago tÝnh ®­îc AB = AC = R ABOC lµ h×nh vu«ng (0.5®) KÎ b¸n kÝnh OM sao cho ÐBOD = ÐMOD ÐMOE = ÐEOC (0.5®) Chøng minh DBOD = DMOD ÐOM