Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số ____________________________________________________________________

Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 2 MỤC LỤC Trang • I- Phương pháp thế 03 • II- Phương pháp đặt ẩn phụ 11 • III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 21 • IV- Phương pháp đánh giá 25 • V- Phương pháp cộng đại số 27 • VI- Bài tập tự luyện 29 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 3 I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn về giải phương trình một ẩn. • Dưới đây là một số hệ phương trình mà có khả năng giải được bằng phương pháp thế. 1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải: (1) 5 2x y⇔ = − , thay vào (2), ta được: 2 1(2) 10 30 20 0 2 y y y y = ⇔ − + = ⇔  = • Với 1y = ta được 3x = • Với 2y = ta được 1x = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3, 1x y= = và 1, 2x y= = Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008) Giải: Cách 1: Nhận xét 0x = không thỏa mãn hệ phương trình. Xét 0x ≠ , ta có ( ) 2 6 62 2 x x y x − + + ⇔ = thế vào phương trình (1), ta được: ( ) ( ) 22 2 4 3 2 34 3 2 6 6 6 6 1 2 2 9 2 2 0 (lo¹i) 12 48 64 0 4 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x     − + + − + + ⇔ + + = +        = ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔  = − • 17 4 4 x y= − ⇒ = − . Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( ) 17; 4; 4 x y   = − −    . Giải hệ phương trình: 2 2 2 5 (1) 2 2 5 (2) x y x y xy + =  + − = Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 2 2 2 9 (1) (I) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x  + + = +  + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 4 Cách 2: ( )22 2 2 9 (1) (I) 3 3 (2) 2 x xy x x xy x  + = +  ⇔   = + −  . Thay 2 3 3 2 x xy x= + − vào (1), ta được phương trình: ( ) 22 32 4 3 2 03 3 2 9 12 48 64 0 4 0 2 4 xx x x x x x x x x x x =   + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔   = −  • 0x = không thỏa mãn (2). • 17 4 4 x y= − ⇒ = − . Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( ) 17; 4; 4 x y   = − −    . 2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích • Phương pháp: Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích, sau đó tính được x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2003) Giải: Cách 1: (Rút thế) Điều kiện xác định: 0; 0x y≠ ≠ . 3 1 (2) 2 x y + ⇔ = , thế vào (1) ta được: ( )( ) 7 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 (1) 2 2 2 2 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 (*) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + − − + = ⇔ − + − + + + − = = ⇔  + − + + + − = • Với 1x = ta được 1y = . Giải hệ phương trình: 3 1 1 (1) 2 1 (2)  − = −   = + x y x y y x WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 5 • Giải phương trình (*): ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 2 2 4 2 4 (*) 1 1 2 1 0 1 2 0 1 0 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − + + − + + − = ⇔ + − + + =  + − = ⇔  + + = • 2 1 51 0 2 x x x − ± + − = ⇔ = • 2 2 4 2 1 1 32 0 0 2 2 2 x x x x     + + = ⇔ − + + + =        (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là: (x ; y) = (1;1), 1 5 1 5( ; ) ; 2 2 x y   − + − + =      , 1 5 1 5 ( ; ) ; 2 2 x y   − − − − =      Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) Điều kiện xác định: 0; 0x y≠ ≠ 1 (1) ( ) 1 0 1 y x x y xy y x =   ⇔ − + = ⇔   = −   • Với y x= , thế vào (2), ta được: 3 1 (2) 2 1 0 1 5 2 x x x x = ⇔ − + = ⇔ − ± =  • Với 1y x = − , thế vào (2), ta được: 2 2 4 2 1 1 3(2) 2 0 0 2 2 2 x x x x     ⇔ + + = ⇔ − + + + =        (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là: (x ; y) = (1;1), 1 5 1 5( ; ) ; 2 2 x y   − + − + =      , 1 5 1 5 ( ; ) ; 2 2 x y   − − − − =      . Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D năm 2008) Giải hệ phương trình: 2 22 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y  + + = −  − − = − WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 6 Giải: Điều kiện xác định: 0 1 y x ≥  ≥ ( )(1) ( ) 2 1 0 2 1x y x y x y⇔ + − − = ⇔ = + (vì 0x y+ > do điều kiện xác định) Thay 2 1x y= + vào (2) ta được (2) ( 1) 2 2( 1) 2y y y y⇔ + = + ⇔ = (vì 1 0y + > ) • Với 2y = ta được 5x = . Vậy hệ có một nghiệm là ( ; ) (5;2)x y = . Chú ý: Ta có thể phân tích (1) thành phương trình tích bằng cách sau: ( )2 2(1) 1 2 0x y x y y⇔ − + − − = Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn x, ta tính được ( )23 1y∆ = + Do đó: ( 1) (3 1) 2 12(1) ( 1) (3 1) 2 y y x x y y y x y x + + + = = + ⇔ ⇔ + − + = − =  Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2011) Giải: Nhận xét 0x = và 0y = không phải là nghiệm của hệ. ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 212 2 2 1 2 0 2 xy xy x y x y xy xy x y x y = ⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔  + = • 1 1xy x y = ⇔ = thay vào (1), ta được: ( ) 4 21 2 1 0 1y y y⇔ − + = ⇔ = ± . Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = hoặc ( ) ( ); 1; 1x y = − − . • 2 2 2x y+ = thay vào (1), ta được: ( ) ( )( )2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 5 4 3 0 2 5 4 0 (ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 ®èi víi vµ ) 2 5 4. 1 0 x y xy y x y x y y xy x y x x y y y y x x x ⇔ − + − + + = ⇔ − + − =     ⇔ − + − =        Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 22 2 5 4 3 2 0 (1) 2 (2) x y xy y x y xy x y x y  − + − + =  + + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 7 1 1 2 2 y x yx y x y x  = = ⇔ ⇔  = =  • Với x y= , ta cũng giải ra được ( ) ( ); 1;1x y = hoặc ( ) ( ); 1; 1x y = − − . • Với 2x y= , thay vào (2), ta được: 2 2(2) 5 2 5 y y⇔ = ⇔ = ± , suy ra 22 5 x = ± . Tóm lại, hệ đã cho có tập nghiệm: ( ) ( ) 2 2 2 21;1 , 1; 1 , ;2 , ; 2 5 5 5 5 S       = − − − −              . Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối D năm 2012) Giải: Cách 1: (Rút thế) Nhận xét 0x = không thỏa mãn (2) nên 2(2) xy x − ⇔ = , thay vào (1), ta được: ( ) ( ) ( )( ) 2 3 2 5 4 2 4 3 2 4 3 2 2 2 (1) 2 2 2 2 0 3 2 0 1 1 2 2 2 0 2 2 2 0 (*) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − −  ⇔ − − + + − − − = ⇔ + − − + =    = ⇔ − + + + − = ⇔  + + + − = • Với 1x = , ta được 1y = . Giải (*): Đặt 1 2 x t= − , (*) trở thành: 4 21 35 50 2 16 2 t t t+ − = ⇔ = ± . • Với 5 2 t = , ta được 5 1 2 x − = và 5y = . • Với 5 2 t = − , ta được 5 1 2 x − − = và 5y = − . Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: (x ; y) = (1;1), 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . Giải hệ phương trình: 3 2 2 22 2 0 (1) 2 0 (2) x x y x y xy y xy x  − + + − − =  + − = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 8 Chú ý: • Đồ thị hàm số 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x x= + + + − có trục đối xứng là đường thẳng 1 2 x = − ( 1 2 x = − là nghiệm chung của phương trình ( )' 0f x = và ( )''' 0f x = ). Do đó ta đặt 1 2 x t= − thì phương trình (*) sẽ đưa về được phương trình trùng phương. • Có thể phân tích 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x x= + + + − thành tích hai tam thức bậc hai bằng cách sử dụng máy tính Casio 570ES như sau: + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm là 1 0,6180339887 Ax ≈ → (gán cho biến nhớ A). + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm nữa là 2 1,618033989 Bx ≈ − → (gán cho biến nhớ B). + Tính được A B 1; A.B 1+ = − = − , suy ra 1 2;x x là nghiệm của phương trình 2 1 0x x+ − = . + Thực hiện phép chia 4 3 22 2 2x x x x+ + + − cho 2 1x x+ − , ta được: ( )( )4 3 2 2 22 2 2 1 2x x x x x x x x+ + + − = + − + + Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) ( )( )2 22 1(2) 2 1 0 y xx y x y y x = + ⇔ − + − = ⇔  = • Với 2 1y x= + , thay vào (1) ta được 2 1 5(1) 1 0 2 x x x − ± ⇔ + − = ⇔ = . Do đó ta được nghiệm 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . • Với 2y x= , thay vào (1) ta được 3(1) 2 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = . Do đó ta được nghiệm (x ; y) = (1;1). Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: (x ; y) = (1;1), 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . 3. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình đẳng cấp đối với x và y sau khi rút thế • Phương trình đẳng cấp bậc n đối với x và y là phương trình có dạng: 1 2 2 1 0 1 2 1... 0 (1) n n n n n n na x a x y a x y a xy a y − − − − + + + + + = với 0 0a ≠ . • Phương pháp giải (1): WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 9 Xét 0; 0y x= = có phải là nghiệm của (1) hay không. Xét 0y ≠ , chia hai vế của (1) cho ny , ta được: 1 0 1 1(1) ... 0 (2) n n n n x x x a a a a y y y − −     ⇔ + + + + =        . Đặt x t y = thì (2) trở thành: 1 0 1 1... 0 (3) n n n n a t a t a t a− − + + + + = Giải phương trình (3) ta tìm được t, có t ta tính được x theo y. Sau đó dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình đã cho. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Giải: ( ) ( ) ( )3 33 3 2 2 2 2 3 6 4 (1)2 4 (I) 3 6 3 6 (2) x y x yx y x y x y x y  − = +− = +  ⇔ ⇔  − = − =  Thế 2 23 6x y− = vào (1), ta được: ( ) ( ) ( )( )3 3 2 2 3 2 21 3 3 4 12 0 (*)x y x y x y x x y xy⇔ − = − + ⇔ + − = . Ta thấy (*) là một phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y. 0 (*) 3 4 x x y x y = ⇔ =  = − • 0x = thế vào (2) ta được 23 6y− = (vô nghiệm) • 3x y= thế vào (2) ta được 2 1 1y y= ⇔ = ± • 4x y= − thế vào (2) ta được 2 6 6 13 13 y y= ⇔ = ± Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ); 3;1x y = , ( ) ( ); 3; 1x y = − − , ( ) 6 6; 4 ; 13 13 x y   = −     , ( ) 6 6; 4 ; 13 13 x y   = −     . Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 1 khối A trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013) Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 8 2 (I) 3 3 1 x x y y x y  − = +  − = + Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 4 16 (1) 1 5 1 (2) x y y x y x  + = +  + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 10 Giải: ( )3 3(1) 4 4 0x y x y⇔ + − − = 2 2(2) 5 4y x⇔ − = thế vào (1) ta được: ( )( )3 2 2 3 3 2 2(1) 5 4 0 21 5 4 0 1 4 0 hoÆc hoÆc 3 7 x y x y x y x x y xy x x y x y ⇔ + − − − = ⇔ − − = − ⇔ = = = • 0x = thế vào (2) ta được 2 4 2y y= ⇔ = ± . • 1 3 x y − = thế vào (2) ta được 2 9 3y y= ⇔ = ± • 4 7 x y= thế vào (2) ta được 231 4 49 y− = (vô nghiệm) Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 0;2 , ; 0; 2 , ; 1; 3 , ; 1;3x y x y x y x y= = − = − = − .
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 11 II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn có thể giải được bằng phương pháp rút thế. • Phương pháp chung: đặt ( , )a f x y= và ( ; )b g x y= rồi tìm điều kiện của a và b (nếu có). Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế. • Các kỹ thuật hay dùng: + Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng. + Chia hai vế cho một biểu thức khác 0. • Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình. Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: 0 2 0 x y x y − ≥  + + ≥ . Khi đó 2 3 0(1) ( ) ( ) 1 1 x y x y x y x y x y x y − = =  ⇔ − = − ⇔ ⇔  − = = +  • Với x y= , thế vào (2), ta được: 2 00 (2) 2 2 2 11 14 2 2 0 2 y y y y y y yy y ≥≥  ⇔ = + ⇔ ⇔ ⇔ =  = ∨ = − − − =  • Với 1x y= + , thế vào (2), ta được: 2 1 2 1 0 12(2) 2 1 2 3 214 2 2 0 1 2 y y y y y y y y y  ≥ −+ ≥  ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔ =  + − =  = − ∨ =  Vậy hệ có hai nghiệm 1, 1x y= = và 3 1, 2 2 x y= = . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Đặt 6= −u x y và 2= + +v x y (điều kiện 0u ≥ và 0v ≥ ). Hệ đã cho trở thành: Giải hệ phương trình: 3 (1) 2 (2)  − = −  + = + + x y x y x y x y WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 12 2 3 2 0 hoÆc 1 2 hoÆc 1 (lo¹i)2 u u u u v vv v  = = = ⇔  = = − − =  • Với u = 0 và v = 2, ta có hệ: 0 1 2 4 1 x y x x y y − = =  ⇔  + + = =  • Với u = 1 và v = 2, ta có hệ: 3 1 2 2 4 1 2 x x y x y y  = − =  ⇔  + + =  =  Vậy hệ có hai nghiệm 1, 1x y= = và 3 1, 2 2 x y= = . Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2006) Giải: Điều kiện: 0; 1; 1xy x y≥ ≥ − ≥ − (2) 2 2 1 16 2 1 14x y x y xy x y x y xy⇔ + + + + + + = ⇔ + + + + + = Đặt a x y= + và b xy= (điều kiện: 0b ≥ ), ta có hệ: 2 2 2 3 3 3 2 1 14 3 2 3 1 14 2 4 11 (*) a b a b a b a a b b b b b b b − = = + = +     ⇔ ⇔   + + + = + + + + + = + + = −     • ( ) ( )22 2 0 11 0 11 (*) 3 4 4 11 3 26 105 0 b b b b b b b b ≤ ≤ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ =  + + = − + − = , ta được a = 6. • 6 3 9 x y x y xy + = ⇔ = = = Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( ) ( ); 3;3x y = Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2008) Giải hệ phương trình: 3 (1) 1 1 4 (2) x y xy x y  + − =  + + + = Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 2 4 2 5 (1) 4 (I) 5 1 2 (2) 4 x y x y xy xy x y xy x  + + + + = −   + + + = −  WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 13 Giải: ( ) ( ) 2 2 22 5 4(I) 5 4 x y xy x y xy x y xy  + + + + = − ⇔   + + = −  . Đặt 2 ;a x y b xy= + = thì hệ trở thành: 2 2 3 2 5 5 5 0; 4 4 4 5 1 3 0 ; 4 4 2 2 a b ab b a a b a a b a a a b    + + = − = − − = = −    ⇔ ⇔    + = − + + = = − = −     • Với 50; 4 a b= = − ta có hệ 2 3 0 5 5 4 4 x y x xy  + =  ⇔ = = −  và 3 25 16 y = − . • Với 1 3; 2 2 a b= − = − ta có hệ 2 3 1 3 2 12 3 2 3 0 2 xx y y x xy x x  + = − = −  ⇔ ⇔ =    = − + − = và 3 2 y = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) 3 35 25; ; 4 16 x y   = −     và ( ) 3; 1; 2 x y   = −    . Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2009) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Nhận xét 7x = không thỏa mãn (2) nên 1(2) 7 x y x + ⇔ = − , thay vào (1), ta được: ( )( )( ) 2 2 2 4 3 2 2 1 1 1 (1) 1 . 13 7 7 7 5 33 36 0 1 3 5 12 0 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + +    ⇔ + + =    − − −    ⇔ + − − + = ⇔ − − + + = = ⇔  = Giải hệ phương trình: 2 2 21 13 (1) 1 7 (2) xy x y y x xy y  + + =  + + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 14 • Với 1x = ta được 1 3 y = • Với 3x = ta được 1y = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3, 1x y= = và 11, 3 x y= = . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Nhận xét y = 0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế của (1) cho 2y và của (2) cho y, ta được: 2 2 22 2 2 1 1 13 13 1 13 11 7 17 7 x x x x yy y yxy x y y xx xy y xx x y y y y   + + = + − =  + + =   ⇔ ⇔   + + =    + + = + + =     Đặt 1 a x y = + và xb y = , hệ đã cho trở thành: 2 2 4; 313 20 0 5; 127 7 a ba b a a a ba b b a   = =− = + − =  ⇔ ⇔   = − =+ = = −    • Với 4; 3a b= = ta có hệ: 1 4 1 1 4 1; 3 3 3; 13 x xy yy x y x x y x y y  + =  + = = = ⇔ ⇔  = = ==   • Với 5; 12a b= − = ta có hệ 1 5 12 x y x y  + = −    =  vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) 1; 1; 3 x y   =     và ( ) ( ); 3;1x y = . Chú ý: Thao tác chia hai vế của hệ phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại. Chẳng hạn ở ví dụ trên, trong phương trình (1) số hạng 213y có hệ số là 13 khác biệt so với hệ số của các số hạng 2 21; ;xy x y . Cũng thế, trong phương trình (2) số hạng 7y có hệ số là 7 cũng khác biệt so với hệ số của các số hạng ;1;x xy . Dưới đây là một ví dụ tương tự: Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 15 Giải: • Với 0y = hệ vô nghiệm. • Với 0y ≠ , chia hai vế của (1) và (2) cho y, ta được: ( ) ( ) 2 2 1 4 (I) 1 2 1 x x y y x x y y  + + + =  ⇔  + + − =  . Đặt 2 1x a y + = và 2b x y= + − , hệ trở thành: 2 1 1 a b a b ab + = ⇔ = = = . • Với 1a b= = , ta có hệ: 2 2 2 1 1 1; 21 2; 52 0 2 1 x y x x y y x yx x x y  +  = + = ==   ⇔ ⇔   = − =+ − =  + − = . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 1;2x y = và ( ) ( ); 2;5x y = − . Ví dụ 6: (Đề thi đại học khối D năm 2009) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: 0x ≠ 3 (1) 1y x x ⇔ = − − thế vào (2), ta được: 2 2 2 1 1 13 5 1 1 (2) 1 1 0 2 3. 1 0 1 1 2 2 xx x x xx x x  = =  ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔   =   =  • Với x = 1 ta được y = 1. • Với x = 2 ta được 3 2 y = − . Giải hệ phương trình: ( )2 2 ( 1) 3 0 (1) 5 1 0 (2) x x y x y x + + − =   + − + = Giải hệ phương trình: ( ) ( )( ) 2 2 1 4 (1) (I) 2 1 (2) x y x y y x y x y  + + + =  + − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 16 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) 3; 2; 2 x y   = −    . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Điều kiện xác định: 0x ≠ Chia hai vế của (1) cho x, ta được hệ đã cho tương đương với hệ: ( )2 2 3 1 0 5 1 0 x y x x y x  + + − =   + − + =  (*) Đặt a x y= + và 1b x = , hệ (*) trở thành: 2 2 2; 13 1 0 1 1 ;5 1 0 2 2 a b a b a ba b = = − + = ⇔  = =− + =  • Với 2; 1a b= = ta được 1x y= = . • Với 1 1; 2 2 a b= = ta được 3 2; 2 x y= = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) 3; 2; 2 x y   = −    . Ví dụ 7: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) ( ) 4 31 2 x y − ⇔ = thế vào (2), ta được: ( ) ( )2 6 4 (*) 6 4 2 1 6 2 4 2 2 6 2 4 (**) x x x x x x x − ≤ ≤+ −  ⇔ − = ⇔ + = + − ⇔  + = + − ( ) ( ) ( ) 2 0 ** 6 6 2 2 4 2 4 2 2 8 0 x x x x x x x x x ≥ ⇔ + = − + − ⇔ = − ⇔ ⇔ = + − = (thỏa (*)). • 2 1x y= ⇒ = − Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải hệ phương trình: 3 2 4 (1) 2 1 1 (2) x y x y x y + =  + + − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 17 Đặt 2 1a x y= + + và b x y= + với điều kiện 0a ≥ và 0b ≥ thì hệ đã cho trở thành: 2 2 2 2; 15 2 0 1; 2 (lo¹i)1 1 a ba b b b a ba b a b   = =+ = + − = ⇔ ⇔   = − = − − = = +   • Với 2; 1a b= = ta có hệ 2 1 2 2 3 2 1 11 x y x y x x y yx y  + + = + = =  ⇔ ⇔   + = = −+ =   Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − . Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) Giải: Đặt a x y= + và b xy= thì hệ đã cho trở thành: 2 2 0 12 4 0 hoÆc 2 22 2 a aa a b a a b bb b   = = − + − = + = ⇔ ⇔    = − = −= − = −    • 0 2 2 hoÆc 2 2 2 x y x x xy y y  + = = = −   ⇔   = − = − =    • 1 1 2 hoÆc 2 2 1 x y x x xy y y + = − = = −   ⇔   = − = − =   Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ); 1; 2x y = − ; ( ) ( ); 2;1x y = − ; ( ) ( ); 2; 2x y = − ; ( ) ( ); 2; 2x y = − . Ví dụ 9: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 25 13.25 * (I) 25 x y x y x y x y  + − = ⇔  − + = Thế ( )( )2 2 25x y x y− + = vào (*), ta có: ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2* 25 13x y x y x y x y⇔ + − = − + Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 4 1 1 2 x y x y x x y y y  + + + =  + + + + = Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 13 (1) (I) 25 (2) x y x y x y x y  + − =  − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa -