Một trăm bài tập Hình học lớp 9

MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 1: 50 bài tập cơ bản.  Lời nói đầu: Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi. Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất. Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng học sinh. Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự nhất trí của tác giả. Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về: Bài 1: Cho DABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. Chứng minh:BEDC nội tiếp. Chứng minh: góc DEA=ACB. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN. Chứng tỏ: AM2=AE.AB. Giợi ý: 1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông. 2.C/m góc DEA=ACB. Do BECD ntÞDMB+DCB=2v. Mà DEB+AED=2v ÞAED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1) y A x N E D M O B C Hình 1 Ta phải c/m xy//DE. Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=sđ cung AB. Mà sđ ACB=sđ AB. Þgóc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) ÞxAB=AED hay xy//DE. 4.C/m OA là phân giác của góc MAN. Do xy//DE hay xy//MN mà OA^xyÞOA^MN.^OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vuông góc với một dây)ÞDAMN cân ở A ÞAO là phân giác của góc MAN. 5.C/m :AM2=AE.AB. Do DAMN cân ở A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgóc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung ÞDMAE ∽D BAMÞÞ MA2=AE.AB. ÐÏ(&(ÐÏBài 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp. 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) Gợi ý: 1.Do MA=MB và AB^DE tại M nên ta có DM=ME. ÞADBE là hình bình hành. Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;là hình thoi. 2.C/m DMBI nội tiếp. BC là đường kính,IỴ(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt) ÞBID+DMB=2vÞđpcm. D I A M O B O’ C E Hình 2 3.C/m B;I;E thẳng hàng. Do AEBD là hình thoi ÞBE//AD mà AD^DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do góc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC ^B;I;E thẳng hàng. ·C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; DEID vuông ở IÞMI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI ÞMI=MD. 4. C/m MC.DB=MI.DC. hãy chứng minh DMCI∽ DDCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp) 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) -Ta có DO’IC Cân Þgóc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp ÞMIB=MDB (cùng chắn cung MB) DBDE cân ở B Þgóc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp Þgóc MEB=MCI (cùng chắn cung MI) Từ đó suy ra góc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI ^O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ÞMI là tiếp tuyến của (O’). ÐÏ(&(ÐÏ Bài 3: Cho DABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. C/m BADC nội tiếp. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED. C/m CA là phân giác của góc BCS. Gợi ý: 1.C/m ABCD nội tiếp: C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông.. 2.C/m ME là phân giác của góc AED. ·Hãy c/m AMEB nội tiếp. ·Góc ABM=AEM( cùng chắn cung AM) Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD) Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD) D S A M O B E C Hình 3 ÞAEM=MED. 4.C/m CA là phân giác của góc BCS. -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD) DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) ÞGóc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vậy góc ADB=SCAÞđpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 4: Cho DABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. C/m ADCB nội tiếp. C/m ME là phân giác của góc AED. C/m: Góc ASM=ACD. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. Gợi ý: 1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: Góc MDC=BDC=1v Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông 2.C/m ME là phân giác của góc AED. ·Do ABCD nội tiếp nên A S D M B E C Hình 4 ÞABD=ACD (Cùng chắn cung AD) ·Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD) ·Do MC là đường kính;EỴ(O)ÞGóc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM nội tiếpÞGóc MEA=ABD. ÞGóc MEA=MEDÞđpcm 3.C/m góc ASM=ACD. Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD. Vậy Góc A SM=ACD. 4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy. Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng. ·Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) và AC cắt BD ở MÞM là trực tâm của tam giác KBCÞKM là đường cao thứ 3 nên KM^BC.Mà ME^BC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng Þđpcm. ÐÏ(&(ÐÏ  Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. C/m AEDB nội tiếp. C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DE^AC. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. Gợi ý: A N E O I Hình 5 B D M C F A’ 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB) 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng. 3/ C/m DE^AC. Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DE^AC. 4/C/m MD=ME=MF. ·Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB ÞMN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DE^AC ÞMN^DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây)ÞMN là đường trung trực của DE ÞME=MD. · Gọi I là trung điểm AC.ÞMI//AB(tính chất đường trung bình) ÞA’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C). Do ADFC nội tiếp ÞGóc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) ÞGóc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vÞMI^DF.Đường kính MI^dây cung DFÞMI là đường trung trực của DFÞMD=MF. Vậy MD=ME=MF. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 6: Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1/C/m MFEC nội tiếp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M DAMP∽DFMQ. 4/C/m góc PQM=90o. Giải: 1/C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM) 2/C/m BM.EF=BA.EM ·C/m:DEFM∽DABM: Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM) A M F P B E C Hình 6 Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM). ÞGóc ABM=FEM.(1) Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).ÞGóc AMB=FME.(2) Từ (1)và(2) suy ra :DEFM∽DABM Þđpcm. 3/C/m DAMP∽DFMQ. Ta có DEFM∽DABM (theo c/m trên)Þ maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ và góc PAM=MFQ (suy ra từ DEFM∽DABM) Vậy: DAMP∽DFMQ. 4/C/m góc:PQM=90o. Do góc AMP=FMQ ÞPMQ=AMF ÞDPQM∽DAFM Þgóc MQP=AFM Mà góc AFM=1vÞMQP=1v(đpcm). ÐÏ(&(ÐÏ Bài 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này. C/m DBFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD. C/m GEFB nội tiếp. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp DBCD.Có nhận xét gì về I và F 1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối -I là trung điểm GC. 2/·C/mDBFC vuông cân: Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông) ÞGóc BCF=45o. Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Þđpcm. ·C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp DBDC.ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D Do DBFC vuông cân nên BC=FC. A B O C F I D Hình 7 G E Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung; Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).ÞDBFE=DE FD ÞBF=FDÞBF=FC=FD.Þđpcm. 3/C/m GE FB nội tiếp: Do DBFC vuông cân ở F ÞCung BF=FC=90o. Þsđgóc GBF=Sđ cung BF=.90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF) Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)ÞGóc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2vÞGóc GBF+FEG=2v ÞGEFB nội tiếp. 4/ C/m· C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ÞGóc BFG=BEG mà BEG=1vÞBFG=1v.Do DBFG vuông cân ở FÞGóc BFC=1v.ÞGóc BFG+CFB=2vÞG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm trên :Do GBC=GDC=1vÞtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FÞG nằn trên đường tròn ngoại tiếp DBCD. ·Dễ dàng c/m được Iº F. Bài 8: Cho DABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). C/m BDCO nội tiếp. C/m: DC2=DE.DF. C/m:DOIC nội tiếp. Chứng tỏ I là trung điểm FE. 1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m:DC2=DE.DF. Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung. SđgócECD=sđ cung EC(Góc giữa tiếp tuyến và một dây) Sđ góc E FC=sđ cung EC(Góc nội tiếp)Þgóc ECD=DFC. ÞDDCE ∽DDFCÞđpcm. 3/C/m DOIC nội tiếp: A F O I B C E D Hình 8 Ta có: sđgóc BAC=sđcung BC(Góc nội tiếp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungÞDBOD=DCODÞGóc BOD=COD Þ2sđ gócDOC=sđ cung BC Þsđgóc DOC=sđcungBC (2) Từ (1)và (2)ÞGóc DOC=BAC. Do DF//ABÞgóc BAC=DIC(Đồng vị) ÞGóc DOC=DICÞ Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhauÞđpcm 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: Do DOIC nội tiếp Þ góc OID=OCD(cùng chắn cung OD) Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)ÞGóc OID=1v hay OI^ID ÞOI^FE.Bán kính OI vuông góc với dây cung EFÞI là trung điểmEF. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 9: Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M¹A và M¹B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. C/m:NQ.NA=NH.NM C/m Mn là phân giác của góc BMQ. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất. Giải:Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a. Hình 9b Hình 9a M P A I H B Q O N 1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu một góc vuông. -Tổng hai góc đối. 2/C/m: NQ.NA=NH.NM. Xét hai Dvuông NQM và DNAH đồng dạng. 3/C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai cách: Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH) Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)Þđpcm 4/ xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất. Ta có 2SDMAN=MQ.AN 2SDMBN=MP.BN. 2SDMAN + 2SDMBN = MQ.AN+MP.BN Ta lại có: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2.=AB.MN Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất ÛMN lớn nhấtÛMN là đường kính ÛM là điểm chính giữa cung AB. Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F .Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3/ Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải: 1/C/m DABC vuông: Do BE và AE là hai tiếp tuyến cắt nhau nênAE=BE; Tương tự AE=ECÞAE=EB=EC=BC.ÞDABC vuông ở A. 2/C/m A;E;N;F cùng nằm trên -Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì EO là phân giác của tam giác cân B E C N F O A I Hình 10 AEBÞEO là đường trung trực của AB hay OE^AB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2vÞtổng hai góc đốiÞ4 điểm 3/C/m BC2=4Rr. Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)ÞFANE là hình vuôngÞDOEI vuông ở E và EA^OI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu) Mà AH=và OA=R;AI=rÞRrÞBC2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông ÞSBCIO= ÞS= ÐÏ(&(ÐÏ Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. C/m OMHI nội tiếp. Tính góc OMI. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. Giải: 1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối. 2/Tính góc OMI Do OB^AI;AH^AB(gt) và OBÇAH=M Nên M là trực tâm của tam giác ABI ÞIM là đường cao thứ 3 ÞIM^AB Þgóc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vuông góc) A Mà D vuông OAB có OA=OB ÞDOAB vuông cân ở O Þgóc OBA=45oÞgóc OMI=45o 3/C/m OK=KH Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngoài DOHB) Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) ÞGóc HOB=HAB (Cùng chắn cung HB) và OBH=OAH(Cùng chắn O M B H K I Hình 11 Cùng chắn cung OH)ÞOHK=HAB+HAO=OAB=45o. ÞDOKH vuông cân ở KÞOH=KH 4/Tập hợp các điểm K Do OK^KBÞ OKB=1v;OB không đổi khi M di động ÞK nằm trên đường tròn đường kính OB. Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là đường tròn đường kính OB. ÐÏ(&(ÐÏBài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E. C/m AM là phân giác của góc CMD. C/m EFBM nội tiếp. Chứng tỏ:AC2=AE.AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp DCIM Giải: 1/C/m AM là phân giác của góc CMD Do AB^CD ÞAB là phân giác của tam giác cân COD.Þ COA=AOD. Các góc ở tâm AOC và AOD bằng nhau nên các cung bị chắn bằng nhau Þcung AC=ADÞcác góc nội tiếp chắn các cung này bằng nhau.Vậy CMA=AMD. 2/C/m EFBM nội tiếp. Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EFB=1v(Do AB^EF) C N M A F O B I D ÞAMB+EFB=2vÞđpcm. 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai DACE∽DAMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắn cung AD và AMD=CMA cmt ÞACE=AMC) 4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ÞCBA=AMD(Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau) hay NMI=NBIÞM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc bằng nhauÞMNIB nội tiếpÞNMB+NIM=2v. mà NMB=1v(cmt)ÞNIB=1v hay NI^AB.Mà CD^AB(gt) ÞNI//CD. 5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp DICM. Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của DCIM. Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI Do MNIB nội tiếp(cmt) ÞNIM=NBM(cùng chắn cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM) Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ÞACNI nội tiếpÞCAN=CIN(cùng chắn cung CN)ÞCIN=NIMÞIN là phân giác CIM Vậy N là tâm đường tròn Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE.Gọi H là trung điểm DE. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn. C/m HA là phân giác của góc BHC. Gọi I là giao điểm của BC và DE.C/m AB2=AI.AH. BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK. Hình 13 B E H I D O A K C 1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EBÞOH^ED(đường kính đi qua trung điểm của dây )ÞAHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) ÞA;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA. 2/C/m HA là phân giác của góc BHC. Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau ÞBAO=OAC và AB=AC Þcung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) và COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC ÞCOA=BOHÞ CHA=AHBÞđpcm. 3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ÞDABH∽DAIBÞđpcm. 4/C/m AE//CK. Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) và sđ BKC=Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ BCA=sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây) ÞBHA=BKCÞCK//AB ÐÏ(&(ÐÏ Bài 14: Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N. Cmr:MCDN nội tiếp. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? 1/ C/m MCDN nội tiếp: DAOC cân ở OÞOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)Þgóc ACD=ANM. Mà góc ACD+DCM=2v ÞDCM+DNM=2vÞ DCMB nội tiếp. 2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m DACD∽DANM. 3/C/m AOIH là hình bình hành. Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNÞI là giao điểm dường trung trực của CD và M C A O B K D H I N Hình 14 MNÞIH^MN là IO^CD.Do AB^MN;IH^MNÞAO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.Hai đường này cách nhau ở I. ·Do H là trung điểm MNÞAhlà trung tuyến của Dvuông AMNÞANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)ÞDAH=ACD. Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vÞDAK+ADK=1v hay DAKD vuông ở KÞAH^CD mà OI^CDÞOI//AH vậy AHIO là hình bình hành. 4/Quỹ tích điểm I: Do AOIH là hình bình hành ÞIH=AO=R không đổiÞCD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R ÐÏ(&(ÐÏ Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). C/m AHED nội tiếp Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m HA.DP=PA.DE C/m:QM=AB C/m DE.DG=DF.DH C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) 1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD) 2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP và EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB: Do DHPA∽DEDPÞHAB=HDM Mà sđHAB=sđ cung AB; SđHDM=sđ cung QMÞ cung AM=QMÞAB=QM A H Q P O G B F C E M D Hình 15 4/C/m: DE.DG=DF.DH . Xét hai tam giác DEH và DFG có: Do EHAD nội tiếp ÞHAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1) Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2) Vì F=G=90oÞDFGC nội tiếpÞFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3) FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4) Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)ÞEDH=FDG(6). Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)ÞEHD=FGD(7) Từ (6)và (7)ÞDEDH∽DFDGÞÞđpcm. 5/C/m: E;F;G thẳng hàng: Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt) Do ABCD nội tiếpÞBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpÞEDG+EAG=2v. ÞEDG=BDC mà EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGÞEDB=CDG ÞGFC=BEFÞE;F;G thẳng hàng. ÐÏ(&(ÐÏBài 16: Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK^BC(K nằm trên BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. C/m góc BMC=2ACB Chứng tỏ BC2=2AC.KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC nội tiếp. 1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m) 2/C/m BMC=2ACB do AB^MK và MA=AK(gt)ÞDBMK cân ở BÞBMA=AKB Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngoài tam giac KBC). Do I là trung điểm BC và KI^BC(gt) ÞDKBC cân ở K N M A K B I C Hình 16 ÞKBC=KCB Vậy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xét 2 D vuông ACB và ICK có C chungÞDACB∽DICK ÞÞIC=ÞÞđpcm 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài DIAC) và DIAC Cân ở IÞIAC=ICA ÞAIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp) ÞAIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do DMNA cân ở M(gt)ÞMAN=MNAÞBMK=2MNA(3) Từ (1);(2);(3)ÞIAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)Þ 5/C/m NMIC nội tiếp: do MNA=ACI hay MNI=MCIÞ hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu) ÐÏ(&(ÐÏ Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB. C/m:MOBK nội tiếp. Tứ giác CKMH là hình vuông. C/m H;O;K thẳng hàng. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? 1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM là tia phân giác của góc BCAÞACM=MCB=45o. ÞcungAM=MB=90o. Þdây AM=MB có O là trung điểm AB ÞOM^AB hay gócBOM=BKM=1v ÞBOMK nội tiếp. C H A O B I P Q K M Hình 17 2/C/m CHMK là hình vuông: Do D vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên DCHM vuông cân ở H ÞHC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v ÞCHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau ÞCHMK là hình vuông. 3/C/m H,O,K thẳng hàng: Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngÞHK^MC tại trung điểm I của MC.Do I là trung điểm MCÞOI^MC(đường kính đi qua trung điểm một dây) Vậy HI^MC;OI^MC và KI^MCÞH;O;I thẳng hàng. 4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhÞI nằm trên đường tròn đường kính OM. -Giới hạn:Khi CºB thì IºQ;Khi CºA thì IºP.Vậy khi C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của góc ACD,từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1/Chứng minhAHDC nt trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC. Và AB.AC=BH.BI 3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J.Chứng minh HOKD nt. x A B M H I O J N K D C ·Xét hai DHCADABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắn cung AH) Þ DHCA∽DABI Þ mà HB=HCÞđpcm 3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx. ·DoAH=HD;AO=HO=DOÞDAHO=DHODÞAOH=HOD màDAOD cân ở OÞOH^AD và OH^Hx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1) ·Do cung AH=HD ÞABH=ACH=HBDÞHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 điểm B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau ÞMNCB nội tiếpÞNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC) ÞNMC=DAC ÞMN//DA(2).Từ (1)và (2)ÞMN//Hx. 4/C/m HOKD nội tiếp: Do DJ//BHÞHBD=BDJ (so le)Þcung BJ=HD=AH= mà cung AD=BCÞcung BJ=JCÞH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính ÞHDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắn 2 cung bằng nhau)ÞOJK=OCKÞCJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng nhauÞOKCJ nội tiếp ÞKOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)ÞKOC=DACÞOK//AD mà AD^HJÞOK^HOÞHDKC nội tiếp. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC^AB.Gọi M là 1 điểm trên cung BC.Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. Chứng minh AOHC nội tiếp. Chứng tỏ DCHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM. Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình thang cân. BM cắt OH tại N.Chứng minh DBNI và DAMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN.MC=IN.MA