Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng

B.S Phạm Công Như - 1 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1- Nguyên hàm a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu " x Ỵ K : F/(x) = f(x). Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì " C Ỵ R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là : F(x) + C. Kí hiệu : ( )ị += CxFdxxf )( b- Bảng các nguyên hàm: ị += Cxdx )1( . 1 1 -¹+ + =ị + a a a a Cxdxx )0( .ln ¹+=ị xCxx dx .Cedxe xxị += ị ¹<+= 1). a(0 .ln Ca adxa x x ị += .Cxsinxdxcos ị +-= .Cxcosxdxsin Ctgx xcos dx 2 +=ị Cgxcot xsin dx 2 +-=ị ị += Cudu )1( . 1 1 -¹+ + =ị + a a a a Cuduu )0( .ln ¹+=ị uCuu du .Cedue uuị += ị ¹<+= 1). a(0 .ln Ca adua u u ị += .Cusinuducos ị +-= Cucosudusin Ctgu ucos du 2 +=ị Cgucot usin du 2 +-=ị 2- Tính chất: ị ị ị+=+ dx)x(gbdx)x(fadx)]x(bg)x(af[ (Với a,b là các hằng số ≠ 0) 3- Công thức nguyên hàm từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ị ị-= dxxuxvxvxudxxvxu // 4- Công thức đổi biến số: ị ị +=Þ+= CxuFdxxuxufCtFdttf )]([)(')]([)()( II. TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 1- Khái niệm: Tích phân từ a đến b của hàm số : f(x) là: )()()()( aFbFxFdxxf b a b a -==ị , trong đó: F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) 2- Công thức đổi biến số:loại 1: ị ị= b a dttutufdxxf b a )(')]([)( , ( a= u(α), b = u(β) ) và loại 2 : ( )[ ] ( )ị ị= b a duufdxxuxuf b a )(/ ( α = u(a), β = u(b) ) 3- Công thức tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ị ị-= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu // 4- Diện tích hình phẳng : B.S Phạm Công Như - 2 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công a- Hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng đứng: x = a, x = b : S = ị b a dxxf )( b- Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b], các đường thẳng x = a, x= b : S = ( )ị - b a dxxgxf )( 5- Thể tích vật thể : a- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng x = a, x = b; khi D quay quanh trục hoành: V = ( )ị b a dxxf 2p b- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: x = g(y) liên tục theo biến y trên đoạn [c;d], trục tung, 2 đường thẳng y = c, y = d; khi D quay xung quanh trục tung: V = ( )ị d c dyyg 2p III. BÀI TẬP 1- Tìm nguyên hàm của các hàm số: xxf x xexd xcxbxa 8 2 5)1 2 1) 3 1 5 2) 9)2)1) 2 3 2 2 32 +-+ -+- 2- Tìm nguyên hàm của các hàm số: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )12)3) 13)32) 33 2 ++- +--+ xxxdxc xxxbxxa 3- Tìm : ( ) ( ) ịị ịị ++ -+- dx x xddx x xc dx x xxbdx x xxa 2 22 4 2 2 232 1)2) 154)3) 4- Tìm: ( )( ) ( ) ( )ịị ịị ú û ù ê ë é +÷ ø ư ç è ỉ -++- +--+ ---- - dxx x xxxddxxxxc dxxxxxbdxxxa 32223 2 1 4 3 3132)42) 12))5() 5- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21,21)04,4) 3 72,2)51,12) 2 // 2// =+-==-= =-==+= f x xxfdfxxxfc fxxfbfxxfa 6- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 31234)10,111) 21,1)80,23) 23// 33/2/ =-+-==+-+= =++==+= fxxxfdfxxxfc fxxxfbfxxfa 7- Tìm hàm số f(x) nếu biết f/(x) = ax + 2x b , f(–1) = 2, f(1) = 4 và f/(1) = 0 8- Tìm hàm số f(x) biết ( ) ( ) ( ) 94,41, 14 15/ === ffxxf 9- Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác sau: B.S Phạm Công Như - 3 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công a) (2tgx + cotgx)2, b) xx 22 cossin 1 c) 3 2 sin 2 x 10- Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng phương pháp đổi biến: a) (5x + 3)5 b) sin4xcosx c) 1+x x e e 11- Tìm nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 268 63 49)25)37) 53)14) -- -+- +- xexdxc xbxa 12- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) x xcxxb x xa 254 3 cos sin)1cos2sin) 56 ) - + 13- Tìm nguyên hàm các hàm số bằng phương pháp đổi biến số ( ) ịị ịị -+ + + ++ dx xx xd x xdxc dxxxbdxxxa 54 42) 93 ) .1.3).12) 242 322 14- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số: dxxed xx dxc e dxebdx x ea x x xtgx ịị ịị + - - + 4 2 2 2) ln ) 1 ) cos ) 15- Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng ( ) t tN 5,01 4000/ + = , và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? 16- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc ( ) ( )2/ / 1 3 sm t tv + = . Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn đến hàng đơn vị) 17- Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h/(t) = 3 8 5 1 +t và lúc đầu không có nước. Tìm mức nước ở bần sau khi bơm được 6 giây ( chính xác đến 0,01cm) 18- Tìm nguyên hàm của các hàm số: 3 sin)ln) ln)) xxdxxc xxbxea x- 19- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ( ) ịị ịị xdxxddxxxc xdxxbdxexa x 3cos)2ln) 2cos3)) 23 22 20- Giả sử sau khi áp dung công thức tính nguyên hàm từng phần ta có : ị f(x)dx = aG(x) – bị f(x)dx . Chứng minh rằng : ( ) ( ) C b xaGdxxf + + =ị 1 21- Sử dụng kết quả bài 20 để tìm: a) ị excosxdx b) ị exsinxdx c) ị ex sin2xdx 22- Tìm nguyên hàm các hàm số: a) x3sinx b) sin(lnx) 23- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: B.S Phạm Công Như - 4 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ịịị ịịị ịịị ịịị ịịị -+- + - - + - - + + - - dx x xo x dxndx xx xm x xdxldx x xkdxj dx xx xxi ee dxh x xdxg x xdxfdx xx e xx dxd dx x xcdxxebdxxxa xx xx x 2 32 22 2 3 2 2 2 22 3 32 cos sin) 1 ) 32 4) sin ) cos sinln)32) cossin sincos)) cos sin) ln)1.1sin) 1 ) 1 ))1) 2 24- Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ịịị ịịị + + dx x xf xx dxexdxxd xdxxc x dxbxdxa cos1 sin1) sincos )cossin) cossin) sin )sin) 2 44 43 3 4 25- Đặt: In = ị xnexdx ( n Ỵ N*) a) Chứng minh rằng : In = xnex – nIn-1 b) Tìm: I1, I2 , I3 26- Đặt In = ị sinnxdx ( n Ỵ N*) a) Chứng minh rằng : 2 1 1cos.sin - - - + - = n n n In n n xxI b) Tìm I3 27- Tính các tích phân sau: ( ) ( )ịị ịị - --- ÷ ø ư ç è ỉ + +÷ ø ư ç è ỉ + 0 2 5 2 4 1 0 2 4 2 2 )43) 1 3)1) dxexddxxc dx x ebdx x xa x x 28- Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ịị ịịị +- - +-- - - 3 1 234 1 2 1 0 3 2 0 2 1 42 )1) 1))3) dx x xxxedxxd dxxxcdxxxxbdxxxa 29- Tính các tích phân : ( ) ( ) ( ) ịị ịịị - - - - - -+ 1 1 21 1 0 1 1 2 1 2 1 0 )1) )4)1) dxeedxed dxeecdx e bdxea xx xx x x 30- Giả sử : a) ( )ị 3 3 0 =dxxf và ( ) 74 0 =ị dzzf . Tính ( )ị 4 3 dttf b) ( )ị 5 1 1 = - dtxtf và ( ) 63 1 =ị- drrf . Tính ( )ị 3 1 duuf B.S Phạm Công Như - 5 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công 31- Giả sử M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( )abMdxxfabm b a -££- ị 32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân: ịịị +=+=+= 1 5,0 2 5,0 0 2 1 0 2 1 ; 1 , 1 x dxK x dxJ x dxI b) Từ công thức I = J + K, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I 33- Tính tích phân: ị e e dxx 1 ln 34- Một vật chuyển động với vận tốc : ( ) ( ) ( )smttv /sin 2 1 p p p += . Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây ( chính xác đến 0,01 m) 35- Một vật chuyển động với vận tốc : ( ) ( )sm t ttv / 3 42,1 2 + + += . Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 4 giây ( chính xác đến 0,01 m) 36- Tính các tích phân sau: ịịị -+- 16 0 2 00 9 )1)cos) xx dxcdxxbdxxa p 37- Tính các tích phân sau: ịị ịịị -+ + + +- ÷ ø ư ç è ỉ + - 12 10 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 5 4 2 2 12) 1 2) 1 2) 21 3)1) dx xx xe x dxxd x xdxcdx x bdx x xa 38- Tính các tích phân: ( ) ( ) ịịịị +++ 3 4 0 12 0 2 2 0 2sin )2cos) 313cos ) sin1 cos) p p p pp p x dxddxxc xtgx dxbdx x xa 39- Tính các tích phân: ( ) ịịị +++ - 2 0 1 1 4 2 1 2 cos1 )23)3) p x dxcdxxbdxxxa 40- a) Cho a > 0 . Chứng minh rằng: ( )kr aax dx -= +ị 1 22 b a , trong đó r và k là các số thực thỏa mãn : a tgk a tgr ab == ; b) Tính : ị + 2 0 cos2 p x dx 41- Chứng minh rằng hàm số : ( ) ị + = x t tdtxf 0 41 x Ỵ R là một hàm số chẵn 42- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–a;a], Chứng minh rằng : B.S Phạm Công Như - 6 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công ( ) ( ) ïỵ ï í ì = ịị - 0 2 0 lẻ hàmlà f khi chẵn hàmlà f khi a a a dxxfdxxf , Áp dụng tính ( )ị - ++ 2 2 21ln dxxx 43- Tính các tích phân sau: ( ) ( ) ịị ịịị +- 1 01 2 1 0 2 0 3 2 0 )ln) 1ln)sin)cos12) dxxeexdxxd dxxxcxdxxbxdxxa x e p p 44- Tính các tích phân sau: ( ) ịịị ịịị + + ++ + --- - p 0 2 2 1 4 21 1 2 9 1 3 2ln 0 2 1 5 cos1 sin)1) 1 12) 1)1)1) x xdxxfdx x xedx xx xd dxxxcdxebdxxxa x 45- Đặt: ị= 2 0 sin p xdxI nn . Chứng minh rằng : 2 1 - - = nn In nI . Từ đó tính I5, 46- Đặt: ị= 2 0 cos p xdxI nn . Chứng minh rằng : 2 1 - - = nn In nI . Từ đó tính I6, I7. 47- a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = sinx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2p b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = 2 – x, y = x2, trục hoành trong miền x ≥ 0 48- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = x3 – 3x2 + 2x, trục hoành trục tung và đường thẳng x = 3 49- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : a) y = x3 , trục hoành và đường thẳng x = 2 b) y = 4 – x2 và trục hoành c) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2 d) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4 e) y = x – x và trục hoành 50- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : a) y = ex + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 b) y = e2x – 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2 c) y = ex – e –x, trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 51- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : a) y = 1 2 +x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 b) y = x-2 3 , trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 52- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : a) y = x x 1+ , trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = –1 B.S Phạm Công Như - 7 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công b) y = 2 11 x - , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 1 c) y = 2 11 x - , đường thẳng y = 2 1 và đường thẳng y = – 2 1 53- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y2 = 4ax (a > 0) và đường thẳng x = a bằng ka2. Tìm k 54- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số: ( )21 2 - = x y , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x= 3 b) Đồ thị hàm số ( )21 2 - = x y , đường thẳng y = 2 và dtang y = 8 55- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : a) y = x2 + 2 , đồ thị hàm số : y = x, và2 đường thẳng x = 0, x = 2 b) y = 2 – x2 , đồ thị hàm số : y = x và 2 đường thẳng x = 0, x = 1 c) y = 2 – x2, đồ thị hàm số : y = x d) y = x , đồ thị hàm số y = 6 – x và trục hoành. 56- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : a) y = x2 + 4 va ø y = 7 – 2x2 b) x – y2 = 0 và: x + 2y2 = 3 c) x = y3 – y2 và x = 2y 57- Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có 2 kích thước là x và 292 x- 58- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x(4–x) và trục hoành b) Đồ thị hàm số y = ex , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 3 c) Đồ thị hàm số: y = x 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1, x = 2 d) Đồ thị hàm số y = x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x= 2 59- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x2 , trục tung và 2 đường thẳng y = 0, y = 4 b) Đồ thị hàm số y = x3 , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 2 c) Đồ thị hàm số: y = lnx , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 0 d) Đồ thị hàm số y = 3 – x2, trục tung và đường thẳng y = 1 60- Tính đạo hàm các hàm số sau: ịị ịị == == 2 01 2 sin 1 2 0 .cos)()sin)() 3)()cos)() xx xx dttxGddttxGc dttxGbtdtxGa 61- Tính các tích phân sau: B.S Phạm Công Như - 8 - Kiên trì là chìa khóa của sự thành công ( ) ( ) ( )ịị ịị - - ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - + 2 2 4 1 8 1 2 3 3 2 3 1 4 1 2 1 0 2 )3cos(3sin15)1) 1)5sin) p p p dxxxddxxxc du u ubdtta 62- Tìm f(4) biết rằng : a) ( ) ( )xxdttfx pcos 2 0 =ị b) ( ) ( ) ị = xf xxdtt 0 2 cos p 63- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) parabol: y2 = 2x , tiếp tuyến của nó tại điểm A(2,2) và trục hoành b) parabol :y = x2 – 4x + 5 và tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm M( 2 5 ;–1) c) đồ thị hàm số : y = 2 12 - +- x xx , tiệm cận xiên của nó và 2 đường thẳng x = 0, x= 1 64- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : a) y = ïx2– 4ï và y = 2 1 x2 + 4 b) x + y4 = 2 , 3 2 yx = vàtrục hoành c) x = y2 , x + 2y2 = 3 và trục hoành 65- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) y = 2x – x2 và y = 0 b) y = lnx, y = 0 , x = 2 c) y = sinxcosx, y = 0, x = 0 x = x p . 66- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) x = 1 2 2 +y y , y = 0, y = 1 b) y = 2x – x2 , y = 0, x = 2 c) Đường tròn tâm I(2,0) , bán kính R = 1 67- Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ sau: x2 + y2 = a2 và: x2 + z2 = a2 68- Cho hàm số: y = x x-1 , 0 < x ≤ 1 a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và đường thẳng x = 2 1 b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành c) Chứng minh rằng : 21 1 y x + = , và từ câu a) suy ra giá trị của ị + 1 0 21 y dy