Một số bài tập hình cơ bản

MỘT SỐ BÀI TẬP HèNH CƠ BẢN Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Người ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a. Tứ giác CPKB nội tiếp. b. AI.BK=AC.CB. c. D APB vuông. d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O). Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh góc AOC=góc BIC Chứng minh BI//MN. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 3. Cho (O) có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp. b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh: góc AME=2 góc ACB. c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O). d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60o. Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. a. Chứng minh CD//AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c. Chứng minh tích KM.KN khụng đổi. d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể được. Baứi 5 Cho ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB = 2R. Tửứ moọt ủieồm M treõn tia ủoỏi cuỷa tia AB, keừ hai tia tieỏp tuyeỏn MC vaứ MD cuỷa ủửụứng troứn ủoự ( C vaứ D ụỷ treõn ủửụứng troứn ), daõy CD caột ủửụứng kớnh AB taùi I. Chửựng minh a ) Tửự giaực OCMD noọi tieỏp b ) CA laứ tia phaõn giaực cuỷa goực MCD c ) 2 d ) Giaỷ sửỷ tam giaực MCD ủeàu, tớnh dieọn tớch cuỷa phaàn tam giaực MCD ụỷ ngoaứi ủửụứng troứn ( O ) theo R Baứi 6: Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn. Dửùng ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh BC caột AB taùi E vaứ caột AC taùi F. Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa CE vaứ BF. Chửựng minh raống: a ) AEIF laứ tửự giaực noọi tieỏp b ) AI vuoõng goực vụựi BC c ) . Suy ra OE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực AEIF Baứi 7 : Cho tam giaực ABC vuoõng caõn taùi A . Treõn caùnh AC ta laỏy moọt ủieồm M baỏt kyứ . Tửứ C keừ ủửụứng vuoõng goực vụựi BM ủửụứng thaỳng naứy caột caực ủửụứng thaỳng BM vaứ BA theo thửự tửù ụỷ D vaứ E Chửựng minh raống ABCD laứ tửự giaực noọi tieỏp Chửựng minh EA . EB = ED . EC Chửựng minh AE = AM d) Khi M di chuyeồn treõn caùnh AC Thỡ ủieồm D di chuyeồn treõn ủửụứng naứo ? taùi sao ? Baứi 8 : Cho ủửụứng troứn ( O ; R ) coự hai ủửụứng kớnh AB vaứ CD vuoõng goực vụựi nhau . Treõn ủoaùn thaỳng AB laỏy moọt ủieồm M ( khaực O) . ẹửụứng thaỳng CM caột ủửụứng troứn ( O ) taùi ủieồm thửự hai N . ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AB taùi M caột tieỏp tuyeỏn taùi N cuỷa ủửụứng troứn ụỷ ủieồm P . Chửựng minh raống a) Tửự giaực OMNP noọi tieỏp ủửụùc b) Tửự giaực CMPO laứ hỡnh bỡnh haứnh c) Tớch CM . CN khoõng phuù thuoọc vũ trớ cuỷa ủieồm M d) Khi M di ủoọng treõn ủoaùn thaỳng AB thỡ P chaùy treõn moọt ủoaùn thaỳng coỏ ủũnh Baứi 9 : Cho moọt ủửụứng troứn (O) vaứ moọt ủieồm M coỏ ủũnh beõn ngoaứi ủửụứng troứn . Tửứ M keừ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB tụựi ủửụứng troứn ( A , B laứ tieỏp ủieồm ) vaứ moọt caựt tuyeỏn di ủoọng MCD . Keừ daõy cung AE song song vụựi caựt tuyeỏn MCD . Daõy EB caột daõy CD taùi I . Tia OI caột ủửụứng thaỳng AB taùi N a) Chửựng minh : b) Chửựng minh 5 ủieồm A , I , O , B , M cuứng naốm treõn moọt ủửụứng troứn c)Chửựng minh I laứ trung ủieồm cuỷa CD d) Khi caựt tuyeỏn MCD di ủoọng . Chửựng minh tớch soỏ OI .ON khoõng ủoồi Baứi 10 : Cho tam giaực ABC coự 3 goực nhoùn noọi tieỏp trong moọt ủửụứng troứn taõm O baựn kớnh R . Keừ caực ủửụứng cao AD, BE , CF a) chửựng minh EF song song vụựi tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taõm O tai A b) Chửựng minh AB . AC = AD . 2R c) Giaỷ sửỷ BC coỏ ủũnh vaứ A di ủoọng treõn ủửụứng troứn O chửựng minh raống baựn kớnh ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực AEF khoõng ủoồi Baứi 11: Cho tửự giaực ABCD noọi tieỏp trong moọt ủửụứng troứn vaứ P laứ ủieồm chớnh giửừa cuỷa cung AB khoõng chửựa C vaứ D . Hai daõy PC vaứ PD laàn lửụùt caột daõy AB taùi E vaứ F . Caực daõy AD vaứ PC keựo daứi caột nhau taùi I caực daõy BC vaứ PD keựo daứi caột nhau taùi K. chửựng minh raống a) b) Tửự giaực CDFE noọi tieỏp c) IK song song AB d) ẹửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực AFD tieỏp xuực vụựi PA taùi A e) Tỡm ủieàu kieọn cuỷa tửự giaực ABCD ủeồ coự FA = EB Bài 12 : Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đường tròn (O) . Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E . Gọi I là giao điểm của các đường chéo AC và BD . Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đường tròn . Chứng minh các đường thẳng EI , AB song song với nhau. Đường thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S . CMR : I là trung điểm của đoạn RS . Bài 13: Cho đường tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn . Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đường tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm . Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng AQ tại M . CMR : MO = MA . Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ tương ứng tại B và C . CMR : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N . CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn thì PQ // BC. Bài 14 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A . M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P . Chứng minh : Tích BM . BN không đổi . Tứ giác MNPQ nội tiếp được trong đường tròn . Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R Bài 15 : Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Đường phân giác trong AD và đường trung tuyến AM của tam giác ( D tương ứng cắt đường tròn (O) tại P và Q ( P ,Q khác A ) . Gọi I là điểm đối xứng với D qua M . Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . Chứng minh AD là phân giác của góc OAH . Chứng minh tứ giác PMIQ nội tiếp . So sánh DP và MQ.