Một vài phương pháp tính tổng các số tạo thành dãy số có quy luật

Kinh nghiệm dạy học trong dạy và học toán THCS Một vài phương pháp tính tổng các số tạo thành dãy số có quy luật A/ đặt vấn đề Trong nhà trường THCS , tất cả các em học sinh đều được rèn kỹ năng tính giá trị biểu thức, thường xuyên bồi dưỡng kỹ năng tính nhanh , tính hợp lý. Tuy nhiên khi gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số lập thành dãy số có quy luật , thì hầu hết các em , kể cả học sinh giỏi , có năng khiếu về môn toán cũng thường tỏ ra rất lúng túng , rất bối rối , bởi lẽ các em chưa có phương pháp giải loại toán này . điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình THCS rất ít tài liệu đề cập đến vấn đề này , các em học sinh chưa có ý thức tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải . Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi môn toán , tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải .Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi môn , đặc biệt là môn toán 6 , các em học sinh thường để mất điểm ở các bài toán loại này . Để bổ xung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi , và nâng cao chất lượng học sinh giỏi ,tôi đã đi sâu và tìm hiểu kỹ một số phương pháp cơ bản để tính các tổng hữu hạn . B/ Giải quyết vấn đề : I > Phương pháp dự đoán và quy nạp : Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + .... an (1) Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được . Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 S2 = 1 + 3 =22 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 ... ... ... Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2) ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học . 1, 1 + 2+3 + .... + n = 2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 3, 13+23 + ..... + n3 = 4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) II > Phương pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 .... .... ..... an = bn – bn+ 1 khi đó ta có ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 Ví dụ 2 : tính tổng : S = Ta có : , , Do đó : S = Dạng tổng quát Sn = ( n > 1 ) = 1- Ví dụ 3 : tính tổng Sn = Ta có Sn = Sn = Sn = Ví dụ 4 : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! ..... ..... ..... n.n! = (n + 1) –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 Ví dụ 5 : tính tổng Sn = Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n Do đó Sn = ( 1- = 1- III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) ta viết lại S như sau : S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 ) S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1 Ví dụ 7 : tính tổng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) Ta viết lại Sn dưới dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 ) Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = 1 +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Sn = Ví dụ 8 : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1 p.Sn=Sn- ( theo VD 7 ) Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - Sn = IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết Các kí hiệu : Các tính chất : 1, 2, Ví dụ 9 : Tính tổng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) Ta có : Sn = Vì : (Theo I ) cho nên : Sn = Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) ta có : Sn = = Theo (I) ta có : Sn = Ví dụ 11 . Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 ta có : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3] = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) Sn = ( theo (I) – 3 ) =( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) Cơ sở lý thuyết : + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1 + Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2 Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) = k (k+1) .3 = 3k(k+1) Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). = * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 = S = Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) = k( k+1) ( k +2 ) .4 Rút ra : k(k+1) (k+2) = áp dụng : 1.2.3 = 2.3.4 = .......................................................... n(n+1) (n+2) = Cộng vế với vế ta được S = * Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 5, S = 6, S = 7, A = 8, M = 9, Sn = 10, Sn = 11, Sn = 12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 50 chữ số 9 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =? Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 c, 1 + Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5 C/ Kết thúc vấn đề: Sau khi lĩnh hội được các phương pháp trên, các em học sinh đã tự tin hơn khi gặp các bài toán tính tổng. Tuy nhiên, do thời gian công tác chưa nhiều, vốn kinh nghiệm còn ít, tôi rất mong được học hỏi thật nhiều, nhất là từ phía các đồng nghiệp đã có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề, bổ sung thêm các phương pháp tính tổng khác, để tôi hoàn thiện hơn về nội dung này . Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thụy Duyên ngày 27 tháng 5 năm 2007 Người viết: Trần Thị Tuyết Xác nhận của nhà trường