Một số phương pháp giải bài toán tìm cực trị của biểu thức

Một số phương pháp giải bài toán tìm cực trị của biểu thức A - Lời mở đầu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là loại toán tương đối khó, có nhiều dạng và có nhiều phương pháp giải. Trong quá trình dạy học ở bậc THCS, tôi đã hệ thống một số phương pháp giải thường gặp để truyền đạt cho học sinh trong các buổi học bổ trợ kiến thức. Giúp học sinh lớp 9 có cách nhìn tương đối tổng thể về dạng toán này. Hôm nay xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. B - Nội dung: I - Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức: 1/ Khái niệm: a/ Cho biểu thức xác định trên miền . Ta nói là giá trị lớn nhất của trên nếu: * Với mọi thuộc thì với là hằng số * Tồn tại thuộc sao cho b/ Cho biểu thức xác định trên miền . Ta nói là giá trị nhỏ nhất của trên nếu: + Với mọi thuộc thì với là hằng số + Tồn tại thuộc sao cho 2/ Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức + Tìm TXĐ (nếu cần) + Chứng minh rằng trên TXĐ ( là hằng số) + Chỉ ra được TXĐ) + Trả lời 3/ Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + Tìm TXĐ (nếu cần) + Trên TXĐ, chứng minh rằng ( là hằng số) + Chỉ ra được TXĐ) + Trả lời II - Một số phương pháp cụ thể để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: 1/ Phương pháp dùng tam thức bậc hai: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau a/ a/ Giải: a/ hay b/ hay Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Ta có: Vì nên Vậy 2/ Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: * Xét khoảng thì và Do đó Vì nên Hay * Xét khoảng thì và Do đó * Xét khoảng thì và Do đó Vì nên Hay (3) So sánh: (1), (2), (3) ta được Nhận xét về cách làm: * Cách xét khoảng: Đầu tiên xét Sau đó xét và trường hợp này không xẩy ra Cuối cùng xét: 3/ Phương pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới: Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Đặt thì Vậy khi x = 1 hoặc Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của Giải: TXĐ: Đặt . Ta có (Thoả mãn (Thuộc TXĐ) Vậy Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biết Giải: Ta có Do nên Đặt thì (vì Ta có Ví dụ 7: Tìm giá trị của Giải: TXĐ: ạ Đặt thì thuộc TXĐ) Vậy 4/ Phương pháp xét biểu thức phụ: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Biểu thức A có nghĩa Vậy TXĐ: Với dễ thấy Do nên ta có thể xét biểu thức Ta có: Hay * thuộc TXĐ) Khi đó * thuộc TXĐ) Khi đó (Thuộc TXĐ) Vậy 5/ Phương pháp phân tích biểu thức về dạng tổng đại số của các luỹ thừa bậc chẵn: Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Vậy 6/ Phương pháp miền giá trị (hay còn gọi là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện của ) Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của Giải: Biểu thức nhận giá trị phương trình ẩnsau đây có nghiệm Do nên Trường hợp 1: Nếu thì phương trình có nghiệm Trường hợp 2: Nếu thì phương trình có nghiệm (Học sinh tự giải) Nếu hoặc thì phương trình (2) có nghiệm kép là: Nếu thì ; Nếu thì (học sinh tự tính) Gộp cả 2 trường hợp 1 và 2 ta có: (Đoạn là tập giá trị của hàm số 7/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Giải VD 3 cách 2: áp dụng bất đẳng thức trên ta có: vậy 8/ Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Dấu “=” xẩy ra Giải VD 3 cách 3: Ta có Dấu “=” xẩy ra Dấu “=” xẩy ra Do đó ta có Dấu “=” xẩy ra Vậy 9/ Phương pháp bất đẳng thức cô si: 9.1/ Bất đẳng thức cô si với 2 số không âm: Với thì . Dấu “=” xẩy ra * Bất đẳng thức cô si mở rộng đối với không âm Với thì Dấu “=” xẩy ra * Với 2 số dương a, b từ bất đẳng thức (1) suy ra * Nếu (không đổi) thì * Nếu (không đổi) thì * Kết quả trên được mở rộng với số không âm * Nếu (không đổi) thì * Nếu (không đổi) thì * Vận dụng bất đẳng thức cô si ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số biểu thức. 9.2/ Ví dụ 11: Cho thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Vì nên Vận dụng bất đẳng thức cô si đối với hai số dương và ta được: Vận dụng bất đẳng thức cô si đối với 2 số dương và ta được: (dấu “=” xẩy ra Vậy * Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cô si đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức cô si rồi tìm cực trị của nó. 9.3/ Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó. Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: ĐKXĐ: Dấu “=” xẩy ra Vậy * Nhận xét về phương pháp giải: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng 2 căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức. Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cô si: 9.4/ Biện pháp 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0 Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: ĐKXĐ Dấu “=” xẩy ra Vậy * Nhận xét về phương pháp giải: Trong các giải trên, được biểu diễn thành và rất thuận lợi khi đó tổng 2 số là có thể rút gọn cho ở mẫu. (Số 3 ở trên lấy bằng căn bậc hai của số 9) 9.5/ Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1/ Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau. Ví dụ 14: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Dấu “=” xẩy ra Vậy * Nhận xét: Hai số dương và có tích không phải là một hằng số. Muốn khử được thì ở từ phải có do đó ta phải biểu diễn rồi dùng bất đẳng thức cô si với 4 số dương. 2/ Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số). Ví dụ 15: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Dấu “=” xẩy ra (Thoả mãn điều kiện) Vậy khi và chỉ khi * Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách thành tổng Hạng tử nghịch đảo với nên khi vận dụng bất đẳng thức cô si ta được tích của chúng là một hằng số. 9.4/ Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Ví dụ 16: Cho 3 số dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: áp dụng BĐT cô si đối với hai số dương và ta được: (1) Tương tự (2) (3) Vậy Dấu “=” xẩy ra * Nhận xét: Ta đã thêm vào hạng tứ thứ nhất có trong đầu bài để khi vận dụng bất đẳng thức cô si có thể khử được . Và ta chọn có mẫu là 4 để khi cộng lại có (đề bài cho Dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời trong (1),(2), (3) khi và chỉ khi Nếu ta lần lượt thêm vào thì ta cũng khử được nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị của để dấu đẳng thức xẩy ra đồng thời, do đó không tìm được giá trị nhỏ nhất của 10/ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất của với . Giải: a/ Xét Trong khoảng này không âm) Ta có thể viết: áp dụng bất đẳng thức này cô si cho 3 số không âm và ta có: . Do đó (1) b/ Xét khi đó nên (2) So sánh (1) và (2) ta kết luận Hay * Nhận xét: ở cách giải trên ta đã áp dụng phương pháp chia khoảng để tìm cực trị và phương pháp dùng bất đẳng thức cô si. Ta hiểu với 3 số không âm a, b, c thì nên Học sinh nên hiểu bất đẳng thức cô si có thể vận dụng linh hoạt theo hai chiều ngược nhau để thuận lợi trong giải toán. C - Lời kết: Quả thật có rất nhiều phương pháp giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức và các biểu thức được yêu cầu tìm cực trị cũng thật là đa dạng. Tôi đã cố gắng tìm nhiều ví dụ để học sinh thấy được rằng có những phương pháp được áp dụng cho rất nhiều kiểu bài. Chẳng hạn như phương pháp đổi biến, tìm cực trị đối với biến mới có thể dùng cho biểu thức là đa thức bậc cao (VD4), biểu thức chưa căn (VD5), biểu thức phân (VD7); bài toán cho điều kiện ràng buộc của ẩn (VD6). Đặc biệt là phương pháp dùng bất đẳng thức cô si, ứng dụng của nó thật rộng rãi. Đồng thời học sinh cũng nhận thấy được có những bài toán có rất nhiều cách giải (VD3: Phương pháp 2 + 7 + 8) Và cũng có những bài toán cần phối hợp nhiều cách để giải VD 17) Thực tế giảng dạy cho tôi thấy: Sau khi được truyền đạt kỹ về chuyên đề này, học sinh hiểu kỹ, hiểu sâu hơn và linh hoạt hơn rất nhiều khi giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức. Mong muốn của tôi là giúp học sinh học tập tốt hơn và nâng cao tay nghề của bản thân. Thật hân hạnh được các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho bài viết được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!