Ôn tập Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0 với x là ẩn, m là tham số. (1) Giải phương trình (1) khi m = -1. Xác định m để hương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. Bài 2: Cho phương trình: 3x2 + mx + 12 = 0. (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại. Bài 3: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m - 2 = 0. (*) Giải phương trình (*) khi m = -1. Tìm tất cả các giá trị của m để hương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0. Tính (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 5: Cho phương trình: (2m – 1)x2 - 2mx + 1 = 0. (*) Xác định m để phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0). Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: . Bài 6: Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0. Chứng minh rằng các biể thức: P = a + b + a3 + b3 ; Q = a2 + b2 + a4 + b4 R = a2001+b2001+a2003+b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. Bài 7: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x: a1x2 + b1x + c1 = 0 và a2x2 + b2x + c2 = 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng: (a1c2 – a2c1)2 = (a1b2 – a2b1)(b1c2 – b2c1). Bài 8: Cho phương trình: 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0. (*) Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm GTLN của biểu thức: Bài 9: Cho phương trình: (m + 1)x2 - 3mx + 4m = 0. (*) Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm dương. Bài 10: Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m - 3 = 0. (*) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm m để x1x2 > 0 và x1 = 2x2. Bài 11: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm. Bài 12: Cho phương trình: x2 + x – 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử x1 là nghiệm âm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức: . Bài 13: Cho phương trình: x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là x1, x2 (). Đặt (n là số tự nhiên). Tìm các giá trị của a và sao cho với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra un + un+1 = un+2. Bài 14: Biết rằng phương trình x2 – 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trị của b Z để phương trình x16 – bx8 + 1 = 0 có nghiệm x = a. Bài 15: Chứng tỏ rằng phương trình x2 – 4x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12 và x22. Bài 16: Cho phương trình: x2 -2m x +2m – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm có cùng dấu âm hay dấu dương. Bài 17: Cho phương trình: x2 – 5mx – 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng x12 + 5mx2 – 4m > 0. Xác định giá trị của m để biểu thức: đạt GTNN. Bài 18: Tìm giá trị của m để hai phương trình: x2 + x + m – 2 = 0 và x2 + (m – 2)x + 8 = 0 có nghiệm chung. Bài 19: Cho phương trình: (1) Giải phương trình (1) khi . Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 2x2 = 16. Bài 20: Cho phương trình: x2 – 4(m – 1)x + 4m - 5 = 0. (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 2m. Tìm m để P = x12 + x22 + x1x2 có GTNN. Bài 21: Cho phương trình: x2 – mx + m2 – 5 = 0 ( m là tham số). Giải phương trình với . Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Với những giá trị của m mà phương trình có nghiệm, hãy tìm GTLN và GTNN trong tất cả các nghiệm đó. Bài 22: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 ( với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: Bài 23: Cho x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 = 0 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. Tìm giá trị của Bài 24: Cho phương trình: x2 - 3x - m2 +m + 2 = 0. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm số với mọi giá trị của m. Tìm các giá trị của m sao cho nghiệm số x1, x2 thoả mãn điều kiện: x13 +x23 = 9. Bài 25: Cho phương trình ẩn x: (2 – m)x2 – (1 – 2m)x – m – 1 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 > 2. Bài 26: Cho phương trình: mx2 – (2m – 1)x + (m – 2) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 2003. Bài 27: Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để: x12 + x22 có GTNN. Bài 28: Cho phương trình: x2 – (m – 2)x - m2 +3m - 4 = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2. Bài 29: Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị của m sao cho nghiệm số x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 + 3x2 = 13. Bài 30: : Cho phương trình: (m2 +1)x2 + 2(m2 + 1)x - m = 0. với m là tham số. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm GTLN và GTNN của A = x12 + x22. Bài 31: Cho phương trình: 4x2 – 4(m + 5)x + 2m2 +4m + 34 = 0. Giải phương trình với m = 1. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm. Bài 32: Cho phương trình: x2 – (2m - 1)x + 2m - 5 = 0. (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để: x12 + x22 = 6. Bài 33: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) có 2 nghiệm x1, x2. Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c: a. ; b. G = + . c. H = + . Bài 34: Tìm m sao cho Pt: x2–mx+m2 –m–3 = 0 có nghiệm t/m: x12 + x22 = 4. Bài 35 :Tìm m sao cho Pt: x2–(m+2)x+m2+1 = 0 có nghiệm t/m: x12 + x22 = 3x1x2. Bài 36 : Tìm m sao cho Pt: 3x2+4(m-1)x+m2–4m+1 = 0 có nghiệm t/m: + =(x1+x2). Bài 37 : Tìm m sao cho Pt: x2 + mx+1 = 0 có nghiệm t/m: + > 7. Bài 38 : Tìm m sao cho Pt: x2 +2mx+a2 = 0 (a0) có nghiệm t/m: + ³ 5. Bài 39: Tìm m sao cho Pt: x2–(2m+1)x+m2 +1 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = 2x2 . Bài 40 : Tìm m sao cho Pt: x2–3,75x+m2 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = x22 . Bài 41 : Tìm m sao cho Pt: mx2–2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 + 2x2 = 1. Bài 42 : Cho phương trình: 2x2+(2m-1)x+m-1 = 0 (1) Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 3x1 – 4x2 = 11. CMR phương trình (1) không thể có 2 nghiệm dương. Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m. Bài 43 : . Cho phương trình : mx2 – 2(m – 2)x + (m – 3) = 0 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn điều kiện : x12+x22 = 1. Bài 44 : Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2x + 3 = 0 Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Bài 45: Cho phương trình : mx2 – 2(m + 1)x + (m – 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn. c) Xác định giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn điều kiện : x1 + 4x2 = 3.  d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 46: Cho phương trình : mx2 – 2(m – 2)x + (m2 + 2m – 3) = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn điều kiện : Bài 47 : Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm m. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: M = (1 – x2)x1 + (1 – x1)x2 không phụ thuộc vào m. Bài 48 : Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm m. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Đặt M = x12 + x22. Tìm GTNN của M. Bài 49 : : Cho phương trình: 2x2 – (2m - 1)x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1 – 4x2 = 11. Chứng minh phương trình có 2 nghiệm dương. Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 50: Cho phương trình : 3x2 – (2m – 1)x + (m2 - 6m + 11) = 0. Tìm các số hữu tỉ m để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Bài 51 : Cho phương trình ẩn x : x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 2 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho : A = x1(x2 + 5) đạt GTNN. Bài 52 : Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : . Tìm GTNN của A = x14 + x24 và nêu rõ khi đó m lấy giá trị nào. Bài 53 : Cho phương trình ẩn x : x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm m. Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn điều kiện : . Bài 54: Cho phương trình ẩn x : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 m. Tính giá trị của biểu thức: A = 2(x12 + x22) - 5 x1x2. Bài 55 : Cho phương trình : 3x2 – mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : 3 x1x2 = 2x2 – 2. Bài 56 : Cho phương trình : 3x2 – 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : . Bài 57 : Cho phương trình : x2 – 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN. Tìm m để B = x12 + x22 - 3 x1x2 đạt GTNN. Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.