Một số phương pháp giải toán phân số

Đặt vấn đề I. Lời mở đầu: Trong lịch sử phát triển của các lĩnh vực khoa học thì Toán học là một trong những lĩnh vực khoa học được ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế của cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học đã góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên cũng như thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển. Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phơng pháp toán học. Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của các ngành khoa học thì việc nâng cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết, góp phần thực hiện thắng lợi nhiệm vụ cơ bản của nhà trường phổ thông Việt Nam là “Đào tạo thế hệ trẻ thành những công dân kiên trì, dũng cảm, thông minh, sáng tạo”. Các dạng bài tập của môn Toán ở phổ thông rất đa dạng và phong phú. Một trong những dạng toán cơ bản của Đại số khối THCS là giải các bài toán về phân số của đại số lớp 6. Các bài toán về phân số dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Dạng toán giải về phân số có rất nhiều cách giải, vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Có những lời giải xem ra “thiếu tự nhiên” nhưng thật ra rất độc đáo. Các bài toán về phân sốthường hay được đưa vào dạy cho học sinh khá và giỏi, trường chuyên, lớp chọn và rất ít đề cập trong sách giáo khoa. Song thực chất học sinh được làm quen với các bài toán giải phân số từ bậc Tiểu học với cách hỏi đơn giản hơn ở dạng bài “Tìm n” và kiến thức loại này đợc nâng cao dần ở các lớp trên nhng với phơng trình vô tỷ, các em chỉ được làm quen ở lớp 9 dưới dạng đơn giản và được học nhiều ở bậc Trung học phổ thông. Toán “phân số” được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc sư tầm, tuyển chọn. Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên tôi đã mạnh dạn thực hiện sư tầm, tuyển trọn một số dạng bài tập về phân sốvà phương pháp giải, áp dụng cho từng dạng để viết thành đề tài nghiệp vụ: “Một số phương pháp giải toán phân số” giúp cho việc dạy và học đạt kết quả cao. II. nhiệm vụ của đề tài 1) Cơ sở lý luận: + Môn toán là môn có vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, giúp học sinh học tập tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống, sản xuất khi còn học trong trường phổ thông cũng như sau này. + Môn toán có khả năng phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ, là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm mà cả phương pháp suy diễn Logic, môn toán tạo cơ hội cho người học rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. + Môn toán còn có khả năng phát triển phẩm chất đạo đức cho học sinh bởi vì khi học toán học sinh phải hình thành và hoàn thiện dần những đức tính quý báu: cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, trung thực, tự tin khiêm tốn…. + Và môn học toán còn có khả năng góp phần giáo dục cho học sinh năng lực cảm thụ cái đẹp: cái trong lao động sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học. + Sau khi tiếp thu tri thức toán học học sinh phải hình thành được kỹ năng vận dụng tri thức toán học thể hiện qua những bình diện khác nhau như: Kỹ năng vận dụng các tri thức trong nội bộ môn toán,giải các bài tập toán. Kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để học tập các môn khác. Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống, kỹ năng tính toán, kỹ năng sử dụng biểu đồ, kỹ năng sử dụng máy tính. + Trong phạm vi đề tài này chỉ nhằm nghiên cứu về kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán. Vì thực tế giải toán là một việc mà cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với học sinh nhỏ thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán 2) Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là phần đại số các dạng toán về phân số từ lớp 6 đến lớp 9, nhưng được cho dưới nhiều hình thức khác nhau, từ các bài toán tìm x;y ở lớp 4, lớp 5. Hay các bài toán về phân số đã được học ở bậc tiểu học. III. Phạm vi nghiên cứu: Vơí khả năng có hạn nên tôi chỉ nêu lên một số kiến thức, phương pháp và các bài toán về phân số thông qua các kiến thức cơ bản trong chương trình đại số đã học ở tiểu học và chương trình đại số lớp 6. + Nghiên cứu những vấn đề chung về giải toán, các phương pháp suy luận thường gặp khi giải các bài toán về phân số. + Bước đầu vận dụng các vấn đề nêu trên để hương dẫn học sinh giải một số bài toán về phân số. IV. Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 6 trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hoá V. Thời gian nghiên cứu: Năm học 2006 – 2007 VI. Phương pháp nghiên cứu của đề tài: - Đọc sách, tham khảo tài liệu, nghiên cứu lý thuyết - Tìm một số bài toán đặc trưng để áp dụng cách giải một bài toán, khai thác để hướng dẫn học sinh phương pháp giải các bài toán phân số A. Nội dung của đề tài I- Thực trạng vấn đề: 1-Tình hình địa phương a) Thuận lợi: Hải lộc là một xã có truyền thống học tập từ xa xưa, con em hải lộc có tinh thần hiếu học và yêu thích các môn khoa học tự nhiên, đại đa số các gia đình quan tâm đến việc học của con em mình. Bên cạnh đó các cấp lãnh đạo của địa phương cũng luôn quan tâm đến chất lượng học tập của con em xã nhà và đội ngũ giáo viên, quan tâm đến cơ sở trường lớp và các trang thiết bị giảng dạy của giáo viên và đồ dùng học tập của học sinh. b) Khó khăn: Hải lộc là một xã đất hẹp người đông, có địa hình không thuận lợi là một xã ở vùng biển với 3km dọc theo đường biển, nền kinh tế đa nghành đa nghề: và là một xã luôn luôn chịu ảnh hưởng của thiên tai bão lụt, chính vì thế tình hình kinh tế của xã nhà phải gặp nhiều khó khăn, bên cạnh đó còn bị ảnh hưởng của các phong tục tập quán, quan niệm lỗi thời trọng nam khinh nữ, sinh đẻ không có kế hoạch cho nên ảnh hưởng đến công ăn việc làm, Bố mẹ các em phải đi làm xa, không ai chăm sóc, việc học tập và đôn đốc các em học tập dẫn đến các em không có ý thức học tập 2-Tình hình nhà trường a) Thuận lợi: Đội ngũ giáo viên nhiệt tình trong công tác giảng dạy, yêu học sinh, yêu nghề, luôn luôn tìm tòi các phương pháp đổi mới phù hợp với từng môn học. b) Khó khăn: - Cơ sở trường lớp còn chật hẹp chưa đủ phòng học, đội ngũ giáo viên giảng dạy các môn tự nhiên đang còn thiếu, đang còn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy. -Một số học sinh chưa có ý thức học tập đang còn ỉ lại váo sách hướng dẫn, chính vì thếmà cũng ảnh hưởng đến chất lượng giảng dạy và học tạp của học sinh. II . Kết quả, hiệu quả của thực trạng : Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập môn toán của học sinh khối lớp 6 đã có kết quả như sau: Lớp Sĩ số Chất lượng khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 6A 44 13 29,5 18 40,9 13 29,5 0 0 6B 44 2 4,5 10 22,7 20 45,5 12 27,3 6C 44 4 9,1 13 29,5 22 50 5 11,4 6D 44 4 9,1 13 29,5 21 47,7 6 13,7 Tổng 176 23 13,1 54 30,7 76 43,2 23 13 III. Giả thuyết nghiên cứu: Sau khi nghiên cứu đề tài về một số dạng toán về phân số cùng với sự đóng góp nhiệt tình của anh em đồng nghiệp tôi áp dụng vào giảng dạy học sinh các lớp 6 thì có khả năng đạt được kết quả như sau: Chất lượng G - K TB Y - K Đầu năm Sl % Sl % Sl % 75 42,6 80 45,5 21 11,9 Giữa kì I 77 43,8 82 46,6 17 9,7 Học kì I 78 44,3 85 48,3 13 7,4 Giữa kì II 80 45,5 90 51,1 6 3,4 Nếu như sáng kiến này được áp dụng vào giảng dạy những năm sau và có sự đóng góp nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp thì sẽ nâng cao được chất lượng học sinh đại trà và học sinh khá giỏi khối lớp 6 ngày càng đạt được kết quả cao. B- Giải quyết vấn đề: Sau khi dạy các bài phân số, phân số bằng nhau, tính chất cơ bản của phân số, rút gọn phân số - quy đồng mẫu nhiều phân số cho học sinh lớp 6. Tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập về phân số. I. Để học sinh giải được các dạng toán thì các em phải nắm vững: A. Phân số: * Dạng của phân số với a, bẻ Z, b ạ 0. a: là tử b: là mẫu của phân số. * a = với a ẻ Z 2. Phân số bằng nhau: = nếu ad = bc với b ạ 0, d ạ 0. 3. Tính chất cơ bản của phân số. * Nếu ta nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được phân số bằng phân số đã cho. = với m ẻ Z, m ạ 0, b ạ 0. Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng ta thì ta được một phân số bằng phân số đã cho. = với n ẻ ƯC (a,b), b ạ 0. * Chú ý: - Mỗi phân số thì có vô số phân số bằng nó. - Các phân số bằng nhau là có cùng một giá trị, giá trị này được gọi là hữu tỉ, và các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ. - Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng phân số mà mẫu số là số dương. 4. Rút gọn phân số. * Rút gọn một phân số là tìm một phân số đơn giản hơn nhưng vẫn bằng phân số đã cho. * Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng. * Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa (tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1). Muốn tìm phân số tối giản, ta chỉ cần chia từ và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng. 5. Quy đồng mẫu nhiều phân số. a. Quy đồng mẫu nhiều phân số là tìm các phân số bằng các phân số ấy mà có mẫu bằng nhau. b. Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau: Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu). Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Chú ý: * Nếu trong các phân số đã cho có những phân số chưa tối giản thì nên rút gọn các phân số đó trước khi quy đồng. * Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân số còn lại. B. Các dạng bài tập vận dụng. 1. Dạng toán Viết tập hợp khi biết tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó: Ví dụ: Viết tập hợp E các số tự nhiên X biết Ê X Ê Giải. Ê X Ê hay 9 Ê X Ê 13 E = {9;10;11;12;13} Sau khi hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên cho các em thực hành luôn bài tập sau; Ê X Ê 2. Dạng toán tìm số nguyên. * Ví dụ 1: Tìm số nguyên X sao cho phân số có giá trị bằng -4 Giải: Phân số có giá trị bằng - 4 nên = - 4 X = - 4.19. Vậy X =-76 * Ví dụ 2: Tìm số n ẻZ để phân số là số nguyên. Giải: Ta có = 2+ Để số là số nguyên thì phải có là số nguyên. Tức là n+1 phải là ước của 13. Các ước nguyên của 13 là 1; -1. 13; -13 Do đó: n + 1 = 1 n = 0 n+1 = - 1 n = -2 n + 1 = 13 n = 12 n + 1 = -13 n = -14 vậy các giá trị cần tìm của n là 0; -2; 12; -14 * Vídụ 3: Tìm các số nguyên x, y, z biết. == = Trước khi giải bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh rút gọn phân số về phân số tối giản là trước khi tìm x, y, z. Giải: == = = = = * Vì = nên -x.4 = 3.4 x.(-4) = 12 x = 12:(-4) x = -3 * Vì = 3.y = 4.21 3.y = 84 y = 84:3 y = 28 * Vì = 4.Z = 3. (-80) 4.Z = -240 Z = (-240):4 Z = -60 Vậy (x,y,z) = (-3; 28; -60) * Lưu ý: Có thể cho học sinh rút ra cách làm như sau: = x = từ bài tập trên. * Bài tập luyện tập: Bài 1; Viết tập hợp A các số nguyên những sao cho phân số có giá trị là một số nguyên. Bài 2; Cho phân số B = với n ẻ Z. a. Số nguyên n phải có điều kiện gì để phân số B tồn tại. b. Tìm phân số B biết n = 0; n = 10; n = -2. c. Tìm giá trị của n để B là một số nguyên Bài 3; Tìm số nguyên x cho biết a. b. Bài 4: Tìm các số nguyên x, y biết và x+y = 20 3. Dạng toán tìm một phân số * Ví dụ 1: Tìm tập hợp các phân số bằng phân số: a. b. Giải: a. Theo tính chất cơ bản của phân số, ta được: A = b. Ta có: = = nên B = * Lưu ý: nếu phân số chưa tối giản thì nên rút gọn các phân số đó. * Ví dụ 2: Tìm một phân số bằng phân số sao cho a. Tử của phân số là 8 ; 24 ; 14 b. Mẫu của phân số là 9 ; 21 ; 60 Giải: a. Ta có 8 :(-2) = 4 nên = = Tương tự b. Ta có: 9: 3 nên Tương tự: Ví dụ 3: tìm phân số bằng biết rằng tổng của tử và mẫu của nó bằng 2002. Dạng toán này sẽ có 1số em giải quy định cách 2 bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau: Cách 1: Theo bài ra ta có sơ đồ: 2002 Tử số Mẫu số Tổng số phần bằng nhau là: 11+15 = 26 (phần) Giá trị một phần là: 2002 : 26 = 77 Tử số là: 11.77 = 787 Mẫu số là: 15.77 = 1215 Vậy phân số cần tìm là Giáo viên nêu cách giải 2 áp dụng tính chất cơ bản của phân số như sau: Cách 2: Phân số cần tìm có dạng Ta có 11n + 15n = 2002 26n = 2002 n = 77 Vậy phân số đó là: Giáo viên chốt lại cách làm thứ 2 nhanh hơn, bài giải ngắn gọn. Ví dụ 4: Tìm phân số tối giản biết. a. Cộng tử với 4, mẫu với 10 thì giá trị của phân số không đổi. b. Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số tăn lên 2 lần. Giải: a. Ta có: = hay ab + a10=ab+4b 10a=4b = b. Ta có: phân số này giảm đi 2 lần so với phân số Mà phân số tăng gấp 2 lần so với phân số Suy ra a+b = 4a hay b=3a Vậy Tuy nhiên vẫn có học sinh làm cách khác. Theo bài ra ta có: (a+b)b = 2b . 2a ab + b2 = 4ab b2 = 3ab b= 3a Vậy Ví dụ 5: Tìm phân số có mẫu bằng 7, biết rằng khi cộng tử với 16, nhân mẫu với 5 thì giá trị của phân số đó không thay đổi. Giải: Phân số phải tìm có dạng theo đề bài ta có: Quy đồng mẫu: Suy ra 5x = x + 16 4x = 16 x = 4 Ta được phân số: Thử lại: * Sau khi cho học sinh làm các bài tập về nhà: Bài 1: Cho phân số có x+ y = 316.293 y - x = 51015 a. Hãy xác định phân số đó. b. Thêm 52 vào tử của phân số trên thì phải thêm vào mẫu bao nhiêu để giá trị của phân số không đổi. Bài 2: Dùng chín chữ số 1, 2, 3 ...., 9 (mỗi chữ số dùng 1 lần và chỉ 1 lần) để viết thành phân số có giá trị là Bài 3: Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 2, 4, 8, 16, 32. Bài 4: Tìm tất cả các phân số có mẫu nhở hơn 10, đồng thời phân số đó nhỏ hơn và lớn hơn Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng tích của tử số và mẫu số của nó bằng120. 4. Dạng toán chứng minh: * Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên những thì phân số là phân số tối giản. Giải: Gọi UCLN của 21n + 4 và 14n + 3 là d (d ẻN và Đảng >1). Khi đó Hay 42n + 9 - 42n -8d 1d Vậy d =1 Như vậy phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên. 5. Dạng toán tìn số tự nhiên: Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số là phấn số tối giản. Giải: Ta có: Để phân số là phấn số tối giản thì phân số là phân số tối giản. Muốn vậy 15 và n - 2 phải là 2 số nguyên tố cùng nhau . Vì 15 có 2 ước khác 1, khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n - 2 không chia hết cho 5 tức là: n - 2 ạ 3k và n - 2 ạ 5k. hay n ạ 3k +2 và n ạ 5k + 2 (kẻN, k ạ 0). Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A= rút gọn được. Giải: Giả sử tử số và mẫu số của phân số cùng chia hết cho nguyên tố d. 7(6n + 4) - 2 (21n + 3) d 22d => d ẻ ớ2; 11ý Như vậy nếu phân số A rút gọn được cho d thì d = 2 hoặc d = 11 + Trường hợp phân số rút gọn cho 2. Ta luôn có 6n + 4 còn 21n + 3 2 nếu n lẻ. + Trường hợp phân số rút gọn cho 11 ta đảo lại với n = 11k+ 3 (kẻN) thì 21n + 3 và 6n + 4 chia hết cho 11. Vậy với n lẻ hoặc n chẵn mà n = 11k + 3 thi phân số A rút gọn được. Chú ý rằng những chẵn khi chỉ đạo khi k lẻ (k = 2m + 1) nên kết quả trên ta có thể viết là n = 2m + 1 hoặc n = 2 (11m + 7) với mẻ N. Bài tập về nhà cho học sinh luyện tập: Bài 1: Cho phân số a. Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên. b. Tìm giá trị của n để phân số là tối giản Bài 2: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số sau tối giản Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số A= a. Có giá trị là số tự nhiên. b. Là phân số tối giản. c. Với 150 < n < 170 thì a rút gọn được. 6. Dạng toán rút gọn phân số: * Ví dụ 1: Rút gọn. B = Giải: A = = = B =` Bài tập luyện tập: Bài 1: Rút gọn rồi quy đồng các phân số sau: và Bài 2: Bạn hãy viết phân số sau dưới dạng phân số tối giảm trong 1 thời gian ít nhất: Bài 3: Một tủ sách có 1.400 cuốn, trong số đó có 600 cuốn sách toán hoạ, 360 cuốn sách văn học, 108 cuốn sách ngoại ngữ, 35 cuốn sách về tin học, còn lại là truyện tranh. Hỏi mỗi loại sách trên chiếm bao nhiêu phần của tổng số sách ? II. Một số biện pháp thực hiện * Để học giỏi được một số dạng bài toán liên quan đến phân số thì giáo viên. 1. Phải nắm thật vững chương trình và đối tượng học sinh để chuẩn bị bài giảng tốt. 2. Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt, luyện tốt. 3. Phải giảng chắc đến đâu, luyện chắc đến đấy. Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập. 4. Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào ? Tại sao nghĩ thế ??? thì mới đạt kết quả. Trên đây chỉ làm một số kinh nghiệm, biện pháp. Rất mong được sự góp ý của các thầy cô , các em học sinh và các bạn đồng nghiệp C-kết luận 1)Kết quả thu được: Trên đây là các phương pháp giải toán phân số mà trong quá trình giảng dạy tìm tòi và nghiên cưu tôi đã hệ thống lại ở một phương pháp các bài tập được cho ở những mức độ khác nhau ,học sinh đại trà có thể giải bài tập ở phương pháp 1, phương pháp 2 học sinh khá giỏi yêu cầu giải đượcbài tập ở tất cả các phương pháp Sau 2 năm trực tiếp áp dụng chuyên đề này trong việt bồi dưỡng học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi 10 tôi đã dút ra đượckết luận sau ; -làm cho học sinh yêu thích hơn về môn toán -Không còn lúng túng khi gặp các phương pháp giải toán phân số -có phương pháp giải hợp lí đối với từng bài toán cụ thể . -Số học sinh giỏi trường được duy trì liên tục ở các năm. Năn học Học sinh giỏi trường 2005-2006 13 2006-2007 17 2) Bài học kinh nghiệm rút ra *Sau một thời gian đưa vào áp dụng bồi dưỡng học sinhlớp 6, tôi tự rút ra một số kinh nghiệm sau: - Giáo viên phải nghiên cứu kỹ SGK, tham khảo tài liệu có liên quan. - Lựa chọn phương pháp giảng dạy bộ môn, phù hợp với đối tượng học sinh. - Để áp dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết của vấn đề tránh được những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải của học sinh. Khi cho bài tập cần nâng cao dần về mức độ. 3.ý kiến đề suất. - Công ty thiết bị đồ dùng nên bổ sung nhiều hơn về chủ đề của sách. - Các tài liệu bổ trợ bổ sung cho bài dạy, học Ngày 02 tháng 04 năm 2007 Người thực hiện Lê Văn Bình