Ôn tập hình học về phương trình của đường thẳng

Gv: Danh Thanh Tuấn Trường THPT Bàn Tân Định ÔN TẬP HÌNH HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song song hoặc trùng với . b). Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương (u1) Khi đó hệ số góc của d là: k = Ví dụ. viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm B(2 ; 1) ,C(3 ; - 4). Tính hệ số góc của d. Giải Vì d đi qua B(2 ; 1) ,C(3 ; - 4) là vectơ chỉ phương của d x y O Phương trình tham số của d là và hệ số góc của d là k = 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của . 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng a) Định nghĩa Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là PTTQ của đường thẳng. Nhận xét. Nếu đường thẳng có pt: ax + by +c = 0 Thì có vectơ pháp tuyến là và có vectơ chỉ phương là hoặc Ví dụ. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(3 ; 1), B(4 ; - 3). Giải Ta có: là chỉ phương của nên là vectơ pháp tuyến của . Vậy có phương trình tổng quát là: 4(x - 3) + 1(y - 1) = 0 4x + y -13 = 0 6. Góc giữa hai đường thẳng Chú ý: // hoặc thì Nếu , thì B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng Phương pháp: Tìm điểm thuộc Tìm vectơ là vectơ chỉ phương của Khi đó đường thẳng có phương trình tham số là: (t là tham số) DẠNG 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Phương pháp: 1. Viết phương trình đường thẳng bằng cách tìm điểm và tìm vectơ pháp tuyến Tìm điểm thuộc Tìm vectơ là vectơ pháp tuyến của Khi đó đường thẳng có phương trình tổng quát là: Sau đó khai triển và đưa về dạng ax + by +c = 0 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết trước hệ số góc k Tìm điểm thuộc Khi đó phương trình của đường thẳng có dạng: (hoặc sự dụng dạng y = kx + b) Sau đó khai triển và đưa về dạng ax + by +c = 0 3. Viết phương trình của đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng d: ax + by +c = 0 Phương trình của đường thẳng có dạng: ax + by +c’ = 0 (1) Thay tọa độ của điểm vào (1) ta tìm được c’ 3. Viết phương trình của đường thẳng qua điểm và vuông góc với đường thẳng d: ax + by +c = 0 Phương trình của đường thẳng có dạng: – bx + ay +c’ = 0 (1) Thay tọa độ của điểm vào (1) ta tìm được c’. DẠNG 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Cách 1: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: , ta làm như sau: Xét hệ: (I) Nếu hệ (I): Có nghiệm (x0 ; y0) thì cắt tại M(x0 ; y0) Vô nghiệm thì // Vô số nghiệm thì . Cách 2: Nếu thì: cắt // DẠNG 4. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng Tìm vectơ pháp tuyến của Tìm vectơ pháp tuyến của Khi đó góc giữa hai đường thẳng và được xác định bởi công thức: cos sau đó suy ra = ? DẠNG 5. Tính khoảng cách Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0, ta dùng công thức: d(M,) = Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và Lấy điểm M0(x0 ; y0) thuộc Khoảng cách giữa và là: d(,) = d(M,) DẠNG 6. Chuyển đồi từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát và ngược lại. Ví dụ 1.Cho d: . Viết phương trình tổng quát của d. Cách 1. Ta có: d đi qua điểm M( 2 ; 4) và có vtcp là vtpt của d. Vậy PTT’Q của d là: 2(x – 2) +(–3)(y – 4) = 0 hay 2x – 3y + 8 = 0 Cách 2. Từ thế vào y = 4 + 2t, ta có: Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có PTTQ là : 2x – 3y + 8 = 0. Viết phương trình tham số của d. Thế x = 2 vào 2x – 3y + 8 = 0, ta có : 4 – 3y + 8 = 0 . Vậy d đi qua điểm M(2 ; 4). Từ phương trình của d ta có là vtpt của d. Suy ra là vtcp của d. Vậy PTTS của d là: Bài tập. Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của d trong các trường hợp sau: Đi qua M( 2 ; -3) có vtcp . Đi qua M( - 2 ; -3) có vtpt . Đi qua 2 điểm A( 2; 4) và B(9 ; - 2) Đi qua điểm M(0 ; 2) và có hệ số góc là k = 5. Bài 2. Viết phương trình tổng quát của d trong hai trường hợp sau. Đi qua N( 5 ; - 2) và song song với  : 2x – 4y +1 = 0. Đi qua điểm M( 3 ; - 4) và vuông góc với  : x + 3y = 0 Là đường trung trực của đoạn thẳng MN, với M(1; - 1) và N(3; 2). Bài 3. Tính góc giữa cặp đường thẳng .  : 4x – 10y + 1 = 0 và  : 2x – 4y +13 = 0.  : 12x – 6y + 10 = 0 và  : Bài 4. Tìm khoảng cách từ điểm M(9 ; 0) đến d : 2x – y = 9 Bài tập nâng cao Bài 1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: Đi qua điểm M(2;1) và tạo với đường thẳng 2x – y = 0 góc 450 Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(- 4; 1), B(2; 4), C(2; - 2). a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. c. Tính đường cao AH Bài 3. Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x - 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình hành là A(4; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại. Bài 4. Cho đường thẳng D : x - y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0). a.Chứng minh rằng hai điểm A và O nằm cùng một phía đối với đường thẳng D. b.Tìm điểm đối xứng của O qua D. c. Trên D, tìm điểm B sao cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn nhất.