Ôn tập phương trình hệ phương trình

Phần 1 : Giải và biện luận phương trình bậc nhất A . Phần lý thuyết 1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 Cho phương trình : ax + b = 0 (1) ã Nếu a ≠ 0 thì pt 0 thì pt (1) có nghiệm duy nhất : x = - . ã Nếu a = 0 thì : + Với b ≠ 0 ị Pt (1) vô nghiệm . + Với b = 0 ị Pt (1) có vô số nghiệm . 2. Các bước giải và biện luận Khi giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn ta theo các bước sau : ã Bước 1 : Chuyển hết sang vế trái và nhóm những số hạng chứa x vào với nhau đưa về dạng : ax + b = 0 ( xác định rõ a = ; b = ) ã Bước 2 : Giải và biện luận ã Bước 3 : Kết luận 3. Ví dụ minh hoạ Giải và biện luận phương trình : m2x - 2 = 4x - m (1) Giải ã Biến đổi pt (1) Û m2x - 2 - 4x + m = 0 Û (m2 - 4)x + m - 2 = 0 (2) ã Nhận xét : a = m2 - 4 ; b = m - 2 ã Nếu a ≠ 0 Û m2 - 4 ≠ 0 Û . Khi đó pt đã cho có nghiệm duy nhất x = - Û x = - Û x = - Û x = - ã Nếu a = 0 Û m2 - 4 = 0 Û + Với m = 2 ị b = 0 ị Phương trình đã cho có vô số nghiệm . + Với m = - 2 ị b = - 4 ị Phương trình đã cho vô nghiệm . ã Kết luận + Với m ≠ 2 và m ≠ - 2 . Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - . + Với m = 2 . Phương trình đã cho có vô số nghiệm . + Với m = - 2 . Phương trình đã cho vô nghiệm B. Phần Bài tập áp dụng Giải và biện luận các phương trình sau : 1/ (m - 1) x - 2 = m 3/ (m2 - m)x = m - 1 2/ (3m - 1)x + m = 2x + 1 4/ m2x + m = x - 1 Phần 2 : Giải và biện luận phương trình bậc hai A . Phần lý thuyết 1. Giải và biện luận phương trình dạng : ax2 + bx + c = 0 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) ã Nếu a = 0 thì pt (1) trở thành : bx + c = 0 (đây là phương trình bậc nhất một ẩn ) . ã Nếu a ≠ 0 thì pt (1) là pt bậc hai D = b2 - 4ac + Nếu D < 0 thì pt (1) vô nghiệm + Nếu D = 0 thì pt (1) có nghiệm kép x = - . + Nếu D > 0 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2. Nhận xét Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) với b = 2b' Nếu a ≠ 0 thì pt (1) là pt bậc hai D' = b'2 - ac + Nếu D' < 0 thì pt (1) vô nghiệm + Nếu D' = 0 thì pt (1) có nghiệm kép x = - . + Nếu D' > 0 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 3. Ví dụ minh hoạ Giải và biện luận phương trình : (m - 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1) Giả ã Nhận xét : a = m - 2 ; b = - 2m ; c = m + 1 ã Nếu a = 0 Û m - 2 = 0 Û m = 2 Khi đó pt (1) trở thành : - 4x + 3 = 0 Û x = ã Nếu a ≠ 0 Û m - 2 ≠ 0 Û m ≠ 2 . Khi đó pt (1) là pt bậc hai D' = (- m)2 - (m - 2)(m + 1) = m + 2 + D' < 0 Û m + 2 < 0 Û m < - 2 ị Pt vô nghiệm + D' = 0 Û m + 2 = 0 Û m = - 2 ị Pt có nghiệm kép x = - Û x = Û x = Û x = + D' > 0 Û m + 2 > 0 Û m > - 2 ị Pt có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = ã Kết luận + m < - 2 . Pt (1) vô nghiệm + m = - 2 . Pt (1) có nghiệm kép x = + . Pt (1) có hai nghiệm phân biệt : x1 = ; x2 = + m = 2 . Pt (1) có nghiệm x = 4. Chú ý Khi gặp phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 thì phải để ý đến hệ số a . Ta xét hai trường hợp a = 0 và a ≠ 0 . B . Bài tập áp dụng Giải và biện luận các phương trình sau 1/ x2 - 2mx + m2 - 2m + 1 = 0 3/ (m-3)x2 - 2mx + m - 6 = 0 2/ mx2 - (2m + 1)x + m - 5 = 0 Phần 3 : Bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai A . Lý thuyết Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) phụ thuộc tham số m Tìm m ? 1/ Phương trình (1) vô nghiệm . 2/ Phương trình (1) có nghiệm . 3/ Phương trình (1) có nghiệm kép . 4/ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . Giải ã Trường hợp 1 : Xét a = 0 xem có thoả mãn bài toán không . ã Trường hợp 2 : Xét a ≠ 0 . Khi đó pt (1) là phương trình bậc hai . Tính D = b2 - 4ac 1/ Pt ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm Û D < 0 2/ Pt ax2 + bx + c = 0 có nghiệm Û D ³ 0 3/ Pt ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép Û D = 0 4/ Pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D > 0 B . Bài tập áp dụng Tìm m để : 1/ Phương trình vô nghiệm . 2/ Phương trình có nghiệm . 3/ Phương trình có nghiệm kép . 4/ Phương trình có nghiệm duy nhất . 5/ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . 1/ x2 - 2mx + m2 - 2m + 1 = 0 3/ (m-3)x2 - 2mx + m - 6 = 0 2/ mx2 - (2m + 1)x + m - 5 = 0 4/ (m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0 Giải 4/ ã Nhận xét : a = m2 - 4 ; b = 2(m + 2) ; c = 1 ã Trường hợp 1 : Xét a = 0 Û m2 - 4 = 0 Û m = - 2 hoặc m = 2 + Với m = - 2 : Pt trở thành 1 = 0 (vô nghiệm) + Với m = 2 . Pt trở thành : 8x + 1 = 0 Û x = - ã Trường hợp 2 : Xét a ≠ 0 Û m2 - 4 ≠ 0 Û m ≠ - 2 và m ≠ 2 . Khi đó phương trình là phương trình bậc hai Tính D' = (m + 2)2 - (m2 - 4) = 4m + 8 + Nếu D' < 0 Û 4m + 8 < 0 Û m < - 2 . Khi đó pt vô nghiệm + Nếu D' = 0 Û 4m + 8 = 0 Û m = - 2 . Khi đó pt có nghiệm kép x = - Û x = - Û x = - Û x = Û x = Û x = + Nếu D' > 0 Û 4m + 8 > 0 Û m > - 2 ( và m ≠ 2 ) . Khi đó pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ã Kết luận 1/ Phương trình vô nghiệm khi : m = - 2 hoặc m < - 2 hay m Ê - 2 Phần 4 : Định lý Viet và ứng dụng A. Lý thuyết 1. Nội dung định lý Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó ta có hệ thức sau : 2. Các ứng dụng của định lý Viet 2.1. Nhẩm nghiệm Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 ã Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : x1 = 1 và x2 = ã Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : x1 = - 1 và x2 = - 2.2. Phân tích tam thức thành nhân tử ( thành tích ) Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0 ) . Nếu tam thức có hai nghiệm x1 ; x2 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) thì ta có : 2.3. Tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠ 0 ) ã Pt (1) có hai nghiệm trái dấu Û ac < 0 ã Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu Û ã Pt (1) có hai nghiệm dương Û ã Pt (1) có hai nghiệm âm Û ã Chú ý + Pt bậc hai có hai nghiệm Û D ³ 0 + Pt bậc hai có hai nghiệm phân biệt Û D > 0 B. Bài tập áp dụng Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0 a) Giải phương trình với m = 2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = 3 . Tìm nghiệm còn lại . c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0 a) Giải phương trình với m = -1và m = 3 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 4 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2 Bài tập 2 Cho phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Giải phương trình với m = -2 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 Bài tập 3 Cho phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Giải phương trình với m = -3 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = - 4 c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2 Bài tập 4 Cho phương trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m2 + 1 = 0 a) Giải phương trình với m = 4 b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2 Bài tập 5: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phương trình với m = - 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 6: Cho phương trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại Bài tập 7:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Giải phương trình với m = - 2 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8 e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22 Bài tập 8: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 9: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 10: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22 Bài tập 11: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bài tập 12: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Giải phương trình với m = 4 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài tập 13: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện Bài tập 14: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn . Bài tập 15: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 16: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài tập 17: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài tập 18: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. Bài tập 19: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất Bài tập 20: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =ẵx1x2 - 2x1 - 2x2ẵ Bài tập 21: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất. Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 23: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài 24 : Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) Giải phương trình khi m = -1 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có ngiệm với mọi giá trị của m. 2) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 trái dấu . 3) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cùng âm . 4) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cùng dương . 5) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 . 6) Tìm một đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m . 7) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn . Bài 25 : Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 ẩn là y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn : và Bài 26 : Cho phương trình (m - 1)x2 - 4mx + 4m - 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số) Giải phương trình với m = 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1. Bài 27 : Cho phương trình : CMR phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng lớn hơn 5 Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm nằm giữa -1 và 2 Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 < 3 < x2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 3x1 – 4x2 = 5 Bài 28 : Cho phương trình : . a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm . Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. c) Tính : theo m. d) Tính : theo m. e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm () ; và Tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm : () Bài 29 : Cho phương trình (2) a) Giải phương trình khi b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có nghiệm. c) Gọi và là 2 nghiệm của phương trình (2). tìm các giá trị của m để: Phần 5 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn A . Lý thuyết 1. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hệ phương trình : Tính các định thức Grame D = = a1b2 - a2b1 Dx = Dy = = a1c2 - a2c1 ã Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất : ã Nếu D = 0 và Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 thì hệ vô nghiệm ã Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm . B . Bài tập áp dụng Bài 1. Giải các hệ phương trình sau : a) b) c ) d) g) h) Bài 2 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau 1/ 2/ Bài 3 . Tìm các giá trị của m và n để các hệ phương trình a) có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2) Bài 4. Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình với m = 3 b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất . Khi đó tìm hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m . Bài 5. Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình với a = 3 b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ? Bài 6 : Cho hệ phương trình : Giải hệ với m = 1 Tìm m để hệ có nghiệm Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.