Ôn tập toán lớp 8 năm học 2008-2009

ôn tập toán lớp 8 năm học :2008-2009 Bài1: Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau: a) [(3x – 2)(x + 1) – (2x + 5)(x2 – 1)] : (x + 1) b) (2x + 1)2 – 2(2x + 1)(3 – x) + (3 – x)2 c) (x – 1)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) – (3x + 1)(1 – 3x) d) (x2 + 1)(x – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9) e) (3x + 2)2 + (3x - 2)2 – 2(3x + 2)(3x - 2) + x Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x,y A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1) C = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m)xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x – 12 Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) 9) x3 + x2y – 4x – 4y 2) 3(x+ 4) – x2 – 4x 10) x3 – 3x2 + 1 – 3x 3) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y 11) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 4) x2 – xy + x – y 12) x2 – 2x – 15 5) ax – bx – a2 + 2ab – b2 13) 2x2 + 3x – 5 6) x2 + 4x – y2 + 4 14) 2x2 – 18 7) x3 – x2 – x + 1 15) x2 – 7xy + 10y2 8) x4 + 6x2y + 9y2 - 1 16) x3 – 2x2 + x – xy2 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. 16x3y + 0,25yz3 21. (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 2. x 4 – 4x3 + 4x2 22. 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 3. 2ab2 – a2b – b3 23. a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 4. a 3 + a2b – ab2 – b3 24. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 5. x 3 + x2 – 4x - 4 25. a 6 – a4 + 2a3 + 2a2 6. x 3 – x2 – x + 1 26. (a + b)3 – (a – b)3 7. x 4 + x3 + x2 - 1 27. X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 8. x 2y2 + 1 – x2 – y2 28. X m + 4 + xm + 3 – x - 1 10. x 4 – x2 + 2x - 1 29. (x + y)3 – x3 – y3 11. 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12. a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31. (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13. a 2 – b2 – 4a + 4b 32. x3 + y3+ z3 – 3xyz 14. a 3 – b3 – 3a + 3b 33. (x + y)5 – x5 – y5 15. x 3 + 3x2 – 3x - 1 34. (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16. x 3 – 3x2 – 3x + 1 35. 17. x 3 – 4x2 + 4x - 1 36. 18. 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 37. 19. (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 38. 20. (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 39. Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x2 – 6x + 8 23. x3 – 5x2y – 14xy2 2. x2 – 7xy + 10y2 24. x4 – 7x2 + 1 3. a2 – 5a - 14 25. 4x4 – 12x2 + 1 4. 2m2 + 10m + 8 26. x2 + 8x + 7 5. 4p2 – 36p + 56 27. x2 – 13x + 36 6. x3 – 5x2 – 14x 28. x2 + 3x – 18 7. a4 + a2 + 1 29. x2 – 5x – 24 8. a4 + a2 – 2 30. 3x2 – 16x + 5 9. x4 + 4x2 + 5 31. 8x2 + 30x + 7 10. x3 – 10x - 12 32. 2x2 – 5x – 12 11. x3 – 7x - 6 33. 6x2 – 7x – 20 12. x2 – 7x + 12 34. x2 – 7x + 10 13. x2 – 5x – 14 35. x2 – 10x + 16 14. 4 x2 – 3x – 1 36. 3x2 – 14x + 11 15. 3 x2 – 7x + 4 37. 5x2 + 8x – 13 16. 2 x2 – 7x + 3 38. x2 + 19x + 60 17. 6x3 – 17x2 + 14x – 3 39. x4 + 4x2 - 5 18. 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40. x3 – 19x + 30 19. x4 – 34x2 + 225 41. x3 + 9x2 + 26x + 24 20. 4x4 – 37x2 + 9 42. 4x2 – 17xy + 13y2 21. x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43. - 7x2 + 5xy + 12y2 22. 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44. x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x4 + x2 + 1 17. x5 - x4 - 1 2. x4 – 3x2 + 9 18. x12 – 3x6 + 1 3. x4 + 3x2 + 4 19. x8 - 3x4 + 1 4. 2x4 – x2 – 1 20. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 5. x4y4 + 4 21. m3 – 6m2 + 11m - 6 6. x4y4 + 64 22. x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 7. 4 x4y4 + 1 23. x3 + 4x2 – 29x + 24 8. 32x4 + 1 24. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 9. x4 + 4y4 25. x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1 10. x7 + x2 + 1 26. x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2 11. x8 + x + 1 27. x8 + x6 + x4 + x2 + 1 12. x8 + x7 + 1 28. x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1 13. x8 + 3x4 + 1 29. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14. x10 + x5 + 1 30. 15. x5 + x + 1 31. 16. x5 + x4 + 1 32. Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 2. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 3. 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 4. 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 5. x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 6. x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3 7. x4 – 13x2 + 36 8. x4 + 3x2 – 2x + 3 9. x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 2. (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 3. x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 4. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 5. 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8 6. 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 7. 15x3 + 29x2 – 8x – 12 8. x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8 9. x3 + 9x2 + 26x + 24 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) 2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 3. a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) 4. (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 5. (x + y)7 – x7 – y7 6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc 7. (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 8. a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc 9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1 Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 2. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 3. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 5. (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 6. x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 9. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 Bài 7 :Tìm x biết: a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x2-5x = 0 d) (2x-3)2-(x+5)2=0 e) 3x3 - 48x = 0 f) x3 + x2 - 4x = 4 Baứi 8: Chửựng minh ủaỳng thửực: a. ; bieỏt raống 2x = a + b + c b. ; bieỏt raống a + b + c = 2p Bài 1: Thực hiện phép tính Bài 2: Cho biểu thức: a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2005. c) Tìm giá trị của x để A có giá trị bằng – 1002. Bài 3: Cho biểu thức: a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B biết |x| = 1. c) Tìm x biết . d) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên. Bài 4: Cho biểu thức: a) Rút gọn C. b) Tính giá trị của biểu thức C tại các giá trị của x thoả mãn |x - 3| = 1. Bài 5: Cho biểu thức: a) Rút gọn D. b) Tính giá trị của D tại x = . c) Tìm giá trị của x để biểu thức D có giá trị bằng 0. Bài 6: Cho biểu thức: a) Rút gọn E. b) Tính giá trị của biểu thức E tại x =. c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức E nhận giá trị nguyên. Bài 7: Cho biểu thức: a) Rút gọn G. b) Tính giá trị của G biết x(x – 2) = 0. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên. Bài 1: Giải phương trình sau 1/ 14x-(2x+7) = 3x+(12x-13) ; 2/ 2x+33 – 3(12-x) = 9 +2(x+3) 3/ 2,5(x-3) -3(x- 4) = 9 – (5x-15,3) ; 4/ 3x-+5(x-2) = (x+1) Bài 2: Giải phương trình sau 1/ ; 2/ 3/ ; 4/ 5/ Bài 3: Giải phương trình sau 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Bài 4: Giải phương trình sau a/ (x+5)(x-1) = 2x(x-1) b/ 5(x+3)(x-2) -3 (x+5)(x-2) = 0 c/ 2x3+ 5x2 -3x = 0. d/ (x-1) 2 +2 (x-1)(x+2) +(x+2)2 =0 e/ x2 +2x +1 =4(x2-2x+1) Bài 5: Giải phương trình sau Bài 6: Giải phương trình sau Dạng: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1:Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 63 , hiệu của chúng là 9 ? Bài 2: Tìm 2 số biết tổng của chúng là 100. Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Bài 3: Hai thùng dầu ,thùng này gấp đôi thùng kia ,sau khi thêm vào thùng nhỏ 15 lít ,bớt ở thùng lớn 30 lít thì số dầu thùng nhỏ bằng số dầu ở thùng lớn.Tính số dầu ở mỗi thùng lúc ban đầu? Bài 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82 m, chiều dài hơn chiều rộng 11m. Tính chiều dài và chiều rộng? Bài 5 : Có 12% số học sinh trong lớp không làm được bài 32% làm sai , còn lại 28 em làm đúng .Tính số học sinh trong lớp Bài 6: Cả 3 thùng có tất cả 64,2 kg đường thùng thứ hai có số đường bằng số đường thùng thùng 1, thùng thứ ba có số đường bằng 42,5% số đường thùng 2.Tính số đường mỗi thùng ? toán có nội dung số học Bài 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng 2 chữ số là 16 , nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị . Bài 2 : Cho một số có hai chữ số tổng hai chữ số bằng là 7 . Nếu viết theo thứ tự ngược lại ta được số mới lớn hơn số đã cho 27 đơn vị . Tìm số đã cho ? toán chuyển động Bài 1: Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách nhau 70 km và sau một giờ thì gặp nhau. Tính vận tóc của mỗi xe , biết rằng vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B 10 km/h . Bài 2: Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở về với vận tốc 40 km/h. Cả đi lẫn về mất 5h 24 phút . Tính chiều dài quãng đường AB ? Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đén B. Một giờ sau, một xe máy cũng đi xe máy từ A đến B và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1 h 30’ . Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp đôi vận tốc của xe đạp và quãng đường AB dài 80 km. Bai 1:`Một người đi xe đạp , một người đi xe mỏy , một người đi ụ tụ cựng đi từ A đến B . Họ khởi hành từ A theo thứ tự núi trờn lỳc 6h ; 7h ; 8h . Vận tốc trung bỡnh của họ theo thứ tự trờn là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hỏi lỳc ụ tụ ở chớnh giữa vị trớ xe đạp và xe mỏy thỡ ụ tụ đó cỏch A bao nhiờu km. Đỏp số: 50km. 2) Một ca nụ xuụi dũng từ bến A lỳc 5h 30 phỳt để đến bến B và nghỉ lại đõy 2h15phuts để dỡ hàng , sau đú lại quay về A. Đến A lỳc 13h45 phỳt . Tớnh k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nụ khi nước yờn lặng là 24,3km/h và vận tốc dũng nước chảy là 2,7km/h. Đỏp số: 72km. toán kế hoạch –thực làm Bài 1 Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh bắt 10 tấn . Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch ? Bài 2 : Theo kế hoạch ,đội sản xuất cần gieo mạ trong 12 ngày .Đến khi thực hiện đội đã nâng mức thêm 7 ha mỗi ngày vì thế hoàn thành gieo mạ trong 10 ngày .Hỏi mỗi ngay đội gieo được bao nhiêu ha và gieo được bao nhiêu ha ? Bài 3 : Một xưởng đóng giầy cần phải hoàn thành kế hoạch trong 25 ngày. Thực tế, xưởng đã vượt mức mỗi ngày 6 đôi nên sau 20 ngày chẳng những hoàn thành kế hoạch mà còn làm thêm được 20 đôi giày. Hổi xưởng phải đóng bao nhiêu đôi giày theo kế hoạch ? Bài 4 : Một xí nghiệp dệt theo hợp đồng làm trong 20 ngày. Khi làm năng suất tăng 20 % do đó trong 18 ngày hoàn thành số thảm cần dệt và dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số thảm xí nghiệp dệt theo hợp đồng ? toán phần trăm Bài 1 : Năm trước cả hai cánh đồng thu hoạch được 650 tạ thóc Năm nay cánh đồng thứ nhất năng suất tăng 50 %, cánh đồng thứ hai năng suất tăng 70 % nên tổng số cả hai cánh đồng thu được 1080 tạ thóc . Hãy tính số thóc thu được mỗi cánh đồng của năm trước ? Bài 2 : Tháng giêng cả hai tổ may được 720 bộ quần áo .Sang tháng thứ hai,do cải tiến kĩ thuật ,tổ 1 vượt mức 15 %, tổ 2 vượt mức 12 % nên cả hai tổ may được 819 bộ quần áo Hỏi trong tháng hai mỗi tổ may được bao nhiêu bộ quần áo ? 1) Một phõn số cú tử kộm mẫu số 8 đơn vị , nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thỡ được phõn số mới bằng 3/4 . Tỡm phõn số ban đầu. 2) Một hỡnh chữ nhật cú chu vi 450m . Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng them 25% thỡ được hỡnh chữ nhật mới cú chu vi khụng đổi. Tớnh chiều dài chiều rộng của vườn. 3) Một tầu đỏnh cỏ dự định trung bỡnh mỗi ngày bắt được 3 tấn cỏ. Nhưng thực tế mỗi ngày bắt them được 0.8 tấn nờn chẳng những hoàn thành sớm 2 ngày mà cũn bắt them được 2 tấn cỏ. Hỏi mức cỏ dự định bắt theo kế hoạch là bao nhiờu? 4) Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thỡ số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho II. Tớnh số hàng trong mỗi kho. Hai vũi nước chảy vào một cỏi bể thỡ đầy sau 3h20’ . Người ta cho vũi J chảy trong 2h và vũi II chảy trong 2h thỡ được 4/5 bể . Tớnh thời gian mỗi vũi chảy một mỡnh đầy bể. 6) Hai mỏy cày cụng suất khỏc nhau phải cày một thủa ruộng . nếu mỗi mỏy làm việc riờng một mỡnh thỡ mỏy thứ I cần 20h , mỏy thứ II cần 15h mới cày xong thủa ruộng . Nụng trường giao cho mỏy thứ I cày trong một thời gian rồi nghỉ và mỏy II cày tiếp cho xong. Biết thời gian mỏy I làm ớt hơn mỏy II là 3h20’. Tớnh thời gian mỗi mỏy đó cày. chủ đề: tam giác đồng dạng Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Một cỏt tuyến song song với AB lần lượt cắt cỏc đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q. a/ CMR : MN = PQ. b/ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR : Đường thẳng EF đi qua trung điểm của AB và DC. 2) Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AD, trọng tõm G. Đường thẳng d qua G cắt AB,AC lần lượt tại M, N. CMR: . 3) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hỡnh bỡnh hành ABCD cắt đường chộo BD ở E và cắt BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng: a/ b/ c/ Khi đường thẳng thay đổi vị trớ nhưng vẫn đi qua A thỡ tớch BK.DG cú giỏ trị khụng đổi. 4) Cho hỡnh thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a/ CMR: IK // AB. b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF. Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 60o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. E là điểm đối xứng với A qua B. a) Tứ giác ABMN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh: Tứ giác AEMN là hình thang cân. c) Chứng minh: Ba điểm E, M, D thẳng hàng. Bài 11: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) Tứ giác EHMF là hình thang cân. c) Giả sử AB = 6cm, BC = 10cm. Hãy tính diện tích tam giác EHF. Bài 12: Cho hình thang CDEF (CD//EF). Gọi A, B, M, N lần lượt là trung điểm của CD, CE, EF, DF. a) Chứng minh: Tứ giác ABMN là hình bình hành. b) Nếu CDEF là hình thang cân thì ABMN là hình gì? Vì sao? c) Hình thang CDEF cần thêm điều kiện gì thì ABMN là hình vuông? Vẽ hình minh họa. Bài 13: Cho hình thoi ABCD, gọi E là điểm đối xứng với A qua B; F là điểm đối xứng với A qua D. a) Chứng minh: Các tứ giác BDFC và BDCE là hình bình hành, suy ra C là trung điểm của EF. b) Chứng minh: Tứ giác BDFE là hình thang cân. c) Biết diện tích của hình thoi ABCD là 8cm2. Tính diện tích BDFE. Bài 14: Cho DABC, vẽ phân giác AD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F. Chứng minh: a) Tứ giác BFEC là hình thang. b) Tứ giác BFED là hình bình hành. c) AE = BF. d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BFED là hình thoi. Bài 15: Cho DABC vuông tại A, D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB; E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC; F là giao điểm của DN và AC. a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b) Các tứ giác ADBM và ADCN là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh: M đối xứng với N qua A. d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AEDF là hình vuông. Bài 16: Cho DABC, góc A = 90o, AB = 6cm, AC = 8cm. a) Tính BC. b) Kẻ AH ^ BC. Tính diện tích DABC và AH. c) Qua H kẻ HE ^ AB, HF ^ AC. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? Chứng minh: AH = EF. Bài 17: Cho DABC, trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD là hình bình hành. b) Xác định dạng của tứ giác AMCD? Giải thích? c) Tìm điều kiện của DABC để tứ giác AMCD là hình chữ nhật. Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a) Các tứ giác AEFD và AECF là hình gì? Vì sao? b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh: Tứ giác EMFN là hình chữ nhật. c) Chứng minh: Các đường thẳng AC, BD, EF, MN đồng quy. d) Hình bình hành ABCD cần điều kiện gì để tứ giác EMFN là hình vuông. 1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AB < AC , đường phõn giỏc AD. Đường vuụng gúc với DC tại D cắt AC ở E. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc ABC và tam giỏc DEC đồng dạng b) DE = BD. 2) Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm ; AC = 21cm. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm , trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm . C/minh rằng: a) Tam giỏc ABD và tam giỏc ACE đồng dạng. b) Tam giỏc IBE và tam giỏc ICD đồng dạng ( I là giao điểm của BD và CE ) c) IB. ID = IC . IE 3) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm .Gọi D là hỡnh chiều của H trờn AC , E là hỡnh chiếu của H trờn AB. a) C/mỡnh rằng: Tam giỏc ADE và tam giỏc ABC đồng dạng. b)Tớnh diện tớch tam giỏc ADE. 4) Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H . gọi M ; N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AC. Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc. a)C/minh rằng : Tam giỏc OMN và tam giỏc HAB đồng dạng. Tỡm tỉ số đồng dạng. b) So sỏnh độ dài của AH và OM c) Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC . C/minh rằng tam giỏc HAG và tam giỏc OMG đồng dạng. d) C/minh 3 điểm H ; G ; O thẳng hàng và GH = 2GO. 5) Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( AÂ = DÂ= 90° ) cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau tại O . AB = 4cm ; CD = 9cm. a) C/minh rằng cỏc tam giỏc AOB và DAB đồng dạng. b) Tớnh độ dài AB. c) Tớnh tỉ số diện tớch của tam giỏc OAB và tam giỏc OCD. 6) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ; AB = 1 ; AC = 3 . Trờn cạnh AC lấy cỏc điểm D ; E sao cho AD = DE = EC . a) Tớnh độ dài BD. b) C/minh ràng cỏc tam giỏc BDE và CDB đồng dạng c) Tớnh tổng: DEÂB + DCÂÂB. I Một số bài toán và phương pháp chứng minh đẳng thức và m au: ối quan hệ đại số: Phương pháp chứng minh vế trái (VT)bằng vế phải (VP) Muốn chứng minh đẳng thức A(x,y,…,z) = B(x,y,…,z) thì ta có thể biến đổi đại số của VT hoặc VP để VT=VP. Bài toán 1: Chứng minh rằng: 1. a3 - b3 = ( a –b) 3 + 3ab( a-b) 2. ( b-c)3 + (c-a)3 + (a-b)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) Phương pháp (PP): Trong bài toán này vế trái trái của đẳng thức là các hằng đẳng thức vì vậy chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp để giải. Lời giải: 1. Đặt VT = a3 + b3 = (a- b)3 +3a2b - 3ab2 = ( a –b) 3 + 3ab( a-b) = VP (ĐPCM) 2. Đặt VT= b3-3b2c+3bc2-c3+c3-3c2a+3ca2-a3+a3-3a2b+3ab2-b3 = 3(-b2c+bc2-c2a+ca2-a2b+ab2) = 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM) Bài toán 2: Chứng minh rằng: PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm được bài này ta cần phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử từ đó rút gọn các nhân tử chung. Lời giải: Ta có 2x2+3xy+y2=(x+1)(2x+y) 2x3+x2y -2 xy2-y3= (2x+y)(x-y)(x+y) Khi đó: (ĐPCM). Bài toán 3: Với ba số a,b,c là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: PP: Đây là một bài toán nếu nhìn bình thường thì ta nghĩ ngay đến việc quy đồng và thực hiện cộng ba phân thức với nhau, nhưng nếu làm như vậy ta sẻ đi đến một biểu thức tương đối khó. Với bài này ta nên thêm bớt vào tử thức để có thể đưa về các phân thức có mẫu bằng 1. Lời giải: Đặt VT = = + = = VP (ĐPCM). Chú ý. Bài toán trên có thể biến đổi tương tương bằng cách chuyển VP sang VT. 2. Bài toán có điều kiện: Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thường băn khoăn không biết sử dụng giả thiết như thế nào cho đúng ?. Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán. Sau đây là một số bài toán như thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán. Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0. Chứng minh rằng: (a2+b2+c2)2= 2(a4+b4+c4) PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa 2 và 4 vậy thì việc sử dụng GT a+b+c =0 như thế nào để làm xuất hiện các luỹ thừa cần dùng. Lời giải: Do a+b+c = 0 nên (a+b+c)2=0 a2+b2+c2= -( 2ab+2bc+2ac) (a2+b2+c2)2= 4(ab+bc+ac)2 a4+b4+c4 +2a2b2+2b2c2+2a2c2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 +2ab2c+2a2bc+2abc2) a4+b4+c4 = 2a2b2+2b2c2+2a2c2 +8abc(a+b+c) do a+b+c =0 nên a4+b4+c4 = 2a2b2+2b2c2+2a2c2= 2(a2b2+b2c2+a2c2). Mặt khác: (a2+b2+c2)2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 ) +2abc(a+b+c) (a2+b2+c2)2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 ) (do a+b+c =0) Khi đó: 2(a4+b4+c4 )= (a2+b2+c2)2 (ĐPCM) Bài toán 2: Cho a2+b2=1 , c2+d2=1, ac+bd=0.Chứng minh rằng: ab+cd=0. PP: Đây là một bài toán sử dụng giả thiết tương đối khó vì HS không biết sử dụng các luỹ thừa 2 như thế nào. Với bài này cần cho HS biết cách sử dụng số 1 hợp lý vào biểu thức cần chứng minh vì ab+cd = ab.1+cd.1 ; cuối cùng là đưa về nhân tử để sử dụng ac+bd=0 . Lời giải: Ta có ab+cd= ab(c2+d2)+cd(a2+b2) = ab c2+abd2+cda2+cdb2 =ac(bc+ad) +bd(ad+bc) = (bc+ad)(ac+bd)= 0 (do ac+bd=0) Vậy ab+cd=0. Bài toán 3: Chứng minh rằng Nếu: thì: (x2+y2+c2)( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2 PP : Bài toán này có GT là một dãy tỉ số bằng nhau vì vậy cần sử dụng kiến thức tỉ lệ thức để vận dụng vào trong quá trình giải. Lời giải Đặt = k. Do đó x=ak , y=bk, c=kc. VT= (a2+b2+c2)2k2 VP= (a2 +b2+c2)2k2 Suy ra: VP=VT Vậy (x2+y2+c2)( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2 Bài toán 4: Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1. Chứng minh rằng: a2005+b2005+c2005=1. PP. Đây là bài toán khó đối với HS vì luỹ thừa lớn nên HS thường không biết sử lý như thế nào. Với bài này chúng ta nên dạy cho HS cách phán đoán trước khi giải: Bài này ta có thể dự đoán một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng 0. Lời giải: Do a3+b3+c3=1 và a+b+c=1 ta có. a3+b3+c3 = a+b+c 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a Nếu a=-b ta có a2005+b2005+c2005= a2005- a2005+c2005 = c2005= 1 vì a-a+c=1 Tương tự ta cũng có kết luận như trên Vậy a2005+b2005+c2005=1 Bài toán 5: Cho x+y = a + b và x2+y2=a2+b2 Chứng minh rằng: x2009+y2009 = a2009+b2009 ( Trong đề chọn HSG tỉnh năm 2009) PP: Đây là một bài toán với yêu cầu chứng minh với số mũ tương đối lớn vì vậy cần hướng dẫn học sinh định hướng trước khi giải là: Sử dụng giả thiết để chỉ ra có các cặp lá hai số đối nhau hược các cặp bằng nhau. Lời giải: Từ x+y = a + b x-a=b-y Từ x2+y2=a2+b2 x2- a2=b2-y2 (x-a)(x+a) = (b-y)(b+y) Suy ra (b-y)(x+a) - (b-y)(b+y) = 0 (b-y)(x+a-b-y)=0 b=y hoặc x+a-b-y=0 Nếu b=y x=a x2009+y2009 = a2009+b2009 Nếu x+a-b-y=0 x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy ra x=b y=a x2009+y2009 = a2009+b2009 ( ĐPCM) Bài toán 6. Cho Chứng minh rằng: PP. Bài toán này trước khi làm cần hướng dẫn HS xét xem bài toán xảy ra dấu bằng khi nào?. Bài toán này xảy ra khi ba số a; b; c đôi một đối nhau, chính vì vậy từ giả thiết ta biến đổi tương đương để đưa về dạng (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Lời giải: Ta có: (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Suy ra : a=-b; b=-c; c=-a Nếu a = -b Ta có Tương tự ta cũng có các kết luận như trên với b=-c; c=-a Vậy Mở rộng : Bài toán trên có thể chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) hoặc chứng minh rằng: sảy ra khi và vhỉ khi a=-b; b=-c; c=-a. Bài toán 7: a. CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by và x+y+z ≠0. Thì PP: Trong bài điều kiện tưởng như bình thường x+y+z ≠ 0 thì lại là điều kiện cần xem xét đầu tiên vì nó gợi cho ta việc cộng ba giả thiết đầu lại với nhau. Từ đó kết hợp với mỗi giả thiết để làm xuất hiện Lời giải: a. Ta có x+y+z = 2(ax+by+cz) . Khi đó: x+y+z = 2(ax + x) = 2x( a+1) Tương tự ta có: và Suy ra: = 2 Vậy Bài toán 8: CMR: Nếu va x =y +z thì PP. Bài trên đẳng thức yêu cầu chứng minh có luỹ thừa 2 và nó là phân luỹ thừa của một hằng đẳng thức vì vậy để tạo ra nó cần có cái nhìn về GT . Ta có thể tạo ra bằng cách bình phương hai vế của . Lời giải: Ta có 1+ 1+ (vì x=y+z) Vậy Bài toán 9: Cho . CMR: PP. Bài toán này cũng là một bài toán khó khi các em HS tìm cách tạo ra a2,…,trong đẳng thức cần chứng minh. Ta thấy rằng mẫu của GT cũng như dẳng thức cần chứng minh là như nhau nên chúng ta không nên sử lý đối với mẫu mà tạo ra các luỹ thừa bằng cách nhân cả hai vế của GT với (a +b+c) Lời giải: Ta có Vậy Khi Bài toán 10: a. Cho (1) và (2). CMR: a+b+c=abc b. (1) và (2). CMR: PP: Bình phương hai vế của của (1), biến đổi để sử dụng giả thiết (2). Lời giải: a. Từ (1) ta có =0 ( vì ) a+b+c=abc (ĐPCM). Tacó: Mặt khác Nên =0 Vậy Bài toán 11: Cho a-b ≠ 0 và b-c ≠0. CMR: PP: Quy đồng hai vế của giả thiết và của yêu cầu CM để chỉ ra đẳng thức đúng. Lời giải: Từ a(b-c) = c(a-b) (1) Từ a(b-c) = c(a-b) (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM Bài toán 12: Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 và CMR: ax2+ by2+cz2=0. PP: Sử dụng giả thiết x+y+z =0 để thay x ,y,z vào biể thức A = ax2+ by2+cz2, đặt nhân tử chung và thy a,b,c ở a+b+c=0 và biểu thức Lời giải: Từ x+y+z =0 Ta có: x2 = (y+z)2; y2= (x+z)2; z2= (x+y)2 Đặt A = ax2+ by2+cz2 = a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 = ay2 +2axy+az2 + bx2+2bxz+bz2+cx2+2cxy+cy2 = x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(axy+bxz+cxy) Mà a+b+c=0 nên b+c=-a; a+c=-b; a+b=-c Khi đó: A = -ax2 –by2 – cz2 +2(axy+bxz+cxy) Mặt khác: axy+bxz+cxy = 0. Suy ra A = -ax2 –by2 – cz2= ax2+ by2+cz2 ax2+ by2+cz2=0. Vậy ax2+ by2+cz2=0. Bài toán 13: Ch