Một bài toán có nhiều cách giải

Một bài toán có nhiều cách giải *************************** Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi khi giảng dạy việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toán là cần thiết vì thông qua đó giáo viên có thể đánh giá học sinh về độ “rộng, sâu, chắc” kiến thức, khả năng nhanh nhạy của học sinh mà việc đó rất cần với học sinh giỏi. Đây là vấn đề khó xong nếu người làm toán mà đam mê, ham học hỏi mà thành công được thì tự nhiên nó trở thành một nhu cầu cần thiết. Tôi xin đưa ra một ví dụ về một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản mà có nhiều cách giải để các bạn yêu toán tham khảo. Bài toán : Cho a , b , c là ba số dương thoã mãn : a > c , b > c. Chứng minh rằng : . (1) Lời giải 1 : ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) (1) . Do a > c , b > c nên hai vế cùng dương, ta bình phương hai vế : Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời giải 2 : ( Sử dụng phếp biến đổi tương đương). ở cách này ta không chuyển vế như cách trên mà ta thấy hai vế cùng dương nên bình phương luôn. (1) Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời giải 3 : (Đặt ẩn phụ). Ta thấy dưới dấu căn của vế trái các nhân tử có quan hệ đặc biệt như sau : ; . Do đó ta có thể đặt ẩn phụ như sau : Thay vào bất đẳng thức đã cho và biển đổi tương đương : (1) Hai vế cùng dương bình phương hai vế ta có : (1) Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh. Lời giải 4 : (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) Đặt : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 4 số x , y , : h c a b Đây chính là điều phải chứng minh. Lời giải 5 : (Phương pháp hình học). Theo giả thiết bài toán tồn tại một tam giác ABC như sau : AB = ; AC = ; AH = (Hình vẽ : AH là đường cao hạ xuống BC). áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông ABH, ACH ta tính ngay được : BH = ; CH = Ta có : Hay : .. Vậy : (Do 1 ). Dấu “ = ” xẩy ra khi = 1V. Khi đó : Lời giải 6 : (Phương pháp lượng giác) Do > 0 nên chia hai vế của (1) cho ta có : Nhận thấy : ; . Do vậy đặt : (Có thể chọn 0 < ; t < ) Khi đó : Vậy: Bất đẳng thức này đúng.(đpcm) Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và sưu tầm. Chúc các bạn thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi dưỡng học sinh giỏi.