Một trăm bài tập Hình học lớp 9

MOÄT TRAấM BAỉI TAÄP HèNH HOẽC LễÙP 9. Phaàn 2: 50 baứi taọp cụ baỷn. Baứi 51:Cho (O), tửứ moọt ủieồm A naốm ngoaứi ủửụứng troứn (O), veừ hai tt AB vaứ AC vụựi ủửụứng troứn. Keỷ daõy CD//AB. Noỏi AD caột ủửụứng troứn (O) taùi E. C/m ABOC noọi tieỏp. Chửựng toỷ AB2=AE.AD. C/m goực vaứ DBDC caõn. CE keựo daứi caột AB ụỷ I. C/m IA=IB. Hỡnh 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tửù c/m) 2/C/m: AB2=AE.AD. Chửựng minh DADB ∽ DABE , vỡ coự chung. Sủ =sủ cung (goực giửừa tt vaứ 1 daõy) Sủ =sủ (goực nt chaộn ) 3/C/m * Do ABOC ntị (cuứng chaộn cung AC); vỡ AC = AB (t/c 2 tt caột nhau) ị DABC caõn ụỷ Aị * sủ =sủ (goực giửừa tt vaứ 1 daõy); sủ =sủ (goực nt) ị = maứ = (do CD//AB) ị ị DBDC caõn ụỷ B. 4/ Ta coự chung; (goực giửừa tt vaứ 1 daõy; goực nt chaộn cung BE)ị DIBE∽DICBịị IB2=IE.ICu Xeựt 2 DIAE vaứ ICA coự chung; sủ =sủ () maứ DBDC caõn ụỷ Bị ịsủ = ị DIAE∽DICAị ịIA2=IE.IC vTửứ uvaứvịIA2=IB2ị IA=IB Baứi 52: Cho DABC (AB=AC); BC=6; ẹửụứng cao AH=4(cuứng ủụn vũ ủoọ daứi), noọi tieỏp trong (O) ủửụứng kớnh AA’. Tớnh baựn kớnh cuỷa (O). Keỷ ủửụứng kớnh CC’. Tửự giaực ACA’C’ laứ hỡnh gỡ? Keỷ AK^CC’. C/m AKHC laứ hỡnh thang caõn. Quay DABC moọt voứng quanh truùc AH. Tớnh dieọn tớch xung quanh cuỷa hỡnh ủửụùc taùo ra. 1/Tớnh OA:ta coự BC=6; ủửụứng cao AH=4 ị AB=5; DABA’ vuoõng ụỷ BịBH2=AH.A’H ịA’H== ịAA’=AH+HA’= ịAO= 2/ACA’C’ laứ hỡnh gỡ? Do O laứ trung ủieồm AA’ vaứ CC’ịACA’C’ laứ Hỡnh 52 Hỡnh bỡnh haứnh. Vỡ AA’=CC’(ủửụứng kớnh cuỷa ủửụứng troứn)ịAC’A’C laứ hỡnh chửừ nhaọt. 3/ C/m: AKHC laứ thang caõn: ¿ ta coự AKC=AHC=1vịAKHC noọi tieỏp.ịHKC=HAC(cuứng chaộn cung HC) maứ DOAC caõn ụỷ OịOAC=OCAịHKC=HCAịHK//ACịAKHC laứ hỡnh thang. ¿ Ta laùi coự:KAH=KCH (cuứng chaộn cung KH)ị KAO+OAC=KCH+OCAịHỡnh thang AKHC coự hai goực ụỷ ủaựy baống nhau.Vaọy AKHC laứ thang caõn. 4/ Khi Quay D ABC quanh truùc AH thỡ hỡnh ủửụùc sinh ra laứ hỡnh noựn. Trong ủoự BH laứ baựn kớnh ủaựy; AB laứ ủửụứng sinh; AH laứ ủửụứng cao hỡnh noựn. Sxq=p.d=.2p.BH.AB=15p V=B.h=pBH2.AH=12p Baứi 53:Cho(O) vaứ hai ủửụứng kớnh AB; CD vuoõng goực vụựi nhau. Goùi I laứ trung ủieồm OA. Qua I veừ daõy MQ^OA (Mẻ cung AC ; Qẻ AD). ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi MQ taùi M caột (O) taùi P. C/m: a/ PMIO laứ thang vuoõng. b/ P; Q; O thaỳng haứng. Goùi S laứ Giao ủieồm cuỷa AP vụựi CQ. Tớnh Goực CSP. Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa AP vụựi MQ. Cmr: a/ MH.MQ= MP2. b/ MP laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp DQHP. 1/ a/ C/m MPOI laứ thang vuoõng. Vỡ OI^MI; CO^IO(gt) ịCO//MI maứ MP^CO ịMP^MỊMP//OỊMPOI laứ thang vuoõng. b/ C/m: P; Q; O thaỳng haứng: Do MPOI laứ thang vuoõng ịIMP=1v hay QMP=1vị QP laứ ủửụứng kớnh cuỷa (O)ị Q; O; P thaỳng haứng. 2/ Tớnh goực CSP: Ta coự sủ CSP=sủ(AQ+CP) (goực coự ủổnh naốm trong ủửụứng troứn) maứ cung CP = CM Hỡnh 53 vaứ CM=QD ị CP=QD ị sủ CSP=sủ(AQ+CP)= sủ CSP=sủ(AQ+QD) =sủAD=45o. Vaọy CSP=45o. 3/ a/ Xeựt hai tam giaực vuoõng: MPQ vaứ MHP coự : Vỡ D AOM caõn ụỷ O; I laứ trung ủieồm AO; MI^AOịDMAO laứ tam giaực caõn ụỷ Mị DAMO laứ tam giaực ủeàu ị cung AM=60o vaứ MC = CP =30o ị cung MP = 60o. ị cung AM=MP ị goực MPH= MQP (goực nt chaộn hai cung baống nhau.)ị DMHP∽DMQPị ủpcm. b/ C/m MP laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp D QHP. Goùi J laứ taõm ủtroứn ngoaùi tieỏp DQHP.Do cung AQ=MP=60oị DHQP caõn ụỷ H vaứ QHP=120oịJ naốm treõn ủửụứng thaỳng HOị DHPJ laứ tam giaực ủeàu maứ HPM=30oịMPH+HPJ=MPJ=90o hay JP^MP taùi P naốm treõn ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp DHPQ ịủpcm. Baứi 54: Cho (O;R) vaứ moọt caựt tuyeỏn d khoõng ủi qua taõm O.Tửứ moọt ủieồm M treõn d vaứ ụỷ ngoaứi (O) ta keỷ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB vụựi ủửụứmg troứn; BO keựo daứi caột (O) taùi ủieồm thửự hai laứ C.Goùi H laứ chaõn ủửụứng vuoõng goực haù tửứ O xuoỏng d.ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi BC taùi O caột AM taùi D. C/m A; O; H; M; B cuứng naốm treõn 1 ủửụứng troứn. C/m AC//MO vaứ MD=OD. ẹửụứng thaỳng OM caột (O) taùi E vaứ F. Chửựng toỷ MA2=ME.MF Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa ủieồm M treõn d ủeồ DMAB laứ tam giaực ủeàu.Tớnh dieọn tớch phaàn taùo bụỷi hai tt vụựi ủửụứng troứn trong trửụứng hụùp naứy. 1/Chửựng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/¿ C/m AC//OM: Do MA vaứ MB laứ hai tt caột nhau ịBOM=OMB vaứ MA=MB ịMO laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ABịMO^AB. Maứ BAC=1v (goực nt chaộn nửỷa ủtroứn ịCA^AB. Vaọy AC//MO. Hỡnh 54 554 ¿C/mMD=OD. Do OD//MB (cuứng ^CB)ịDOM=OMB(so le) maứ OMB=OMD(cmt)ịDOM=DMOịDDOM caõn ụỷ Dịủpcm. 3/C/m: MA2=ME.MF: Xeựt hai tam giaực AEM vaứ MAF coự goực M chung. Sủ EAM=sd cungAE(goực giửừa tt vaứ 1 daõy) Sủ AFM=sủcungAE(goực nt chaộn cungAE) ịEAM=A FM ịDMAE∽DMFAịủpcm. 4/¿Vỡ AMB laứ tam giaực ủeàuịgoực OMA=30oịOM=2OA=2OB=2R ¿Goùi dieọn tớch caàn tớnh laứ S.Ta coự S=S OAMB-Squaùt AOB Ta coự AB=AM==RịS AMBO=BA.OM= .2R. R= R2ị Squaùt==ịS= R2-= éẽ(&(éẽ Baứi 55: Cho nửỷa (O) ủửụứng kớnh AB, veừ caực tieỏp tuyeỏn Ax vaứ By cuứng phớa vụựi nửỷa ủửụứng troứn. Goùi M laứ ủieồm chớnh giửừa cung AB vaứ N laứ moọt ủieồm baỏt kyứ treõn ủoaùn AO. ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi MN taùi M laàn lửụùt caột Ax vaứ By ụỷ D vaứ C. C/m AMN=BMC. C/mDANM=DBMC. DN caột AM taùi E vaứ CN caột MB ụỷ F.C/m FE^Ax. Chửựng toỷ M cuừng laứ trung ủieồm DC. Hỡnh 55 554 1/C/m AMN=BMA. Ta coự AMB=1v(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn) vaứ do NM^DCịNMC=1v vaọy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1vị AMN=BMA. 2/C/m DANM=DBCM: Do cung AM=MB=90o.ịdaõy AM=MB vaứ MAN=MBA=45o.(DAMB vuoõng caõn ụỷ M)ịMAN=MBC=45o. Theo c/mt thỡ CMB=AMNị DANM=DBCM(gcg) 3/C/m EF^Ax. ị AND=CNB Do ADMN ntịAMN=AND(cuứng chaộn cung AN) Do MNBC ntịBMC=CNB(cuứng chaộn cung CB) Maứ AMN=BMC (chửựng minh caõu 1) Ta laùi coự AND+DNA=1vịCNB+DNA=1v ịENC=1v maứ EMF=1v ịEMFN noọi tieỏp ịEMN= EFN(cuứng chaộn cung NE)ị EFN=FNB ị EF//AB maứ AB^Ax ị EF^Ax. 4/C/m M cuừng laứ trung ủieồm DC: Ta coự NCM=MBN=45o.(cuứng chaộn cung MN). ịDNMC vuoõng caõn ụỷ Mị MN=NC. Vaứ DNDC vuoõng caõn ụỷ NịNDM=45o. ịDMND vuoõng caõn ụỷ Mị MD=MNị MC= DM ịủpcm. éẽ(&(éẽ Baứi 56: Tửứ moọt ủieồm M naốm ngoaứi (O) keỷ hai tieỏp tuyeỏn MA vaứ MB vụựi ủửụứng troứn. Treõn cung nhoỷ AB laỏy ủieồm C vaứ keỷ CD^AB; CE^MA; CF^MB. Goùi I vaứ K laứ giao ủieồm cuỷa AC vụựi DE vaứ cuỷa BC vụựi DF. C/m AECD nt. C/m:CD2=CE.CF Cmr: Tia ủoỏi cuỷa tia CD laứ phaõn giaực cuỷa goực FCE. C/m IK//AB. Hỡnh 56 554 1/C/m: AECD nt: (duứng phửụng phaựp toồng hai goực ủoỏi) 2/C/m: CD2=CE.CF. Xeựt hai tam giaực CDF vaứ CDE coự: -Do AECD ntịCED=CAD(cuứng chaộn cung CD) -Do BFCD ntịCDF=CBF(cuứng chaộn cung CF) Maứ sủ CAD=sủ cung BC(goực nt chaộn cung BC) Vaứ sủ CBF=sủ cung BC(goực giửừa tt vaứ 1 daõy)ịFDC=DECu Do AECD nt vaứ BFCD nt ịDCE+DAE=DCF+DBF=2v.Maứ MBD=DAM(t/c hai tt caột nhau)ịDCF=DCEv.Tửứ uvaứ vịDCDF∽DCEDịủpcm. 3/Goùi tia ủoỏi cuỷa tia CD laứ Cx,Ta coự goực xCF=180o-FCD vaứ xCE=180o-ECD.Maứ theo cmt coự: FCD= ECDị xCF= xCE.ịủpcm. 4/C/m: IK//AB. Ta coự CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE ntịCDE=CAE(cuứng chaộn cung CE) ABC+CAE(goực nt vaứ goực giửừa tt… cuứng chaộn 1 cung)ịCBA=CDI.trong DCBA coự BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vịDKCI noọi tieỏpị KDC=KIC (cuứng chaộn cung CK)ịKIC=BACịKI//AB. Baứi 57: Cho (O; R) ủửụứng kớnh AB, Keỷ tieỏp tuyeỏn Ax vaứ treõn Ax laỏy ủieồm P sao cho P>R. Tửứ P keỷ tieỏp tuyeỏn PM vụựi ủửụứng troứn. C/m BM/ / OP. ẹửụứng vuoõng goực vụựi AB taùi O caột tia BM taùi N. C/m OBPN laứ hỡnh bỡnh haứnh. AN caột OP taùi K; PM caột ON taùi I; PN vaứ OM keựo daứi caột nhau ụỷ J. C/m I; J; K thaỳng haứng. Hỡnh 57 554 1/ C/m:BM//OP: Ta coự MB^AM (goực nt chaộn nửỷa ủtroứn) vaứ OP^AM (t/c hai tt caột nhau) ị MB//OP. 2/ C/m: OBNP laứ hỡnh bỡnh haứnh: Xeựt hai D APO vaứ OBN coự A=O=1v; OA=OB(baựn kớnh) vaứ do NB//AP ị POA=NBO (ủoàng vũ)ịDAPO=DONBị PO=BN. Maứ OP//NB (Cmt) ị OBNP laứ hỡnh bỡnh haứnh. 3/ C/m:I; J; K thaỳng haứng: Ta coự: PM^OJ vaứ PN//OB(do OBNP laứ hbhaứnh) maứ ON^ABịON^OJịI laứ trửùc taõm cuỷa DOPJịIJ^OP. -Vỡ PNOA laứ hỡnh chửừ nhaọt ịP; N; O; A; M cuứng naốm treõn ủửụứng troứn taõm K, maứ MN//OPị MNOP laứ thang caõnịNPO= MOP, ta laùi coự NOM = MPN (cuứng chaộn cung NM) ị ịDIPO caõn ụỷ I. Vaứ KP=KOịIK^PO. Vaọy K; I; J thaỳng haứng. & Baứi 58:Cho nửỷa ủửụứng troứn taõm O, ủửụứng kớnh AB; ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AB taùi O caột nửỷa ủửụứng troứn taùi C. Keỷ tieỏp tuyeỏn Bt vụựi ủửụứng troứn. AC caột tieỏp tuyeỏn Bt taùi I. C/m DABI vuoõng caõn Laỏy D laứ 1 ủieồm treõn cung BC, goùi J laứ giao ủieồm cuỷa AD vụựi Bt. C/m AC.AI=AD.AJ. C/m JDCI noọi tieỏp. Tieỏp tuyeỏn taùi D cuỷa nửỷa ủửụứng troứn caột Bt taùi K. Haù DH^AB. Cmr: AK ủi qua trung ủieồm cuỷa DH. Hỡnh 58 554 1/C/m DABI vuoõng caõn(Coự nhieàu caựch-sau ủaõy chổ C/m 1 caựch): -Ta coự ACB=1v(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn)ịDABC vuoõng ụỷ C.Vỡ OC^AB taùi trung ủieồm OịAOC=COB=1v ị cung AC=CB=90o. ịCAB=45 o. (goực nt baống nửỷa soỏ ủo cung bũ chaộn) DABC vuoõng caõn ụỷ C. Maứ Bt^AB coự goực CAB=45 o ị DABI vuoõng caõn ụỷ B. 2/C/m: AC.AI=AD.AJ. Xeựt hai DACD vaứ AIJ coự goực A chung sủ goực CDA=sủ cung AC =45o. Maứ D ABI vuoõng caõn ụỷ BịAIB=45 o.ịCDA=AIBị DADC∽DAIJịủpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) vaứ CDA+CDJ=2vị CDJ+CIJ=2vịCDJI noọi tieỏp. 4/Goùi giao ủieồm cuỷa AK vaứ DH laứ N Ta phaỷi C/m:NH=ND -Ta coự:ADB=1v vaứ DK=KB(t/c hai tt caột nhau) ịKDB=KBD.Maứ KBD+DJK= 1v vaứ KDB+KDJ=1vịKJD=JDKịDKDJ caõn ụỷ K ịKJ=KD ịKB=KJ. -Do DH^ vaứ JB^AB(gt)ịDH//JB. Aựp duùng heọ quaỷ Ta leựt trong caực tam giaực AKJ vaứ AKB ta coự: ;ị maứ JK=KBịDN=NH. éẽ(&(éẽ Baứi 59: Cho (O) vaứ hai ủửụứng kớnh AB; CD vuoõng goực vụựi nhau. Treõn OC laỏy ủieồm N; ủửụứng thaỳng AN caột ủửụứng troứn ụỷ M. Chửựng minh: NMBO noọi tieỏp. CD vaứ ủửụứng thaỳng MB caột nhau ụỷ E. Chửựng minh CM vaứ MD laứ phaõn giaực cuỷa goực trong vaứ goực ngoaứi goực AMB C/m heọ thửực: AM.DN=AC.DM Neỏu ON=NM. Chửựng minh MOB laứ tam giaực ủeàu. 1/C/m NMBO noọi tieỏp:Sửỷ duùng toồng hai goực ủoỏi) 2/C/m CM vaứ MD laứ phaõn giaực cuỷa goực trong vaứ goực ngoaứi goực AMB: -Do AB^CD taùi trung ủieồm O cuỷa AB vaứ CD.ịCung AD=DB=CB=AC=90 o. ịsủ AMD=sủcungAD=45o. Hỡnh 59 554 sủ DMB=sủcung DB=45o.ịAMD=DMB=45o.Tửụng tửù CAM=45o ịEMC=CMA=45o.Vaọy CM vaứ MD laứ phaõn giaực cuỷa goực trong vaứ goực ngoaứi goực AMB. 3/C/m: AM.DN=AC.DM. Xeựt hai tam giaực ACM vaứ NMD coự CMA=NMD=45 o.(cmt) Vaứ CAM=NDM(cuứng chaộn cung CM)ịDAMC∽DDMNịủpcm. 4/Khi ON=NM ta c/m DMOB laứ tam giaực ủeàu. Do MN=ONịDNMO vcaõn ụỷ NịNMO=NOM.Ta laùi coự: NMO+OMB=1v vaứ NOM+MOB=1vịOMB=MOB.Maứ OMB=OBM ịOMB=MOB=OBMịDMOB laứ tam giaực ủeàu. éẽ(&(éẽ Baứi 60: Cho (O) ủửụứng kớnh AB, vaứ d laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taùi C. Goùi D; E theo thửự tửù laứ hỡnh chieỏu cuỷa A vaứ B leõn ủửụứng thaỳng d. C/m: CD=CE. Cmr: AD+BE=AB. Veừ ủửụứng cao CH cuỷa DABC.Chửựng minh AH=AD vaứ BH=BE. Chửựng toỷ:CH2=AD.BE. Chửựng minh:DH//CB. 1/C/m: CD=CE: Do AD^d;OC^d;BE^dịAD//OC//BE.Maứ OH=OBịOC laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang ABEDị CD=CE. 2/C/m AD+BE=AB. Theo tớnh chaỏt ủửụứng trung bỡnh Hỡnh 60 554 cuỷa hỡnh thang ta coự:OC=ịBE+AD=2.OC=AB. 3/C/m BH=BE.Ta coự: sủ BCE=sdcung CB(goực giửừa tt vaứ moọt daõy) sủ CAB=sủ cung CB(goực nt)ịECB=CAB;DACB cuoõng ụỷ CịHCB=HCA ịHCB=BCEị DHCB=DECB(hai tam giaực vuoõng coự 1 caùnh huyeàn vaứ 1 goực nhoùn baống nhau) ịHB=BE. -C/m tửụng tửù coự AH=AD. 4/C/m: CH2=AD.BE. DACB coự C=1v vaứ CH laứ ủửụứng cao ịCH2=AH.HB. Maứ AH=AD;BH=BE ị CH2=AD.BE. 5/C/m DH//CB. Do ADCH noọi tieỏp ị CDH=CAH (cuứng chaộn cung CH) maứ CAH=ECB (cmt) ị CDH=ECB ịDH//CB. éẽ(&(éẽ Baứi 61: Cho DABC coự: A=1v.D laứ moọt ủieồm naốm treõn caùnh AB.ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BD caột BC taùi E.caực ủửụứng thaỳng CD;AE laàn lửụùt caột ủửụứng troứn taùi caực ủieồm thửự hai F vaứ G. C/m CAFB noọi tieỏp. C/m AB.ED=AC.EB Chửựng toỷ AC//FG. Chửựng minh raống AC;DE;BF ủoàng quy. Hỡnh 61 554 1/C/m CAFB noọi tieỏp(Sửỷ duùng Hai ủieồm A; Fcuứng laứm vụựi hai ủaàu ủoaùn thaỳng BC) 2/C/m DABC vaứ DEBD ủoàng daùng. 3/C/m AC//FG: Do ADEC noọi tieỏp ịACD=AED(cuứng chaộn cung AD). Maứ DFG=DEG(cuứng chaộn cung GD)ịACF=CFGịAC//FG. 4/C/m AC; ED; FB ủoàng quy: AC vaứ FB keựo daứi caột nhau taùi K.Ta phaỷi c/m K; D; E thaỳng haứng. BA^CK vaứ CF^KB; ABầCF=DịD laứ trửùc taõm cuỷa DKBCịKD^CB. Maứ DE^CB(goực nt chaộn nửỷa ủửụứng troứn)ịQua ủieồm D coự hai ủửụứng thaỳng cuứng vuoõng goực vụựi BCịBa ủieồm K;D;E thaỳng haứng.ịủpcm. éẽ(&(éẽ Baứi 62: Cho (O;R) vaứ moọt ủửụứng thaỳng d coỏ ủũnh khoõng caột (O).M laứ ủieồm di ủoọng treõn d.Tửứ M keỷ tieỏp tuyeỏn MP vaứ MQ vụựi ủửụứng troứn..Haù OH^d taùi H vaứ daõy cung PQ caột OH taùi I;caột OM taùi K. C/m: MHIK noọi tieỏp. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2. CMr khi M di ủoọng treõn d thỡ vũ trớ cuỷa I luoõn coỏ ủũnh. Hỡnh 62 554 1/C/m MHIK noọi tieỏp. (Sửỷ duùng toồng hai goực ủoỏi) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2. -Xeựt hai tam giaực OIM vaứ OHK coự O chung. Do HIKM noọi tieỏpịIHK=IMK(cuứng chaộn cung IK) ịDOHK∽DOMI ịịOH.OI=OK.OM u OPM vuoõng ụỷ P coự ủửụứng cao PK.aựp duùng heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng coự:OP2=OK.OMv.Tửứ uvaứ vịủpcm. 4/Theo cm caõu2 ta coự OI=maứ R laứ baựn kớnh neõn khoõng ủoồi.d coỏ ủũnh neõn OH khoõng ủoồi ịOI khoõng ủoồi.Maứ O coỏ ủũnh ịI coỏ ủũnh. éẽ(&(éẽ Baứi 63: Cho D vuoõng ABC(A=1v) vaứ AB<AC.Keỷ ủửụứng cao AH.Treõn tia ủoỏi cuỷa tia HB laỏy HD=HB roài tửứ C veừ ủửụứng thaỳng CE^AD taùi E. C/m AHEC noọi tieỏp. Chửựng toỷ CB laứ phaõn giaực cuỷa goực ACE vaứ DAHE caõn. C/m HE2=HD.HC. Goùi I laứ trung ủieồm AC.HI caột AE taùi J.Chửựng minh: DC.HJ=2IJ.BH. EC keựo daứi caột AH ụỷ K.Cmr AB//DK vaứ tửự giaực ABKD laứ hỡnh thoi. 1/C/m AHEC nt (sửỷ duùng hai ủieồm E vaứ H…) 2/C/m CB laứ phaõn giaực cuỷa ACE Do AH^DB vaứ BH=HD ịDABD laứ tam giaực caõn ụỷ A ịBAH=HAD maứ BAH=HCA (cuứng phuù vụựi goực B). Do AHEC nt ịHAD=HCE (cuứng chaộn cung HE) ịACB=BCE ịủpcm Hỡnh 63 554 -C/m DHAE caõn: Do HAD=ACH(cmt) vaứ AEH=ACH(cuứng chaộn cung AH) ịHAE=AEHịDAHE caõn ụỷ H. 3/C/m: HE2=HD.HC.Xeựt 2 DHED vaứ HEC coự H chung.Do AHEC nt ịDEH=ACH( cuứng chaộn cung AH) maứ ACH=HCE(cmt) ịDEH=HCE ịDHED∽DHCEịủpcm. 4/C/m DC.HJ=2IJ.BH: ðDo HI laứ trung tuyeỏn cuỷa tam giaực vuoõng AHCịHI=ICịDIHC caõn ụỷ I ịIHC=ICH.Maứ ICH=HCE(cmt)ịIHC=HCEịHI//EC.Maứ I laứ trung ủieồm cuỷa ACịJI laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa DAECịJI=EC. ðXeựt hai DHJD vaứ EDC coự: -Do HJ//Ecvaứ EC^AEịHJ^JD ịHJD=DEC=1v vaứ HDJ=EDC(ủủ)ịDJDH~DEDCị ịJH.DC=EC.HD maứ HD=HB vaứ EC=2JỊủpcm 5/Do AE^KC vaứ CH^AK AE vaứ CH caột nhau taùi DịD laứ trửùc taõm cuỷa DACKịKD^AC maứ AB^AC(gt)ịKD//AB -Do CH^AK vaứ CH laứ phaõn giaực cuỷa DCAK(cmt)ịDACK caõn ụỷ C vaứ AH=KH;Ta laùi coự BH=HD(gt),maứ H laứ giao ủieồm 2 ủửụứng cheựo cuỷa tửự giaực ABKDị ABKD laứ hỡnh bỡnh haứnh.Nhửng DB^AKị ABKD laứ hỡnh thoi.Baứi 64: Cho tam giaực ABC vuoõng caõn ụỷ A.Trong goực B,keỷ tia Bx caột AC taùi D,keỷ CE ^Bx taùi E.Hai ủửụứng thaỳng AB vaứ CE caột nhau ụỷ F. C/m FD^BC,tớnh goực BFD C/m ADEF noọi tieỏp. Chửựng toỷ EA laứ phaõn giaực cuỷa goực DEF Neỏu Bx quay xung quanh ủieồm B thỡ E di ủoọng treõn ủửụứng naứo? Hỡnh 64 554 1/ C/m: FD^BC: Do BEC=1v;BAC=1v(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn).Hay BE^FC; vaứ CA^FB.Ta laùi coự BE caột CA taùi DịD laứ trửùc taõm cuỷa DFBCịFD^BC. Tớnh goực BFD:Vỡ FD^BC vaứ BE^FC neõn BFD=ECB(Goực coự caùnh tửụng ửựng vuoõng goực).Maứ ECB=ACB(cuứng chaộn cung AB) maứ ACB=45oịBFD=45o 2/C/m:ADEF noọi tieỏp:Sửỷ duùng toồng hai goực ủoỏi. 3/C/m EA laứ phaõn giaực cuỷa goực DEF. Ta coự AEB=ACB(cuứng chaộn cung AB).Maứ ACB=45o(DABC vuoõng caõn ụỷ A) ịAEB=45o.Maứ DEF=90oịFEA=AED=45oịEA laứ phaõn giaực… 4/Neõựu Bx quay xung quanh B : -Ta coự BEC=1v;BC coỏ ủũnh. -Khi Bx quay xung quanh B Thỡ E di ủoọng treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BC. -Giụựi haùn:Khi Bxº BC Thỡ EºC;Khi BxºAB thỡ EºA. Vaọy E chaùy treõn cung phaàn tử AC cuỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BC. éẽ(&(éẽ Baứi 65: Cho nửỷa ủửụứng troứn (O) ủửụứng kớnh AB. Treõn nửỷa ủửụứng troứn laỏy ủieồm M, Treõn AB laỏy ủieồm C sao cho AC<CB. Goùi Ax; By laứ hai tieỏp tuyeỏn cuỷa nửỷa ủửụứng troứn. ẹửụứng thaỳng ủi qua M vaứ vuoõng goực vụựi MC caột Ax ụỷ P; ủửụứng thaỳng qua C vaứ vuoõng goực vụựi CP caột By taùi Q. Goùi D laứ giao ủieồm cuỷa CP vụựi AM; E laứ giao ủieồm cuỷa CQ vụựi BM. 1/cm: ACMP noọi tieỏp. 2/Chửựng toỷ AB//DE 3/C/m: M; P; Q thaỳng haứng. Hỡnh 65 554 Q M P D E A C O B 1/Chửựng minh:ACMP noọi tieỏp(duứng toồng hai goực ủoỏi) 2/C/m AB//DE: Do ACMP noọi tieỏp ịPAM=CPM(cuứng chaộn cung PM) Chửựng minh tửụng tửù,tửự giaực MDEC noọi tieỏpịMCD=DEM(cuứng chaộn cung MD).Ta laùi coự: Sủ PAM=sủ cung AM(goực giửừa tt vaứ 1 daõy) Sủ ABM=sủ cung AM(goực noọi tieỏp) ịABM=MEDịDE//AB 3/C/m M;P;Q thaỳng haứng: Do MPC+MCP=1v(toồng hai goực nhoùn cuỷa tam giaực vuoõng PMC) vaứ PCM+MCQ=1v ịMPC=MCQ. Ta laùi coự DPCQ vuoõng ụỷ CịMPC+PQC=1vịMCQ+CQP=1v hay CMQ=1vịPMC+CMQ=2vịP;M;Q thaỳng haứng. éẽ(&(éẽ Baứi 66: Cho nửỷa ủửụứng troứn (O), ủửụứng kớnh AB vaứ moọt ủieồm M baỏt kyứ treõn nửỷa ủửụứng troứn. Treõn nửỷa maởt phaỳng bụứ AB chửựa nửỷa ủửụỷng troứn, ngửụứi ta keỷ tieỏp tuyeỏn Ax.Tia BM caột tia Ax taùi I. Phaõn giaực goực IAM caột nửỷa ủửụứng troứn taùi E; caột tia BM taùi F; Tia BE caột Ax taùi H; caột AM taùi K. C/m: IA2=IM.IB . C/m: DBAF caõn. C/m AKFH laứ hỡnh thoi. Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M ủeồ AKFI noọi tieỏp ủửụùc. Hỡnh 66 554 I F M H E K A B 1/C/m: IA2=IM.IB: (chửựng minh hai tam giaực IAB vaứ IAM ủoàng daùng) 2/C/m DBAF caõn: Ta coự sủ EAB=sủ cung BE(goực nt chaộn cung BE) Sủ AFB =sủ (AB -EM)(goực coự ủổnh ụỷ ngoaứi ủtroứn) Do AF laứ phaõn giaực cuỷa goực IAM neõn IAM=FAMịcung AE=EM ị sủ AFB=sủ(AB-AE)= sủ cung BEịFAB=AFBịủpcm. 3/C/m: AKFH laứ hỡnh thoi: Do cung AE=EM(cmt)ịMBE=EBAịBE laứ phaõn giaực cuỷa Dcaõn ABF ị BH^FA vaứ AE=FAịE laứ trung ủieồm ịHK laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa FA ịAK=KF vaứ AH=HF. Do AMịBF vaứ BH^FAịK laứ trửùc taõm cuỷa DFABịFK^AB maứ AH^AB ịAH//FK ịHỡnh bỡnh haứnh AKFH laứ hỡnh thoi. 5/ Do FK//AỊAKFI laứ hỡnh thang.ẹeồ hỡnh thang AKFI noọi tieỏp thỡ AKFI phaỷi laứ thang caõnịgoực I=IAMịDAMI laứ tam giaực vuoõng caõn ịDAMB vuoõng caõn ụỷ MịM laứ ủieồm chớnh giửừa cung AB. éẽ(&(éẽ Baứi 67: Cho (O; R) coự hai ủửụứng kớnh AB vaứ CD vuoõng goực vụựi nhau. Treõn ủoaùn thaỳng AB laỏy ủieồm M(Khaực A; O; B). ẹửụứng thaỳng CM caột (O) taùi N. ẹửụứng vuoõng goực vụựi AB taùi M caột tieỏp tuyeỏn taùi N cuỷa ủửụứng troứn taùi P. Chửựng minh: COMNP noọi tieỏp. CMPO laứ hỡnh bỡnh haứnh. CM.CN khoõng phuù thuoọc vaứo vũ trớ cuỷa M. Khi M di ủoọng treõn AB thỡ P chaùy treõn ủoaùn thaỳng coỏ ủũnh. 1/c/m:OMNP noọi tieỏp:(Sửỷ duùng hai ủieồm M;N cuứng laứm vụựi hai ủaàu ủoaùn OP moọt goực vuoõng. 2/C/m:CMPO laứ hỡnh bỡnh haứnh: Ta coự: CD^AB;MP^ABịCO//MP.u C K A O M B N D P y Hỡnh 67 554 Do OPNM noọi tieỏpịOPM=ONM(cuứng chaộn cung OM). DOCN caõn ụỷ O ịONM=OCMịOCM=OPM. Goùi giao ủieồm cuỷa MP vụựi (O) laứ K.Ta coự PMN=KMC(ủ ủ) ịOCM=CMK ịCMK=OPMịCM//OPv.Tửứ u vaứ v ịCMPO laứ hỡnh bỡnh haứnh. 3/Xeựt hai tam giaực OCM vaứ NCD coự:CND=1v(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn) ịNCD laứ tam giaực vuoõng.ịHai tam giaực vuoõng COM vaứ CND coự goực C chung. ịDOCM~DNCDịCM.CN=OC.CDw Tửứ w ta coự CD=2R;OC=R.Vaọyw trụỷ thaứnh:CM.CN=2R2 khoõng ủoồi.vaọy tớch CM.CN khoõng phuù thuoọc vaứo vũ trớ cuỷa vũ trớ cuỷa M. 4/Do COPM laứ hỡnh bỡnh haứnhịMP//=OC=RịKhi M di ủoọng treõn AB thỡ P di ủoọng treõn ủửụứng thaỳng xy thoaỷ maừn xy//AB vaứ caựch AB moọt khoaỷng baống R khoõng ủoồi. éẽ(&(éẽ Baứi 68: Cho DABC coự A=1v vaứ AB>AC, ủửụứng cao AH. Treõn nửỷa maởt phaỳng bụứ BC chửựa ủieồm A veừ hai nửỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BH vaứ nửỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh HC. Hai nửỷa ủửụứng troứn naứy caột AB vaứ AC taùi E vaứ F. Giao ủieồm cuỷa FE vaứ AH laứ O. Chửựng minh: AFHE laứ hỡnh chửừ nhaọt. BEFC noọi tieỏp AE. AB=AF. AC FE laứ tieỏp tuyeỏn chung cuỷa hai nửỷa ủửụứng troứn. Chửựng toỷ:BH. HC=4. OE.OF. Hỡnh 68 554 A E O F B I H K C 1/ C/m: AFHE laứ hỡnh chửừ nhaọt. BEH=HCF(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn); EAF=1v(gt) ịủpcm. 2/ C/m: BEFC noọi tieỏp: Do AFHE laứ hỡnh chửừ nhaọt.ịDOAE caõn ụỷ O ịAEO=OAE. Maứ OAE=FCH(cuứng phuù vụựi goực B)ịAEF=ACB maứ AEF+BEF=2vịBEF+BCE=2vịủpcm 3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xeựt hai tam giaực vuoõng AEF vaứ ACB coự AEF=ACB(cmt) ịDAEF~DACBịủpcm 4/ Goùi I vaứ K laứ taõm ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BH vaứ CH.Ta phaỷi c/m FE^IE vaứ FE^KF. -Ta coự O laứ giao ủieồm hai ủửụứng cheựo AC vaứ DB cuỷa hcnhaọt AFHEịEO=HO; IH=IK cuứng baựn kớnh); AO chungị DIHO=DIEO ịIHO=IEO maứ IHO=1v (gt)ị IEO=1vị IE^OE taùi dieồm E naốm treõn ủửụứng troứn. ịủpcm. Chửựng minh tửụng tửù ta coự FE laứ tt cuỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh HC. 5/ Chửựng toỷ:BH.HC=4.OE.OF. Do DABC vuoõng ụỷ A coự AH laứ ủửụứng cao. Aựp duùng heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng ABC coự:AH2=BH.HC. Maứ AH=EF vaứ AH=2.OE=2.OF(t/c ủửụứng cheựo hỡnh chửừ nhaọt)ị BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF Baứi 69: Cho DABC coự A=1v AH^BC.Goùi O laứ taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực ABC;d laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taùi ủieồm A.Caực tieỏp tuyeỏn taùi B vaứ C caột d theo thửự tửù ụỷ D vaứ E. Tớnh goực DOE. Chửựng toỷ DE=BD+CE. Chửựng minh:DB.CE=R2.(R laứ baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn taõm O) C/m:BC laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủtroứn ủửụứng kớnh DE. E I A Hỡnh 69 554 D 2 4 1 2 3 1 H O C B 1/Tớnh goực DOE: ta coự D1=D2 (t/c tieỏp tuyeỏn caột nhau);OD chungịHai tam giaực vuoõng DOB baống DOAịO1=O2.Tửụng tửù O3=O4.ịO1+O4=O2+O3. Ta laùi coự O1+O2+O3+O4=2vị O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o. 2/Do DA=DB;AE=CE(tớnh chaỏt hai tt caột nhau) vaứ DE=DA+AE ịDE=DB+CE. 3/Do DDE vuoõng ụỷ O(cmt) vaứ OA^DE(t/c tieỏp tuyeỏn).Aựp duùng heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng DOE coự :OA2=AD.AE.Maứ AD=DB;AE=CE;OA=R(gt) ịR2=AD.AE. 4/Vỡ DB vaứ EC laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O)ịDB^BC vaứ DE^BCịBD//EC.Hay BDEC laứ hỡnh thang. Goùi I laứ trung ủieồm DEịI laứ taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp DDOE.Maứ O laứ trung ủieồm BCịOI laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh thang BDECịOI//BD. Ta laùi coự BD^BCịOI^BC taùi O naốm treõn ủửụứng troứn taõm ỊBC laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp DDOE. éẽ(&(éẽ Baứi 70: Cho DABC(A=1v); ủửụứng cao AH.Veừ ủửụứng troứn taõm A baựn kớnh AH.Goùi HD laứ ủửụứng kớnh cuỷa ủửụứng troứn (A;AH).Tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taùi D caột CA taùi E. Chửựng minh DBEC caõn. Goùi I laứ hỡnh chieỏu cuỷa A treõn BE.C/m:AI=AH. C/m:BE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn C/m:BE=BH+DE. Goùi ủửụứng troứn ủửụứng kớnh AH coự Taõm laứ K.Vaứ AH=2R.Tớnh dieọn tớch cuỷa hỡnh ủửụùc taùo bụỷi ủửụứng troứn taõm A vaứ taõm K. D E Hỡnh 70 554 I A —K C H B 1/C/m:DBEC caõn:.Xeựt hai tam giaực vuoõng ACH vaứ AED coự:AH=AD(baựn kớnh);CAH=DAE(ủ ủ).Do DE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (A)ịHD^DE vaứ DH^CB gt)ịDE//CHịDEC=ECHịDACH=DAEDịCA=AEịA laứ trung ủieồm CE coự BA^CEịBA laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa CEịDBCE caõn ụỷ B. 2/C/m:AI=AH. Xeựt hai tam giaực vuoõng AHB vaứ AIB(vuoõng ụỷ H vaứ I) coự AB chung vaứ BA laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa Dcaõn BCE(cmt) ịABI=ABH ịDAHB=DAIB ịAI=AH. 3/C/m:BE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (A;AH).Do AH=AỊI naốm treõn ủửụứng troứn (A;AH) maứ BI^AI taùi ỊBI laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (A;AH) 4/C/m:BE=BH+ED. Theo cmt coự DE=CH vaứ BH=BI;IE=DE(t/c hai tt caột nhau).Maứ BE=BI+IE ịủpcm. 5/Goùi S laứ dieọn tớch caàn tỡm.Ta coự: S=S(A)-S(K)=pAH2-pAK2=pR2- éẽ(&(éẽ Baứi 71: Treõn caùnh CD cuỷa hỡnh vuoõng ABCD,laỏy moọt ủieồm M baỏt kyứ.ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh AM caột AB taùi ủieồm thửự hai Q vaứ caột ủửụứng troứn ủửụứng kớnh CD taùi ủieồm thửự hai N.Tia DN caột caùnh BC taùi P. C/m:Q;N;C thaỳng haứng. CP.CB=CN.CQ. C/m AC vaứ MP caột nhau taùi 1 ủieồm naốm treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh AM. Hỡnh 71 554 1/C/m:Q;N;C thaỳng haứng: Goùi Taõm cuỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh AM laứ O vaứ ủửụứng troứn ủửụứng kớnh DC laứ I. -Do AQMD noọi tieỏp neõn ADM+AMQ=2v Maứ ADM=1v ịAQM=1v vaứ DAQ=1vịAQMD laứ hỡnh chửừ nhaọt. ịDQ laứ ủửụứng kớnh cuỷa (O) ịQND=1v(goực nt chaộn nửỷa ủửụứng troứn A Q B O P N H D I M C -Do DNC=1v(goực nt chaộn nửỷa ủtroứn taõm I)ịQND+DNC=2vịủpcm. 2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giaực vuoõng CPN vaứ CBQ ủoàng daùng (coự goực C chung) 3/Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa AC vụựi MP.Ta phaỷi chửựng minh H naốm treõn ủửụứng troứn taõm O,ủửụứng kớnh AM. -Do QBCM laứ hcnhaọtịDMQC=DBQC. Xeựt hai tam giaực vuoõng BQC vaứ CDP coự:QCB=PDC(cuứng baống goực MQC); DC=BC(caùnh hỡnh vuoõng)ịDBQC=DCDPịDCDP=DMQCịPC=MC.Maứ C=1vịDPMC vuoõng caõn ụỷ CịMPC=45o vaứ DBC=45o(tớnh chaỏt hỡnh vuoõng) ịMP//DB.Do AC^D