Lý thuyết cơ bản chương I, II - Hình học 9

LÝ THUYẾT CƠ BẢN CHƯƠNG I, II - HÌNH HỌC 9 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lý1 : Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lý 2 : Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Định lý 3 : Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Định lý 4 : Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông Tỉ số lượng giác của góc nhọn + Định nghĩa : Xét một góc nhọn a trong một tam giác vuông : Sin a = cạnh đốicạnh huyền , cos a = , tg a = cạnh đốicạnh kề , cotg a = cạnh kềcạnh đối Nhận xét : 0 < sina < 1 , 0 < cosa < 1 tg a và cotg a là hai giá trị nghịch đảo của nhau . Ta có tga.cotga = 1 + Tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau : Định lý : Nếu hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotg góc kia Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt : 300 450 600 sin a 12 22 32 cos a 32 22 12 tg a 33 1 3 cotg a 3 1 33 + Các công thức lượng giác đơn giản : sin2 a + cos2a = 1 , tg a .cotga = 1 , tg a = sin∝cos∝ , cotg a = cos∝sin∝ 1 + tg2 a = 1cos2∝ , 1 + cotg2 a = 1sin2∝ + Nhận xét : Khi góc a tăng từ 00 đến 900 thì sina và tga tăng còn cosa và cotga giảm Với hai góc nhọn a, b thì : ∝ cosβ ∝ cotgβ + Tìm tỉ số lượng giác và góc bằng máy tính bỏ túi casio fx -570 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác : Định lý : Trong một tam giác vuông, mổi cạnh góc vuông bằng : - Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề - Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề 5. Áp dụng giải tam giác vuông : Trong một tam giác vuông, nếu biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó. Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán “ Giaỉ tam giác vuông ” Để giải một tam giác cần biết : hai cạnh hoặc một góc nhọn và một cạnh Để giải một tam giác cần biết ít nhất là 1 cạnh, một góc nhọn 6. Đường tròn : + Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là ( O; R), ta cũng có thể kí hiệu là (O) khi không cần chú ý đến bán kính +Lưu ý : Hình tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm có khoảng cách đến O nhỏ hơn hoặc bằng R + Cách xác định một đường tròn - Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó - Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó - Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn Chú ý : Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng + Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn : Xét đường tròn (O;R) và điểm M , OM = d M thuộc đường tròn (O;R) M nằm trong đường tròn (O;R) M nằm ngoài đường tròn (O;R) d = R d R + Đường tròn ngoại tiếp tam giác ( tam giác nội tiếp đường tròn ) : - Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ( khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn ) - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn nằm trong tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tù nằm ngoài tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền - Trong tam giác đều, mỗi đường trung tuyến cũng là đường trung trực, đường phân giác, đường cao nên trọng tâm, điểm cách đều ba cạnh, điểm cách đều ba đỉnh, trực tâm trùng nhau nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều chính là điểm cách đều ba đỉnh ( hoặc điểm cách đều ba cạnh hoặc trực tâm hoặc trọng tâm ) - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh bằng a là a33 - Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông + Tâm đối, trục đối xứng của một đường tròn : - Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó - Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó 7. Đường kính và dây của đường tròn + So sánh độ dài của đường kính và dây: Định lý1 : Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính + Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: Định lý2 : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy Định lý3 : Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy 8. Liên hệ giữa dây và khoảng cánh từ tâm đến dây Định lý1 : Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Định lý2 : Trong một đường tròn : a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn 9. Ba vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH ^ a tại H và OH = d ( OH là khỏang cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ) 9.1 Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 9.2 Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau ( Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung ) ( Đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung ) R > d R = d Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn . H là tiếp điểm 9.3 Đường thẳng và đường tròn giao nhau ( Đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung ) R = d Đường thẳng a là cát tuyến của đường tròn 10. Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn : 10.1 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn : Định lý : Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm 10.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn : 10.2.a) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn 10.2.b) Nếu khỏang cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn Định lý : Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn 10.3 Tính chất về 2 tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn : Định lý : Nếu 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : - Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 2 bán kính đi qua các tiếp điểm 11. Đường tròn ngoại tiếp tam giác : - Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác DABC là tam giác nhọn nên tâm O DABC là tam giác tù nên tâm O DABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác của đường tròn ngoại tiếp tam giác của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác nằm ngoài tam giác là trung điểm của cạnh huyền 12. Đường tròn nội tiếp tam giác : - Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc ba cạnh của một tam giác ( Ba cạnh của tam giác là ba tiếp tuyến của đường tròn ) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm trong tam giác 13. Đường tròn bàng tiếp tam giác : - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác - Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B ( hoặc C ) - Với một tam giác, có 3 đường tròn bàng tiếp 14. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; r), giả sử R > r và OO’ = d 14.1 Hai đường tròn không giao nhau ( 2 đường tròn không có điểm chung ) Hai đường tròn ở ngoài Đường tròn (O) đựng (O’) Hai đường tròn đồng tâm d > R + r d < R – r d = 0 14.2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau ( 2 đường tròn có 1 điểm chung ) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài Hai đường tròn tiếp xúc trong d = R + r d = R – r > 0 14.3 Hai đường tròn giao nhau ( 2 đường tròn có 2 điểm chung ) Hai đường tròn giao nhau có 2 điểm chung, có một dây chung R – r < d < R + r Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn cắt nhau Định lý : ( Tính chất đường nối tâm ) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm 15. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn : - Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn không cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cắt đoạn nối tâm - Hai đường tròn không giao nhau có 2 tiếp tuyến chung trong, 2 tiếp tuyến chung ngoài - Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có 1 tiếp tuyến chung trong, 2 tiếp tuyến chung ngoài Hai đường tròn tiếp xúc trong có 1 tiếp tuyến chung ngoài - Hai đường tròn cắt nhau có 2 tiếp tuyến chung ngoài · Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn không giao nhau ( trường hợp 2 đường tròn ở ngoài nhau) Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r) với R > r - Vẽ tam giác OO’I vuông tại I có cạnh huyền OO’ = d OI = R – r O’I = d2-R-r2 - OI cắt đường tròn (O;R) tại B - Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ OO’ ) - Vẽ đường thẳng BC, BC là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r) · Vẽ tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn không giao nhau ( trường hợp 2 đường tròn ở ngoài nhau) Vẽ tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r) với R > r - Vẽ tam giác OO’I vuông tại I có cạnh huyền OO’ = d OI = R + r O’I = d2-R+r2 - OI cắt đường tròn (O;R) tại B - Vẽ bán kính O’C song song với OI ( B và C cùng thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ OO’ ) - Vẽ đường thẳng BC, BC là tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O ; R) và ( O’; r)