Ôn tập toán học kỳ I– khối 10 (cơ bản và nâng cao)

ÔN TẬP TOÁN HKI – KHỐI 10 (CB+NC) I. ĐẠI SỐ: Bài1: Gọi ( P ) là đồ thị của hàm số y = x2 - 4x + 3 . Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số. Tìm giao điểm của ( P ) với đường thẳng d : y = x - 1. Bài 2: Gọi ( P ) là đồ thị của hàm số y = x2 + bx + c . Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số khi b = 4, c = 3 Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1. Bài 3: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (). Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. Bài 4: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (). Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1;2) và có đỉnh S(2; 3). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. Bài 5: a) Giải và biện luận theo m phương trình : b) Giải và biện luận theo a phương trình : c) Giải và biện luận phương trình: . d) Giải và biện luận phương trình: e) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : g) Giải và biện luận phương trình : Bài 6: a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m : b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm : c) Giải và biện luận hệ phương trình: d) Giải và biện luận hệ phương trình sau : e) Giải và biện luận hệ phương trình : g) Giải và biện luận hệ phương trình: Bài 7: Giải hệ phương trình: a) b) c) d) Bài 8: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : Bài 9: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: Bài 10: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: Bài 11: Biện luận số giao điểm của hai parapol và Bài 12: Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm : II. HÌNH HỌC 1.Rút gọn các biểu thức sau: a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD b)+ – + + + c) + + – + – + 2. Chứng minh rằng a) + = + b) + = + c) + + = + d) + + = + + = + + e) + + + = + + 3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng : + = + 4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ ,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + = 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng + + + 6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + , + , – 7.Cho hai vectơ và ¹ .Tìm điều kiện của và để: a) = + b) = 8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + nằm trên đường phân giác của góc AOB 9. Chứng minh rằng : = Û trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng : a) + = + b) = + 11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho: = + ; = + ; = + b)Chứng minh rằng + + = 12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : + + = + + 13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn. Chứng minh rằng : ++...+= 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD a)Chứng minh rằng + = 2 b)Xác định điểm M sao cho + + 2= c)Xác định điểm N sao cho +++= 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn: = 17.Cho tam giác ABC a)Xác định điểm I sao cho : + 2 = b)Xác định điểm K sao cho : + 2 = 18.Cho tam giác ABC a)Tìm điểm M thoả mãn : – + = b)Tìm điểm N thoả mãn : = + + c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + = d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 = e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 = f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 = 19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn: 4= + + 20.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn : +++ ++ = 21.Cho tam giác ABC a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4 – = ; + 2= b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2| 22.Cho hai điểm phân biệt A,B a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả: 2 + 3 = ; – 2 + = ; – 3 = b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng : = + ; = 2– ;= – + 23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho + + = ;2+ + = ;+ 3+ 2 = – + = ; 5– 2– = 24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng + = + 25.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng + + = + + 26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB Chứng minh rằng : + + = 27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE 28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’ a)Chứng minh rằng : + + = 3 b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm 29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm 30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng : a) + + = b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau: = 3 ; = 3 ; = 3 a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – "O b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng : = + 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng 34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho = t+ (1 – t) thì " điểm M ta đều có : = t+ (1 – t) b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t) Û A, B, C thẳng hàng 35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng minh rằng điểm M Îd Û có số a sao cho: = a+ (1 – a) Với điều kiện nào của a thì M Î đoạn thẳng AB 36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số m, n, p ¹ 1. Chứng minh rằng : a)M, N, P thẳng hàng Û m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt) b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song Û m.n.p = – 1(định lý Xêva) 37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN a)Chứng minh rằng : = + b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = + 38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ = – 3+ 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M 39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho BM = MC , CN = NA , AP = BP a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ ) = (2+ ) b)Chứng minh rằng : + + = 40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng + + + + = 41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính các vectơ ; ; theo các vectơ và 42* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n. Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và 43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ và b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng : a + b+ c= 44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng = . Suy ra hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau 45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB 46*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’BB’; N = AA’CC’; P = BB’CC’ a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’ b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP 47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng : + + = 48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng + 2 = và = 3 49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành Chứng minh rằng + + = 2 và + + = c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3 Kết luận gì về ba điểm O, H ,G 50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng 51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi : = + 3 Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định 52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi: = k ; = k ; = k (k ¹ 1) a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3 b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý c)Chứng minh rằng " k ¹ 1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định bởi + k = ; + k = (k ¹ – 1).Gọi O là trung điểm MN a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + ) b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ? c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k = Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ 54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ = + + 2có độ dài nhỏ nhất 55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho = kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN 56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng : a) + + = b) = (+ ) 57.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và + + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA 58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ a)Chứng minh rằng : + + = 3 b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , = Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm 59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k ¹ 1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 = và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC 61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t Î R,lấy các điểm A’, B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t thay đổi 62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng "điểm M ta luôn luôn tìm được 3 số a, b, g sao cho: a + b + g = 1 và = a+ b+ g.Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số a, b, g bằng bao nhiêu? 63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3 64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích theo và 65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi: = 2 ; 5 = 2 a)Tính và theo và b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng 66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và K là các điểm đối xứng với A qua B a)Chứng minh rằng: 3= 5 – b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2 c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng 67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là điểm sao cho = x . Xác định x để M,N,L thẳng hàng 68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x – a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số 69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa = – a)Chứng minh rằng : = – b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài toán 70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F là điểm trên cạnh AC sao cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng hàng 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng minh rằng : a) tanB. + tanC. = 0 b) tanA. + tanB. + tanC. = 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3 = , 2 = a) Tính theo và b) Gọi I và J là hai điểm thỏa = a , = b Tính , theo , a , b 73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho = ,G là trọng tâm tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa a) = b) + 2 – 3 = 75.Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3, -1); B( 2, 4 ); C( 5,3). Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM 76. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3, 4); B(1, 2) Tính cosin của góc OAB. Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM Tìm điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC 77.Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) , C(9;-5) Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm BD Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng 78. Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2;7), C(-3;-8). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD. Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó. 79. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(- 4;1), B(2;4), C(2;- 2) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC. Tính cos ? Tìm tọa độ điểm M sao cho: . 80. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a Dựng vectơ Tính độ dài vetơ vừa mới dựng