Ôn tập hàm số lượng giác

Ôn tập hàm số lượng giác VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. y = 3 + 2sinx b. y = c. y = Giải a. Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 13 + 2sinx 5. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1 x = - , k Z. b. Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 1 x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0 x = , k Z. c. Vì -1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = 1 3x = , k Z. x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = -1 3x = -, k Z. x = -, k Z. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải Chia hai vế phương trình (1) cho ta được (2) (vì ) Đặt ; sin Pt (2) trở thành: cos.sinx + sin.cosx = sin(x + ) = (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm a2 + b2 c2 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2 . sinx cosx = sin(x ) 4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d Cách giải Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc) asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d a. + b. + c.= d bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2: Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x 0 ta được phương trình bậc hai: a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x) (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 B. Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a. 2sinx –= 0 b. 2tanx – 5 = 0 c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin2x – sin2x = 0 Giải a. 2sinx –= 0 2sinx = sinx = sinx = sin Vậy nghiệm của phương trình là: b. 2tanx – 5 = 0 2tanx = 5 tanx = x = arctan + k (kZ) Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan + k (kZ) c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0 (1) cotx = 3 cotx = cotx = cotx = + k (kZ) (2) 2cosx =1 cosx = cosx = cos Vậy nghiệm của phương trình là: d. 2sin2x – sin2x = 0 2sin2x – 2sinx.cosx = 0 2sinx(sinx – cosx) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + = 0 c. 1 - tan(5x + 200) =0 d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= f. cos(x + )= g. (2cosx +)(tan(x +100) - ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0 i. 8sinx.cosx.cos2x = j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0 l. 3tan2x + tanx = 0 m. 4sin2x – sin22x = 0 n. - 2sin3x = 0 p. cot(x + ) = 1 q. cos2(x – 300) = r. 8cos3x – 1 = 0 Bài tập 2*: Giải các phương trình sau: a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + ) = -1 c. VD2: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b. cot22x – 4cot2x +3 = 0 c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0 Giải a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được: 2t2 – 5t -3 = 0 Với t = - ta được sinx = - sinx = sin(-) Vậy nghiệm của phương trình là: b. cot22x – 4cot2x -3 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 Với sinx = 1 x = Với sinx = sinx = sin Vậy nghiệm của pt là: d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0 Vậy nghiệm của pt là: Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0 c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 - )tanx - = 0 e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0 g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0 i. sin22x – 2cos2x + = 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0 VD3: Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1 c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d. sinx – cosx = 3 Giải a. sinx + cosx = 2 Chia hai vế pt trên cho = 2 ta được sinx + cosx = 1 cos.sinx + sin.cosx = 1 sin(x +) = 1 x + = + k2 x = + k2 Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = + k2 b. cos3x – sin3x = 1 Chia hai vế pt trên cho = ta được cos3x - sin3x = cos cos3x - sinsin3x = cos(3x + ) = cos(3x + ) = cos Vậy ngiệm của phương trình trên là: c. 3sin2x + 4cos2x = 5 Chia hai vế pt cho = 5 ta được sin2x + cos2x = 1 Kí hiệu là cung mà sin= , cos= ta được sin2x cos + sincos2x = 1 sin(2x + ) = 1 2x + = + k2 x = - + k Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = - + k (với sin= , cos= ) d. sinx – cosx = 3 Ta có 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm. Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx = b. 2sinx – 5cosx = 5 c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x + sin2x = 3 g. sin5x + cos5x = cos13x h. sinx = sin3x – cosx VD4: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Giải a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được: 2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x tan2x + 4tanx – 5 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Áp dụng công thức hạ bậc ta được 4.+ 3. – = 3 sin2x + cos2x = 1 sin(2x +) = 1 sin(2x +) = sin(2x +) = sin Vậy nghiệm của phương trình là: Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1 c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3 e. 4sin2x + 3sin2x – 2cos2x = 4 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0 g. sinx.cosx – sin2x = i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0 Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x c. cos5x.cosx = cos4x d. sinx + 2sin3x = - sin5x e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x i. 2sin2x + (3 + )sinx cosx + (- 1)cos2x = -1 j. tanx.tan5x = 1