Một trăm bài toán Hình học ôn tập tốt nghiệp THCS

MỘT TRĂM BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN TẬP TỐT NGHIỆP THCS Bài 1 : Đường tròn (O,R) có AB là đường kính dây MN = R( Mvà N thuộc nửa đường tròn theo thứ tư A, M ,N ,B).Gọi S là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của BM và AN a)Tính số đo cung MN. b)Tính số đo các góc ASB , MHN. c)Chứng minh SMHN nội tiếp . d) Chứng minh: SH AB⊥ . e) Gọi I là trung điểm SH. Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2 Cho hình vẽ : Biết ABC∆ nội tiếp (O) có AK , CE , BF là ba đường cao , AD là đường kính của (O) , AK cắt (O) tại M (khác A ). xy là tiếp tuyến tại A của (O) a) Tìm và chứng minh ba tứ giác có đỉnh là H nội tiếp đướng tròn . b)Tìm và chứng minh ba tứ giác có cạnh lần lượt là ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đướng tròn . c) Chứng minh : BH = BM ; HE = NE d) Chứng minh : EF//NP// xy . Bài 3 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) có AK , BF , CE là ba đường cao cắt nhau tai ïH .Gọi I là trung điểm BC A Chứng minh a) Nếu M và H đối xứng nhau qua K thì M ∈ (O) . b) Nếu D và H đối xứng mhau qua I thì D )(O∈ . c) OA EF⊥ (ba cách) và H là tâm đường tròn nội tiếp EKF∆ . d) Tính R( )BHC∆ theo R. Bài 4 : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội tiếp (O;R ) AD , BE là hai đường cao cắt nhau tại H . AK là đường kính , AD cắt đường tròn tại I , Gọi F là giao điểm CH và AB. Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N I a)Chứng minh BI KC là hình thang cân. b)Chứng minh BHCK là hình bình hành . c)Chứng minh AE.AC = AF .AB d) Chứng minh BHCD là hình bình hành . e) Chứng minh BMDC là hình thang cân . Bài 5 : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC ) AH ; AK lần lượt là đường cao và phân giác của tam giác ABC , AI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K ( K khác A ) a) Chứng minh : BK = CK . b) Chứng minh AK là phân giác của ÔH c) Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) .Chứng minh : AB.AC = AH.AD . d) Chứng minh : IA.I K = IB.IC . và AB.KC = AK.BI . e) Chứng minh KB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Bài 6: Cho đường tròn (O; R) , Với các kí hiệu có trên hình hãy chứng minh: a)Tứ giác CAIM , BDMI nội tiếp . b)Tam giác CID vuông . c)EF // AB . d)Khi M cố đinh I thay đổi trên AO , tìm vị trí của I để AC .BD lớn nhất . e) Cho biết khi OI = 3 R và AM = R .Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam CD. CB = CE .CA AH.AD = AF.AB d)Chứng minh AM = AN e) Chứng minh OA ⊥ EF f) Cho biết : AC = R 3 . Tính F Ê D và độ dài các đoạn thẳng DF , BH theo R . g)Tính DA2 +DB2 + DC2 + DI 2 theo R . Bài 7 : Cho hình vẽ : Biết hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngồi tại A .CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( C ∈ (O) , D )'(O∈ a)Chứng minh ∆CAD vuông b)Gọi M là trung điểm của CD .Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) , từ đó suy ra OM ⊥O’M c) Các đường thẳng CA và DA lần lượt cắt (O) và (O’) ở F và E .Chứng minh C, O , E thẳng hàng và D , O , F thẳng hàng . d) Tính CD2 + EF2 theo R và R’. e) Chứng minh : S =∆CAD S EAF∆ Bài 8 : Cho hình vẽ , với các kí hiệu có trên hình chứng minh : a) CD = AC + BD và C ƠD = 900 giác CID theo R . Bài 9 : Cho đường tròn (O ;R ) và điểm M sao cho OM = 2R . Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) ( A , B thuộc (O) ). C là điểm bất kì thuộc cung nhỏ AB .Tiếp tuyến tại C cắt MA và MB lần lượt tại E và F . a)Chứng minh : EF = EA + FB . b) Tính chu vi của tam giác MEF theo R . c) Tính E Ơ F . c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của OE và OF với AB .Chứng minh bốn điểm F , I , O ,B cùng thuộc một đường tròn . d) Khi Sđ cung BC bằng 900 ,Tính độ dài EF và diện tích tam giác OIK theo R. Bài 10 : Cho đường tròn (O ; R ) có AB là đường kính Trên hai nửa khác nhau của đường tròn ta lấy hai điểm M và N sao cho AM = R 3 ; AN = R 2 .Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở C và D . Chứng minh a) AM.AC = AN.AD . b)Tứ giác MNDC nội tiếp . c) Gọi MK , NI , AJ là ba đường cao của tam giác AMN .Tính số đo góc và độ dài các cạnh của tam giác KIJ. b) DE DM CE CM = c) CN = CA d) Gọi I là giao điểm của BC và AD , F là giao điểm của MI và AB . Chứng minh MI // AC và I là trung điểm của MF. e) Chứng minh : AB tiếp xúc đường tròn đường kính CD. Bài 11 : Cho đường tròn (O);R) và điểm M nằm ngoài đường tròn .Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A và B thuộc (O) )và cát tuyến MCD (MC < MD) .Gọi I là trung điểm của CD .Đường thẳng OI cắt đường thẳng AB tại K .Chứng minh a) Các tứ giác MAOB , MHIK nội tiếp đường tròn . b) OI .OK = R2 c) MH . MO = MC.MD d) CĤD = 2CÂD e) AD AC BD BC = f)Cho biết OM = 3R , CD = 3R ,Tính diện tích tam giác MKC và MK theo R Bài 12 : Cho đường tròn (O,R ) và điểm M sao cho OM = 3R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B thuộc (O) ) Từ A vẽ dây cung AD song song MB.Đường thẳng MD cắt đường tròn tại điểm thứ Bài 13 :Cho đường trịn tâm (O;R) cĩ AB và CD là hai đường kính vuơng gĩc nhau .I là một điểm nằm trên OB sao cho OI = OB 3 1 . Đường thẳng CI cắt đường trịn tại E và cắt BD tại K. Đường thẳng AE cắt CD tại F .Chứng minh: a)Tứ giác OIED nội tiếp và tính CI.CE theo R . c)Chứng minh I là trọng tâm của tam giác CBD từ đó tính KE.KC theo R . d)Chứng minh F là trung điểm của OD. e)Tính diện tích của tam giác ACE theo R. f)Trong trường hợp I thay đổi trên OB chứng minh diện tích tứ giác CAFI không đổi. Bài 14 : Với hinh vẽ trên cho biết : MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) , CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ; CD ⊥ MB a) Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ. b) Chứng minh CK .CD = CI2.. c) Gọi H là giao điểm của AC và KI , E là giao điểm BC và ID .Chứng minh tứ giác CHIE nội tiếp . hai là C khác D .Đường thẳng BC cắt MA tại F ,đường thẳng AC cắt MB tại E 1)Chứng minh : a) Tứ giác MAOB nội tiếp . b) EB 2 = EC.EA c) E là trung điểm của MB . d) BC. MB = MC .AB e) CF là tia phân giác MĈA. 2)Tính diện tích ∆BAD theo R . 3)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và MB. Bài 15 : Với hình vẽ trên cho biết : MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) , CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ; CF ⊥ MB a)Tìm và chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ. b)Chứng minh CE .CF = CD2 c)Gọi H là giao điểm của AC và DE , K là giao điểm BC và FD .Chứng minh tứ giác CHDK nội tiếp . d)Chứng minh KH // AB Bài 16 : d) Chứng minh EH // AB. e) Chứng minh : CD CK DI KI = 2 2 . Bài 17 :Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB .Từ A ,B vẽ hai tiếp tuyến Ax và By .Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này ,kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax ,By tại E và F a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp . b) AM cắt OE tại P ,BM cắt OF tại Q.Tứ giác MPOQ là hình gì ? c)Chứng minh: OP.OE = OQ.OF và AE.BF = R2 d) Kẻ MH vuông góc AB ,Klà giao điểm MH và EB .So sánh MK và HK. e) Cho AB= 2R và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF .Chứng minh : 2 1 3 1 << R r Bài 18 :Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB,kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ,C là điểm trên nừa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB .Trên cung CB lấy điểm D tùy ý ( D khác C và B ) .Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt tại E và F . Chứng minh: a)Tam giác ABE vuông cân . b)Tứ giác CEFD nội tiếp . c)Khi C di động trên nửa đường tròn ,D di động trên cung CB thì AC.AE= ADAF và có Cho đường tròn (O,R ) và điểm M sao cho OM = 3R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B thuộc (O) ) .Gọi E là trung điểm của MB ,đường thẳng EA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C khác A .Đường thẳng MC cắt đường tròn tại D khác C ,đường thẳng BC cắt MA tại F 1)Chứng minh : a)Tứ giác MAOB nội tiếp . b)EB 2 = EC.EA c)AD // MB . d)BC. MB = MC .AB e)Tam giác DBA cân. 2)Tính diện tích ∆BAD theo R . 3) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD. Bài 19 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B .Tiếp tuyến tại A của (O’) cắt (O) tại C, tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O’) tại D.Gọi K là điểm đối xứng của A qua B Chứng minh : a)BƠO’ = BÊA b)AB2 = BC.BD và BK là phân giác góc CBD. c) ME2 = MA.MB và M là trung điểm của EF. d)Tứ giác ACKD nội tiếp và 'R R AD AC = Bài 20 :Cho hai đường tròn (O,R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC của (O) cắt (O’) tại E , đường kính AD của (O’) cắt (O) tại F. Gọi M là giao điểm của CF và DE . Chứng minh : giá trị không đổi . d) Khi Sđ cung CD bằng 600 và K thuộc tia DA sao cho DK = DB .Tính diện tích ∆AKB và chu vi của tứ giác CDFE theo R. Bài 21 : Cho đường tròn (O) và một dây cung AB .Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoài đường tròn .Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB ke ûđường kính PQ cắt dây AB tại D .Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I .Các dây AB và QI cắt nhau tại K .Chứng minh a)Tứ giác PDKI nội tiếp . b)CI.CP = CK.CD c)IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB. d) Khi A , B ,C cố định đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A ,B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định . Bài 22:Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C và D .Một điểm M di động trên d sao cho MC < MD và ớ ngoài đường tròn (O) .Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB .Gọi H là trung điểm của CD và giao của OM , d , OH với AB lần lượt là I , E và F . Chứng minh : a) Các tứ giác MIHF ; OHEI nội tiếp . a) C , B , D thẳng hàng và CD = 2 OO’ b)Các tứ giác AEMF ; CFED, OO’EF nội tiếp . c) M , A , B thẳng hàng và A là tâm đường tròn nội tiếp ∆EBF. d) CA.CE + DA.DF = CD2 e) Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFED đồng quy tại một điểm trên MB.â Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ,R ) có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau tại điểm I khác O .Kẻ đường kính CE của (O) .Chứng minh a) IA.IC = IB.ID b) Đường thẳng qua I vuông góc AB thì đi qua trung điểm của CD. c) Đường thẳng qua I và trung điểm của BC thì vuông góc AD. d) AB2 +CD2 = 4R2 và AB2+ BC2 + CD2 + AD2 = 8R2 Bài 24: b) MA2 = MCMD và MC.MD = MI.MO c) FI . EI = 4 2 AB và OH .OF = OI.OM d)Đường thẳng AB đi qua điểm cố định . Bài 25 : Cho đường tròn (O ,R ) có AB là đường kính ,C và D là hai điểm nằm trên hai nửa đường tròn khác nhau sao cho AC = R và OD ⊥AB .Tính a)Số đo các góc của tam giác ACE và tam giác ACD b)Độ dài các cạnh của tứ giác ACDB theo R c) Độ dài các đoạn thẳng AE ,CE , BE , CD theo R . d) Diện tích tam các tam giác ACE và CDB. Bài 26 : Cho đường tròn (O,R ) có OM là bán kính . BC là dây cung trung trực của OM .A là một điểm bất kỳ trên cung lớn BC .Gọi AD , BE , CF là ba đường cao cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác BOCM là hình thoi . b) Tính số đo các góc BAC và BHC . c)Chứng minh tam giác MOH cân . d)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHO 24.1 Cho tam giác ABC có B = 600 , BA = 6cm BC = 8cm .AD , BE , CF là ba đường cao cắt nhau tại H a)Tính độ dài các đoạn thẳng AD , AC , BE , CF. b) Tính diện tích;ø bán kính đường tròn nội tiếp , bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 24.2 Tam giác ABC có BC =6cm B= 600 , Ĉ= 450 a) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC. b) Tính AB , AC , diện tích tam giác ABC , bán kính đướng tròn ngoại tiếp ,bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. 24.3 Tam giác ABC có AB = 6cm, AC=8cm BC = 12cm . AK là đường cao . a) Tinh BK , CK, AK b)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ,đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Bài 27 :Cho đường tròn (O,R ) và điểm M sao cho OM = 2R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với (O) ( A , B thuộc (O) ) . Đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D ( MC < MD ) . e) Gọi K là trung điểm HC .Chứng minh tứ giác EFDK nội tiếp . f)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD Bài 29 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) .Các đường phân giác của tam giác kẻ từ các đỉnh A , B , C đồng quy tại S và lần lượt cắt đường tròn tại Q , P , R . a)Chứng minh Q cách đều các đỉnh của tam giác BSC. b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của RP với AB và AC .Chứng minh AQ vuông góc RP; Điểm S gọi là gì trong tam giác QRP? c)Gọi I là giao điểm của RQ và AB , J là giao điểm của PQ và AC Chứng minh tứ giác ARIS nội tiếp . d) Chứng minh ba điểm I , S , J thẳng hàng . Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) AD , AM lần lượt là đường cao và trung tuyến của tam giác ABC , d là trung trực của đoạn BC. Chứng minh a) Nếu H là giao điểm củaAD với đường thẳng nối O và trọng tâm G của tam giác a) Chứng minh CA = CB . a) Chứng minh C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB c) Tứ giác ACBO và MADBlà hình gì?Tính diện tích các tứ giác trên theo R. d) Gọi N là trung điểm AD ,đường thẳng MN cắt AC tại E .Chứng minh E là trung điểm MN e) Tính độ dài MN và diện tích các tam giác MND, MED theo R f) Hãy giải lại câu e khi N là giao điểm của tia phân giác góc AMD với AD. Bài 28 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) M là một điểm trên cung nhỏ BC. Chứng minh: a)Nếu MH AB⊥ , MI ⊥BC và K là giao điểm của HI và AC thì MK ⊥AC. b) Nếu MH AB⊥ , MK ⊥AC và I là giao điểm của HK và BC thì MI ⊥BC. c)Nếu MH ⊥AB , MI ⊥BC và MK ⊥AC. thì ba điểm H , I , K thẳng hàng (Đường thẳng IHK nói trên gọi là đường thẳng SimSon*). * Robert Simson(1687-1768) nhà toán học Scotland c) Nếu O là giao điểm của d với đường thẳng nối ABC thì H là trực tâm của tam giác ABC. bNếu G là giao điểm của AM với đường thẳng nối O và trực tâm H của tam giác ABC thì G là trọng tâm của tam giác ABC Bài 33 :Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB không qua tâm .Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại C .Gọi P là điểm trên dây AB sao cho AP = 2 BP.Đường thẳng vuông góc với OP kẻ từ P cắt đường thẳng CA ở E và cắt đường thẳng CB ở D . 1)Chưng minh: a) Các tứ giác OPDB , OPAE nội tiếp . b) P là trung điểm của đoạn thẳng DE . c) CE.CD = CA2 - AE2 2) Cho biết AB = R 3 .Tính diện tích tam giác EOC theo R . Bài 34 : Cho đường tròn ( O,R ) ,đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B .Từ một điểm C trên d ( C nằm ngoài đường tròn ) ,kẻ hai tiếp tuyến CM và CN ( M và N thuộc (O) ) .GoÏi H là trung điểm AB ,đường thẳng OH cắt tia CN tại K.Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I . Chứng minh: trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC thì O là tâm của (ABC). d) Với H , G lần lượt là trực tâm ,trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O , H , G thẳng hàng. Bài 31: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (Tâm đường tròn này nằm ngoài đường tròn kia).Qua A vẽ một cát tuyến thay đổi MN ( M )'(),( ONO ∈∈ ). Hai tiếp tuyến tại M và N của hai đường tròn cắt nhau tại K..Hai tiếp tuyến tại A của (O) và (O’)lần lượt cắt (O’) và (O) tại D và C. Chứng minh: a) ∆BMN và ∆AOO’ đồng dạng . b)Số đo các góc MBN, ABC, AND không thay đổi. c) Tứ giác KMBN nội tiếp và số đo góc MKN không đổi . d) Tìm vị trí của cát tuyến MN để MN lớn nhất Bài 32 :Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O,R) và Â= 450ù BM và CN là hai đường cao cắt nhau tại H .Chứng minh : a)BM = CN , MN // BC , AH = BC b) Năm điểm B,C , N , O , M cùng thuộc một đường tròn . c) MN. 2 = BC 1) C,O,H ,N cùng thuộc một đường tròn. 2) KN.KC= KH.KO 3) I cách đều CM , CN , MN 4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM và CN tại E và F .Xác định vị trí C trên d để diện tích tam giác CEF nhỏ nhất . Bài 37: Cho đường tròn (O,R) , Mlà một điểm sao cho OM = 2R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B thuộc (O) ) . Đường thẳng MO cắt đường tròn tại E và F ( ME < MF ) . 1) Chứng minh : a)MO là trung trực của đoạn thẳng AB và E cách đều ba cạnh của tam giác MAB. b)Tam giác MAB đều .Tính diện tích ∆MAB. c)MA = AF và tứ giác MAFB là hình thoi . 2) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O .Đường thẳng MC cắt AB tại S . Chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp ∆MBS gấp ba lần diện tích hình tròn ngoại tiếp ∆ASC . Bài 38.1: Cho đường tròn (O,R) , Mlà một điểm sao cho OM = 3R .Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B thuộc (O) ) . Tia d) Các tứ giác BMON , MONH , BHCD là hình gì? e)Tính độ dài các đoạn thẳng BD , AB theo R. Bài 35: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn .Từ A vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD (nằm giũa A và D ) 1) Chứng minh AB2 = AC.AD. 2) Gọi H là trung điểm CD . Chứng minh tứ giác ABOE có bốn điểm cùng thuộc một đường tròn . 3) Vẽ tia Bx // CD cắt (O) tại I , IE cắt (O) tại K .Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O) . 4) Đường thẳng BH cắt (O) tại F .Chứng minh KF // CD. 5) Tím vị trí của cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn nhất . Bài 36.1 : Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a .Gọi E là trung điểm CD ,đường thẳng AE cắt BC tại F .Tia vuông góc với AE tại A cắt CD tại K. 1)Chứng minh tứ giác KACF nội tiếp đường tròn .Xác định tâm I. 2) Chứng minh tam giác KAF vuông cân và ba điểm B,D I thẳng hàng . 3) BI cắt AE tại J .Chứng minh tứ giác IJCF nội tiếp . đối của tia MO cắt đường tròn tại C . Gọi D là trung điểm MA ,đường thẳng MO lần lượt cắt AB và BD tại I và G .Tính 1) Độ dài các cạnh của tam giác MAB 2) Độ dài cạnh C A . 3) Độ dài đoạn thẳng CD và diện tích các tam giác MDC , DGC , DBC 4) Tỉ số diện tích hai tam giác DAK và BCK (Với K là giao điểm CD và AB ) Bài 38.2 : Xác định các góc B và C của tam giác vuông ở A biết BC= 2 và diện tích tam giác ABC là 2 3 Bài 41: Cho hai đường tròn tâm O ,hai đường kính AB và CD vuông góc nhau , gọi I là trung điểm của OA .Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA ( ), cungADQcungACM ∈∈ .Đường thẳng vuông góc MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P. 1) Chứng minh rằng : a)Tứ giác PMIO là hình thang vuông . b) Các điểm P, O ,Q thẳng hàng . 2) Gọi S là fgiao điểm của AP và CQ .Tính số đo góc CSP. 3) Gọi H là giao điểm của AP và MQ .Chứng minh rằng : a) MH.MQ = MP2 4) Tính diện tích tam giác BJC theo a . 5) Tính chu vi tứ giác IDEF theo a Bài 36.2 : Cho hình vẽ : a) Chứng minh ABOC là hình vuông b) Tính độ dài các đoạn thẳng BD , BE BF theo bán kính R của đường tròn (O) Bài 39 :Cho đường tròn ( O ) và một dây cung AB không đi qua tâm .Vẽ đường kính CD tại K (D ∈cung nhỏ AB ).Trên cung nhỏ BC lấy điểm N ( N khác B và C ) .DN và KB cắt nhau tại F , CN và AB kéo dài cắt nhau tại E . a) Chứng minh tứ giác KFNC nội tiếp một đường tròn . b) Chứngminh DF.DN = DK.DC . c) Tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) cắt đường thẳng AB tại I .Chứng minh IE = IF . d) Chứng minh KA KE FB EB = Bài 40.1 : Cho đường tròn (O, 5cm ) có AB là đường kính (d) là tiếp tuyến tại A .Gọi M là điểm trên (O) và P ,Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB và (d) , I là trung điểm của PQ. b) MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác QHP. Bài 42: Cho đường trịn (O ; R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C. Chứng minh : a) Tứ giác MNCB là hình thang cân. b) MA . MB = R 2 . c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC 2 /4 . d) Cho biết : OA = 2R , Tính SMBCN theo R. Bài 45 : Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường trịn (O) và (O’) về phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, cĩ tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường trịn (O), (O’) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. 1) Chứng minh IA vuơng gĩc với CD. 2) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. 3) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. 1)Chứng minh tam giác AIO vuông . 2)Tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng (d) ở T .Chứng minh MA là phân giác của hai góc QMO và TMP . 3) Chứng minh các cặp tam giác AIQ , ATM và AIP , AOM đồng dạng . 4 ) Tính độ dài các đoạn AQ , AI , AP biết AT = 10 cm Bài 40.2 : Xác định các góc B và C của tam giác vuông ở A biết BC= 2 và đường cao AH = 2 2 Bài 43 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuơng gĩc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường trịn trên tại I., K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường trịn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường trịn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường trịn. 2) Chứng minh ∆MNK cân. 3) Tính diện tích ∆ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường trịn ngoại tiếp ∆AKD nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 44 :Cho đường trịn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuơng gĩc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C khơng Bài 46 : Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường trịn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. a) Chứng minh ∠ BMD = ∠ BAC, từ đĩ suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. Bài 49 ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Đà Nẵng) Cho hình vuông ABCD ,gọi E là trung điểm của AD .Nối B với E .Đường thẳng qua E vuông góc với EB cắt CD tại F . Chứng minh : a) Tứ giác CBEF nội tiếp được trong một đường tròn .Xác định tâm I của đường tròn đó . b) ED là tiếp tuyến của đường tròn tâm I c) BE = 2 EF . d) FE là phân giác của góc DFB . Bài 50 : ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Hà trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường trịn. b) Chứng minh ∆AME đồng dạng với ∆ACM và AM 2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 47: Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường trịn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường trịn. Bài 48. 1 : Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ M là trung điểm của BC. Cĩ hai đường thẳng lưu động và vuơng gĩc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định cá