Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác

MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này ñã gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi phương trình ñã cho. Trong chuyên ñề này tôi xin trao ñổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh ñang học lớp 11,12 và những em ñang ngày ñêm ôn tập ñể hướng tới kì thi ðH năm tới. Trước hết thì các bạn cần nắm ñược những phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos. Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình ñẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình ñẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là ñề thi khối B – 2008 “Giải phương trình : (ðH Khối B – 2008 ).” Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là ñẳng cấp bậc k nếu . Từ ñây ta có thể ñịnh nghĩa ñược phương trình ñẳng cấp bậc k ñối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong ñó: Ví dụ: là phương trình ñẳng cấp bậc bốn . Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy ñây không phải là phương trình ñẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình ñã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình ñẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể ñịnh nghĩa lại khái niệm phương trình ñẳng cấp như sau: “Là phương trình có dạng trong ñó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.” Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta ñược phương trình một hàm số là . Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) Giải bài thi ðH Khối B – 2008 nêu trên 2) 3) Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì ñã có phương pháp giải). Bây giờ tôi xin ñi vào cách phân tích ñể tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà ñối với mọi phương trình ñại số hay phương trình mũ, logarit.. ñể giải những phương trình này ta phải tìm cách biến ñổi phương trình ñã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến ñổi về phương trình tích và ñưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích ñề thi ðH Khối A – 2008 ) Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là ñó là sự xuất hiện hai cung và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính ñược giá trị ñúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong ñó nên ñiều ñầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng ñể phá bỏ hai cung ñó Ta có: Nên phương trình ñã cho Nhận xét: * ðể phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách ñã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau: . . * Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến ñổi hơn. ðiều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống ñặc biệt là bài toán so sánh thì ñiều chúng ta cần làm là ñưa về cùng một ñơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ ñơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào ñó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ ñược, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại! Chắc các em hiểu tôi muốn nói ñiều gì rồi chứ ? Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin ñưa ra cho các bạn là: ðưa về cùng một cung. Bây giờ ta vận dụng nguyên tắc này vào giải những phương trình lượng giác có mặt trong các ñề thi của những năm gần ñây nhé Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ðH Khối D – 2006 ). Lời giải: Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung Áp dụng công thức nhân ñôi và nhân ba ta có: ðặt . Ta có: Từ ñây các bạn tìm ñược Chú ý : * Trong SGK không ñưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn * Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải ñó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và ñẹp nhất ñối với phương trình trên là ta biến ñổi về phương trình tích như sau PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex] giải phương trình này ta ñược nghiệm như trên. Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ). Lời giải: Ta chuyển cung về cung Ta có: Nên phương trình ñã cho ðặt . Ta có: . Từ ñây ta tìm ñược các nghiệm Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do ñó ta có thể chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân ñôi . PT . Ví dụ 4: Giải phương trình : (ðH Khối D – 2008 ). Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x. PT . Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng ñưa về ñược cùng một cung. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: Ví dụ 5 : Giải phương trình : . Với phương trình này việc ñưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất ñịnh ñó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ ñến công thức biến ñổi tích thành tổng. Thật vậy Phương trình Ví dụ 6 : Giải phương trình . Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình ñều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan hệ ñiều này gợi ta nhớ ñến công thức biến ñổi tổng thành tích. Phương trình Qua hai ví dụ trên tôi muốn ñưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến ñổi thành tổng (mục ñích là tạo ra những ñại lượng giống nhau ñể thực hiện các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến ñổi về tích (Mục ñích làm xuất hiện thừa số chung ), ñặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau. Ví dụ 7 : Giải phương trình (ðH Khối B – 2002 ). Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến ñổi tổng thành tích ñược! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới ñưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến ñổi tổng thành tích ñược là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình ñều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến ñổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. ðiều này dẫ tới ta tìm cách ñưa bậc hai về bậc nhất và ñể thực hiện ñiều này ta liên tưởng ñến công thức hạ bậc. Phương trình . Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến ñổi lượng giác. Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do ñó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc ñể thuận tiện cho việc biến ñổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao ñổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ðH Khối A – 2005 ). Phương trình . Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương ñối với hàm số lượng giác . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ ñầu, chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa cosx và ñặt . Tuy nhiên cách ñược trình bày ở trên là ñẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến ñổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không ñược học). Ví dụ 9 : Giải phương trình (ðH Khối B – 2004 ). Trước hết ta ñặt ñiều kiện cho phương trình ðk: . Phương trình Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc ñó chúng ta dễ dàng tìm ñược lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ ñặt ñiệu kiện cho phương trình ! Ví dụ 10 : Giải phương trình (ðH Khối D – 2003 ). ðiều kiện : . Phương trình . Trên là một số nguyên tắc chung thường ñược sự dụng trong các phép biến ñổi phương trình lượng giác. Mục ñích của các phép biến ñổi ñó là nhằm : 1. ðưa phương trình ban ñầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là ñưa về phương trình ña thức ñối với một hàm số lượng giác). Ví dụ 1: Giải phương trình : (ðH Công ðoàn – 2000). Giải: ðiều kiện : Phương trình . ðây là phương trình ñẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta ñược phương trình : thỏa ñiều kiện . Nhận xét: ðể giải phương trình này ngay từ ñầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban ñầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên. Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ðH Khối B – 2003 ). Giải: ðiều kiện: Phương trình (do ) . Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức: và . Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 ). Giải: Ta có Nên phương trình . Chú ý : Ta cần lưu ý ñến công thức . . Ví dụ 4: Giải phương trình: (ðH Khối D – 2005 ). Giải: Ta có: . Nên phương trình . . 2. ðưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến ñổi phương trình về dạng . Khi ñó việc giải phương trình ban ñầu ñược quy về giải hai phương trình : . Trong mục ñích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung : * Các biểu thức ; ; ; nên chúng có thừa số chung là . * Các biểu thức có thừa số chung là . * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung . Ví dụ 1: Giải phương trình: (ðH Khối B – 2005 ). Giải: Phương trình . . Nhận xét: Ngoài cách biến ñổi trên, ta có thể biến ñổi cách khác như sau Phương trình . Mặc dù hai cách biến ñổi trên khác nhau nhưng chúng ñều dựa trên nguyên tắc ”ñưa về một cung”. Ví dụ 2: Giải phương trình: (Dự bị Khối D – 2003 ). Giải: ðk: . Phương trình . Ví dụ 3: Giải phương trình: . Giải: ðk: Phương trình . Ví dụ 4: Giải phương trình: . Giải: Phương trình ( Lưu ý : ). Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân ñôi, ta cần lưu ý là có ba công thức ñể thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.