Một số ví dụ về bất đẳng thức Bunhiacopski

MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BUNHIACOPSKI Biên soạn và giới thiệu Vũ Văn Bắc Blog toán https://parksungbuyl.workpress.com/ Ví dụ 1. Cho 2 2x y 1  . Tìm giá trị lớn nhất của : B x 1 y y 1 x    Lời giải. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 2 2B (x y )(1 y 1 x) x y 2        2 2B 2(x y ) 2 2 2      Kết luận max B 2 2  dấu bằng có khi 2x y 2   Nhận xét. Từ ví dụ trên ta có thể nêu ra bài toán sau  Tìm các số x và y thỏa mãn điều kiện sau trong đó các biểu thức đều có nghĩa 2 2x y 1 x 1 y y 1 x 2 2           Nếu giả thiết thêm rằng các biến là không âm thì ta có thể tìm được min của biểu thức đã cho thật vậy ta xét biểu thức 2 2 2 2 2B x x y y y x 2xy (x 1)(y 1)       Với x và y là các số không âm thì ta có 2 2 2B x y 1   Dấu bằng có khi (x, y) (0, 1); (0,1); (1,0); ( 1,0)   Ví dụ 2. Cho 2 239x 9y 9.  Tìm cực trị của : B y 2x 5   Lời giải. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có    22 2 21 136x 16y 2x y (y 2x) 9 16            2 25 5 5y 2x y 2x 16 4 4         15 25y 2x 5 4 4      Kết luận: 25max B 4  có dấu bằng khi 2 9x ; y 5 10    15min B 4  có dấu bằng khi 2 9x ; y 5 20   Nhận xét. Thực chất thêm con số 5 vào biểu thức B là để biểu thức nhìn đẹp hơn. Ở ví dụ này thì ta đã sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski dưới dạng hơi khác một chút. Về điều này thì các em cần lưu ý cho khi làm toán. Có lẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải bài toán trên là phương án hay và hiệu quả nhất. Ví dụ 3. Cho x, y, z thỏa mãn xy yz zx 4   . Tìm min của : 4 4 4B x y z   Lời giải. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có    24 4 4 2 2 23 x y z x y z     Ta chứng minh được bất đẳng thức sau 2 2 2a b c ab bc ca     Do đó :    24 4 43 x y z xy yz zx     4 4 4 16x y z 3     Kết luận: 16min B 3  có dấu bằng khi 2x y z 3     Nhận xét. Bất đẳng thức 2 2 2a b c ab bc ca     được xuất phát từ 2 2 2(a b) (b c) (c a) 0      Đây là một bất đẳng thức cơ bản có hiệu lực đối với nhiều bài toán hay. Ví dụ 4. Cho x, y, z thỏa mãn x, y, z 1  và x y z 1.   Tìm max của biểu thức B 1 x 1 y 1 z      Lời giải. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có B (1 1 1)(1 x 1 y 1 z) 2 3         Kết luận: max B 2 3 có dấu bằng khi 1x y z 3    Nhận xét. Ta dự đoán được dấu bằng xảy ra khi 1x y z 3    . Ta thấy B gồm các biểu thức dưới dấu căn bậc hai nên ta có thể nghĩ đến bất đẳng thức Cauchuy cho hai số không âm để giải quyết. Từ nhận xét này ta đi đến một cách giải khác cho ví dụ trên như sau Theo bất đẳng thức Cauchuy cho hai số không âm ta có 2 4 42. 1 x. 1 x 4 1 x 3 x 3 33 3          Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x 3  Thiết lập các bất đẳng thức tưng ứng rồi cộng vế đối vế ta được 4B 3 3 3 4 3 8 3 B 2 3      Kết luận: max B 2 3 có dấu bằng khi 1x y z 3    Sử dụng phương hướng dấu bằng xảy ra hay còn gọi là điểm rơi rất có lợi đối với nhiều bài toán đối xứng có dạng liên quan. Rõ ràng lời giải này đơn giản hơn lời giải đầu mặc dù cách đi của nó là không thực sự tự nhiên. Ví dụ 5. Cho 2 2 2 2x y 16 ; u v 25 ; xu yv 20      tìm max của : B x v  Lời giải. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 2 2 2 2(x y )(u v ) xu yv 20     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xu yv 20 ; xv yu   Mặt khác : 2 2 2 2 2 241 x y u v x v 2yu       2(x v) 41 x v 41      Kết luận: max B 41 dấu bằng có khi 16 20 25x ; y ; z 41 41 41    BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho x và y là hai số thỏa mãn 2x 5y 7  . Tìm min của biểu thức a) 2 2A x y  b) 2 2B 2x 5y  Bài 2. Cho x, y, z là các số không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) 2 2 2A x y z   b) 3 3 3B x y z   c) 4 4 4C x y z   d) D x x y y z z   Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B xy yz zx mxyz    Trong đó m là tham số và x, y, z là các số không âm có tổng bằng 1. Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B 2 x y  Trong đó x, y là các số không âm thỏa mãn 3 3x y 1. 