Một số dạng toán về Đa thức - Phân thức

Mét sè d¹ng to¸n vÒ ®a thøc - ph©n thøc Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 1/ a3 + b3 + c3 - 3abc 2/ a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) 3/ a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 4/ )a2 + b2)3 + (c2 - a2)3 - (b2 + c2)3 5/ (x2 - x + 1)(x2 - x + 2) - 12 6/ x2(y2 - 4) - 6x(y2 - 4) + 9 7/ bc(a + d)(b - c) - ac(b + d)(a - c) + ab(c + d)(a - b) 8/ 9a3 - 13a + 6 9/ x8 + x4 + 1 10/ (a2 + a + 4)2 + 8a(a2 + a + 4) +15a2 11/ (x + y)5 - x5 - y5 12/ (x + y)7 - x7 - y7 13/ x5 + x4 + 1 14/ x8 + x7 + 1 15/ x8 + x + 1 16/ x10 + x5 + 1 17/ a3 + 4a2 - 29a + 24 18/ x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 19/ x3 + 6x2 + 11x + 6 20/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x+ 7) + 15 C¸c bµi to¸n vÒ chia ®a thøc. a) T×m a vµ b vµ c ®Ó 1/ §a thøc x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - 2x + 2 2/ §a thøc x5 + 32 chia hÕt cho ®a thøc x + a 3/ §a thøc x4 + x3 + 3x2 + ax + 4 chia hÕt cho ®a thøc x2 - x + b 4/ §a thøc ax3 + ax + b chia hÕt cho x + 2 vµ khi chia cho x2 - 1 th× d­ x + 5 5/ 6x3 - 2x2 - ax - 2 chia hÕt cho 2x - 3 6/ x4 + ax3 + 3x2 - 4x - 4 chia hÕt cho x - 2 7/ X¸c ®Þnh sè h÷u tØ k ®Ó ®a thøc: A = x3 + y3 z3 + kxyz chia hÕt cho ®a thøc x + y + z b) T×m sè d­ cña c¸c phÐp chia ®a thøc 1/ x3 - 5x2 + 7x - 3 cho x - 2 2/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2004 cho x2 + 8x + 1 3/ 1 + x + x19 + x199 + x1995 cho 1 - x2 8/ T×m mét ®a thøc bËc ba biÕt. P0 = 10 ; P1 = 12 ; P2 = 4 ; vµ P3 = 1 9/ T×m mét ®a thøc bËc ba P(x), cho biÕt khi chia P(x) cho c¸c ®a thøc : (x - 1) ; (x - 2) ; (x - 3) ®Òu ®­îc d­ lµ 6 vµ P(-1) = -18 10/ Cho ®a thøc bËc bèn P(x) tho· m·n: P(-1) = 0 vµ P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1) a/ X¸c ®Þnh P(x) b/ Suy ra gi¸ trÞ cña tæng sau ®©y. S = 1.2.3 + 2.3.4 + ...+ n(n + 1)(2n + 1) 11/ T×m mét ®a thøc bËc hai biÕt : P(0) = 19 ; P(1) = 85 ; P(2) = 1985 12/ Cho ®a thøc P(x) = x4 + x3 - x2 + ax + b vµ Q(x) = x2 + x - 2 X¸c ®Þnh a, b ®Ó P(x) chia hÕt cho Q(x) 13/ X¸c ®Þnh a, b sao cho ®a thøc P(x) = ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho Q(x) = (x - 1)2 14/ X¸c ®Þnh a, b sao cho P(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 chia hÕt cho Q(x) = x2 - x + b 15/ X¸c ®Þnh ®a thøc P(x) biÕt : P(x) chia cho (x + 3) d­ 1 ; chia cho (x - 4) d­ 8 ; chia cho (x + 3)(x - 4) th× ®­îc th­¬ng lµ 3x vµ cßn d­ 16/ X¸c ®Þnh d­ cña phÐp chia ®a thøc P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho Q(x) = x - 1 17/ X¸c ®Þnh d­ cña phÐp chia ®a thøc P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho Q(x) = x2 - 1 18/ X¸c ®Þnh d­ cña phÐp chia . P(x) = 1 + x + x9 + x25 + x49 + x81 cho Q(x) = x3 - x 19/ Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1 C¸c bµi to¸n chøng minh. 1/ Chøng minh r»ng biÓu thøc A = a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b) lu«n kh¸c 0 nÕu ba sè a, b, c ph©n biÖt 2/ Chøng minh r»ng nÕu x, y, z lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×: B = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2 lu«n lu«n d­¬ng 3/ Cho P(x) = x1970 + x1930 + x1890 vµ Q(x) = x20 + x10 + 1 Chøng minh r»ng khi x lµ mét sè nguyªn th× P(x) chia hÕt cho Q(x) 4/ Chøng minh r»ng A = 7.52n + 12.6n chia hÕt cho 19 (n N) 5/ Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè nguyªn 6/ Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n - 6n5 - 26 vµ B = n3 - n + 1 -Chøng minh r»ng víi mäi n Z th× th­¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi cña 6. -T×m n Z ®Ó A chia hÕt cho B 7/ Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau lu«n d­¬ng víi mäi x x8 - x7 + x5 - x3 + 1 vµ x12 - x9 + x4 - x + 1 8/ Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = -3 th× (x + 1)3 + (y + 1)3 + (z + 1)3 = 3(x + 1)(y + 1)(z + 1) 9/ Cho ab = 1. C/m r»ng a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) 10/ Cho x > 0 tho· m·n 11/ Cho a + b + c = 1 vµ chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 = 1 12/ Cho a/ bx2 = ay2 b/ 13/ Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba sè tho· m·n. a + b + c= 2000 vµ th× mét trong ba sè a, b, c ph¶i cã mét sè b»ng 2000 14/ Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng 15/ Chøng minh r»ng nÕu xyz = 1 th× 16/ Chøng minh r»ng nÕu : th× (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z) 17/ Cho a, b, c lµ ba sè thùc kh¸c nhau. Chøng minh r»ng. 18/ Chøng minh r»ng nÕu : 19/ Cho C/m r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n ta cã xn + yn = an + bn 20/ Cho x vµ y tho· m·n C/m r»ng a3 + 2c = 3ab 21/ Cho x, y tho· m·n C/m r»ng a3 + b3 + c3 = 3abc 22/ Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau. Chøng minh r»ng : lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè h÷u tØ 23/ Cho a + b + c + d = 0. C/m r»ng a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd) 24/ Cho a, b, c tho· m·n: (a + b- 2c)2 + (b + c - 2a)2 + (c + a - 2b)2 = (a - b)2 + (b - c)2 +(c - a)2 Chøng minh r»ng a = b = c 25/ Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt : (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. C/m tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c ®Òu 26/ Cho a2 - b2 = 4c2 . C/m r»ng : (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)2 27/ C/m r»ng nÕu : (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× 28/ C/ r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2) = (ax + by + cz)2 vµ x, y kh¸c 0 th× 29/ C/m c¸c h»ng ®¼ng thøc sau : a/ (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 b/ x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 30/ Cho a, b, c kh¸c 0 vµ a + b+ c kh¸c 0 tho· m·n ®/k chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau tõ ®ã suy ra r»ng: 31/ Cho a, b, c kh¸c 0 tho· m·n ®/k : a + b + c = 0. Chøng minh r»ng 32/ C/m r»ng nÕu 33/ Cho C/m r»ng tån t¹i hai trong ba sè a, b, c b»ng nhau 34/ Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tho· m·n abc = 1 vµ chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1. 35/ Gi¶ sö a, b, c lµ ba sè kh¸c nhau tho· m·n : 36/ Cho 37/ Cho a + b + c = 0 , x + y + z = 0 vµ 38/ Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ ( a+ b + c)2 = a2 + b2 + c2. C/m 39/ Chøng minh c¸c bµi to¸n sau C¸c bµi to¸n vÒ tÝnh to¸n 1/ Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A = a4 + b4 + c4 2/ Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc B = (x - 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 3/ Cho 2a - b = 7 TÝnh 4/ a) Cho 6a2 - 15ab + 5b2 = 0. TÝnh b) Cho 10a2 + 5ab - 3b2 = 0. TÝnh 5/ Cho a > b > 0 tho· m·n 3a2 + 3b2 = 10ab. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 6/ Cho x, y tho· m·n 2x2 + 2y2 = 5xy. TÝnh 7/ CHo x2 - 2y2 = xy. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 8/ Cho 9x2 + 4y2 = 20xy. TÝnh 9/ Cho 3x - y = 3z vµ 2x + y = 7z. TÝnh gi¸ trÞ cña 10/ Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 . TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau. a/ x3 + y3 b/ x4 + y4 c/ x5 + y5 d/ x6 + y6 e/ x7 + y7 f/ x8 + y8 11/ Cho TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: 12/ Cho a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: 13/ Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tho· m·n a3 + b3 + c3 = 3abc. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 14/ a) Cho a, b, c kh¸c nhau tõng ®«i mét tho· m·n : TÝnh b) Cho a, b, c kh¸c nhau tõng ®«i mét tho· m·n : TÝnh 15/ 16/ Cho x2 - 4x + 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 17/ 18/ Cho ba sè x, y, z tho· m·n ®ång thêi: 19/ Cho hai sè x, y tho· m·n : xy + x+ y = -1 ; x2y + xy2 = -12. TÝnh P = x3 + y3 20/ Cho x, y, z tho· m·n xyz = 1 ; x + y + z = . TÝnh Q = (x19 - 1)(y5 - 1)(z1890 - 1) 21/ . TÝnh x3 + y3 + z3 theo a, b, c 22/ TÝnh R = xy + yz + zx 23/ . TÝnh x1998 + y1999 + z29000 24/ Cho a, b, c ®«i métkh¸c nhau vµ : 25/ Cho 26/ Cho 27/ Cho a, b, c tho· m·n abc = 2000. TÝnh 28/ Cho a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh 29/ Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau. TÝnh 30/ Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: a. M = b. N = 31/ Cho bieåu thöùc: M = . Tính M theo a, b, c, bieát raèng . 32/ Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A = vôùi x = 2; . M.N vôùi .Bieát raèng:M = ; N = . 33/ Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5: a. b. 34/ Tính giaù trò cuûa ña thöùc: bieát x+ y = -p, xy = q 35/ Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A = taïi x = 16. B = taïi x = 14. C = taïi x = 9 D = taïi x = 7. 36/ TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau. 37/ Cho x2 - y2 = 1, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = 2(x6 - y6) - 3(x4 + y4) 38/ T×m x vµ y biÕt r»ng 39/ TÝnh :