Một số bài toán tổ hợp

Với là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: 000 Ta có:  Cho , ta có: 111 Chứng minh:  000 Đặt:   Ta có:  . . Đề bài Chứng minh rằng: . Bài giải chi tiết | n Ta có:   . Lấy đạo hàm 2 vế ta có : . Cho   ta có : Đề bài Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của Bài giải chi tiết | Bậc của trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của trong 4 sô hạng cuối lớn hơn 8. Vậy chỉ có trong các số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: Đề bài Gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để Bài giải chi tiết | Cách 1: Ta có  , . Dễ dàng kiểm tra không thỏa mãn điều kiện bài toán. Với thì . Do đó hệ số của trong khai triển đa thức của là Vậy Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dương). Đề bài Tính tổng    Bài giải chi tiết | Ta có . Đề bài Giải hệ phương trình  :   Bài giải chi tiết | Điều kiện : . Từ phương trình thứ hai suy ra Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp Đưa về phương trình . Giải phương trình này và loại , nhận Đề bài Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết rằng Bài giải chi tiết | Từ giả thiết suy ra:    (1) Vì , ,   nên :     (2)     Từ triển khai nhị thức Niutơn của suy ra :                                        (3)                                                                         Ta có : Hệ số của là   với thỏa mãn :   Vậy hệ số của là :                          Đề bài Cho . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng  ? Bài giải chi tiết | Xét trường hợp    Vì và phải là bội số của 3. hay hay Vậy có 3 số hạng  trong khai triển trên có lũy thừa của x giống nhau. Mặt khác: biểu thức chứa 21 số hạng và biểu thức chứa 11 số hạng Nên sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A sẽ gồm : 21 + 11 - 3 = 29 số hạng  . Đề bài Khai triển biểu thức ta được đa thức có dạng . Tìm hệ số của , biết . Bài giải chi tiết |  Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là : Từ đó ta có : Với , ta có hệ số của trong khai triển là Đề bài Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: Bài giải chi tiết | Do đó hệ số của số hạng chứa là: Đề bài Chứng minh rằng:  Bài giải chi tiết | Dùng khai triển nhị thức Niutơn :   (1)   (2) Cộng hai vế (1) và (2) ta được : Cho : Đề bài Trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết số hạng thứ tư bằng 200 . Tìm x. Bài giải chi tiết | Điều kiện Ta có : Theo giả thiết số hạng thứ tư bằng 200 Vậy là những giá trị phải tìm thỏa mãn điều kiện đầu bài . Đề bài Đặt : Tính tổng : Bài giải chi tiết | Ta có Xét x=1 => =>=