Ôn tập tuyển sinh Toán Lớp 10 - Hồng Nhựt Quang

ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 ------------------------------------------------------ I.BIẾN ĐỔI CĂN THỨC: BÀI 1: So sánh hai số ( không dùng máy tính) a) và ; b) và ; c) và ; d) và ; BÀI 2: Tính ( rút gọn): a) ; b) c) ; d) ; e) ; f) g) ; h) H = i) ; k) khi a= BÀI 3: Tính ( rút gọn): a); b) c); d) e) ; f) ; g) BÀI 4: Cho biểu thức Rút gọn A; b) Chứng minh A0; BÀI 5: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa ; b) Rút gọn A BÀI 6: Cho biểu thức : Tìm giá trị của x để A có nghĩa. b) Tính A khi BÀI 7: Chứng minh rằng BÀI 8 : Cho biểu thức A = a) Rút gọn A ; b) Tính khi x = 5 +2 BÀI 9 : Rút gọn biểu thức sau: (Với a,b,c 0 ) A = BÀI 10 : Cho Chứng tỏ rằng A là một số nguyên dương II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VIET: BÀI 1:Giải các phương trình sau: a) x2 – 8x + 3 = 0 ; b) x2 + ; c) x2 - 6x = 0 ; d) 2x2 – 4 = 0 ; e) x(x + 2) = 0 ; f) 3x2 + 1 = 0 g) ( x + 5)2 + (x-2)2 + (x +7)(x -7) = 12x – 23 ; h) 3x3+ 6x2 – 4x = 0 ; m ) 36 t4 – 13 t2 + 1 = 0 n) x3 – 5x2 – x + 5 = 0 ; o) x4 – 8x2 – 9 = 0 ; BÀI 3 : a) ; b) ; c) BÀI 4: .a) ; b);c) BÀI 5: Cho phương trình ẩn x: ( m + 1) x2 – 2 ( m – 1) x + m – 2 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt . b) Xác định m để phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 và tính nghiệm kia. c) Xác định m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: x21 + x22 = 2 d) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m . BÀI 6: Cho phương trình : x2 – 4x + m = 0 a) Giải phương trình khi m = - 8 ; m = - 21 b) Tìm m để: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt; phương trình có nghiệm kép; phương trình vô nghiệm BÀI 7: Cho phương trình : x2 – 2 (m + 1) x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: a) ; b) x1x2 -2 (x1+x2) 5 ; c) 2x2 – x1 = 8 BÀI 8: Cho phương trình: x2 – 2 ( m+1)x + 4m – 3 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b) Định m để tích 2 nghiệm bằng 5. lúc đó hãy tính tổng 2 nghiệm đó . BÀI 9: Cho phương trình: 3x2- 10 x -3m + 1 = 0 a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu . b) ) Định m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương . BÀI 10: Cho phương trình: (m – 4 ) x2 – 2 (m-2)x + m – 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm . b) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất c) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. BÀI 11: Cho phương trình ( m – 1)x2 – 2mx + m – 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 . b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất d) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m . BÀI 12: Cho phương trình ẩn x : x2 – 2 (m-1)x + m2 – 3m = 0 (1) a) Tìm m để phương trình(1) có 2 nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại c) Tìm hệ thức độc lập của x1 ,x2 đối với m d) Tìm m để phương trình(1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa = 8 BÀI 13: Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x1 và x2 . Đặt: Sn = ( n N*). Chứng minh: aSn+2 + bSn+1 + cSn = 0 . BÀI 14: Cho phương trình ẩn x: x2+mx+n = 0 a) Tìm m,n biết biết phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa : b) Cho biết n=m-2. tìm m,n để đạt giá trị nhỏ nhất. BÀI 15: Biết a, b là 2 nghiệm của phương trình x2 + px +1 = 0 và b,c là 2 nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0. Chứng minh hệ thức: (b –a )(b – c) = pq – 6 III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ : Bài 1 : a) Viết phương trình đường thẳng d biết rằng nó đi qua hai điểm có tọa độ là (1; 1) và (2; -1). Vẽ dường thẳng d b) Với giá trị nào của m thì parabol y = mx2 cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt ? Bài 2 : Với giá trị nào của a thì đường thẳng y = ax + 2 a) Song song với đường thẳng y = -3x b) Cắt hai đường thẳng x = 2 va øy = 2x – 1 tại một điểm duy nhất Bài 3 : Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; -1), C(1; 2), D(-1; -4) a) Bằng phương pháp đại số hãy tìm tọa độ giao điểm M của hai dường thẳng AB và CD b) Tìm m để đường thẳng AB tiếp xúc với parabol . y = mx2 .Tính tọa độ điểm tiếp xúc đó Bài 4 : Cho đường thẳng d có phương trình y = 2x + 2 a) Hãy vẽ đường thẳng d b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d (M là giao điểm của d với trục tung ) Bài 5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường parabol (P) có phương trình y = x2 và dường thẳng (dm) có phương trình y = 2mx + 1 (m là tham số thực) a) Định m để dường thẳng dm đi qua điểm I(1; 3) b) Khi dm cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là xA và xB . Hãy định m để đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6 Cho parabol (P): y = mx2 và đường thẳng (D): y = 2x – 1 a) Vẽ đường thẳng (D) b) Với giá trị nào của m thì (D) không cắt (P) ? c) chứng minh rằng khi m = 1 thì (P) và (D) cắt nhau tại một điểm duy nhất Bài 7 : Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị hàm số y = -x + 2 a) Vẽ (P) và (d) . b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị. Kiểm tra lại bằng phương pháp đại số c) Một đường thẳng (d/ ) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 . Hãy viết phương trình đường thẳng đó. Bài 8 : Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(-2; 2) và đường thẳng (d): y = -2 (x + 1) a) Chứng tỏ điểm A thuộc (d) b) Tìm a để đồ thị (P) của hàm số y= ax2 qua A c) Viết phương trình đường thẳng () qua A và vuông góc với (d) d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và () , C là giao điểm của (d) và trục tung . Tính tọa độ B, C và diện tích của tam giác ABC Bài 9 : Trên cùng hệ trục tọa độ, gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị của và y = x + 1. Hãy viết phương trình đường thẳng (D/) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng -2 Bài 10 : Cho hàm số a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2 Bài 11 : a) Xác định hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị của nó vuông góc với đường thẳng và d8i qua điểm M(2; -5) b) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng y = -3x + 1 và parabol y = -2x2 Bài 12 : Trong măït phẳng Oxy cho 3 đường thẳng (d1 ): 2x – y + 3 = 0; (d2 ): 15x + 3y + 5 = 0; (d3 ): 3ax – 3y + 4a + 15 = 0 a) Tìm a để 3 đường thẳng chỉ có một điểm chung. b) Với giá trị a vừa tìm hãy tính diện tích và chu vi tam giác tạo bởi (d3 ) với các trục Ox, Oy. Bài 13 : Gọi (P) là đồ thị hàm số và (d ) là đồ thị hàm số a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 Bài 14 : Cho hai đường thẳng (d1 ): y = ax () (d2 ):y = (m2 + 2m)x a) Định a để (d1 ) đi qua điểm A(3; -1) b) Tìm m để (d2 ) vuông góc với (d1 ) ở câu a) IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH : Bài 1: Giải hệ phương trình: a) ; b) c) ; d) e) ; f) ; g) ; h ) i) ; k) ; l) m) Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: a) ; b) c) ; d) e) ; f) Hướng dẫn : b) Đặt và (Các câu còn lại tương tự) Bài 3 : Tìm giá trị của a và b : a) Để hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = ( 1 ; -5) b) Để hệ phương trình có nghiệm là ( x ; y) = ( 3 ; -1) Bài 4 : Giải hệ phương trình a) ; b) ; c) ; d) Hướng dẫn : a) Rút gọn từng phương trình của hệ rồi giải b) Lấy (2) trừ (1) ta có: y + 3z = 7 Lấy (3) trừ (2) ta có: y + 5z = 19 Giải hệ ta có Suy ra hệ có nghiệm: (x, y, z) = (6; -11; 6) c) Cộng ba phương trình ta có: x+ y+ z = 2. Hệ có nghiệm: (x, y, z) = (-2; -1; 5) d) Đặt thế vào (1) và (3) ta có Suy ra: (4) . Kết hợp với (2) ta có hệ Hệ có nghiệm: (x, y, z) = V.HÌNH HỌC Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kình AB. Láy điểm C thuộc đường tròn sao cho OC vuông góc với AB. 1)Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân . 2) Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AC và BC. Chứng minh tứ giác ODCE là hình vuông. 3)Lấy hai điểm I và K thuộc đoạn AB( I,K không trùng với O) và kẻ hai tia CI,CK lần lượt cắt đường tròn tại Mvà N. Chứng minh: hai góc CMN, CKA bằng nhau và IMNK là một tứ giác nội tiếp. Bài 2: : Cho đường tròn (O) và dây cung Ab. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , đường kính này cắt AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại M, các dây AB, QM cắt nhau tại K. 1) Chứng minh: CM.CP = CACB. 2) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM. 3) Giả sử A,B,C cố định. Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A và B. Bài 3: Cho hai đường tròn ( O1 ; R1 ) và ( O2 ; R2) cắt nhau tại A và B ( biết R1 > R2) . 1) AP là đường kính của đường tròn (O1), AQ là đường kính của đường tròn (O2) . Chứng minh 3 điểm P,B,Q thẳng hàng. 2) Một đường thẳng qua A cắt ( O1) tại M và cắt (O2) tại N. Hai tiếp tuyến tại M và N cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác KMBN nội tiếp được trong một đường tròn. 3) Khi MN quay quanh A sao cho = . Chứng minh tứ giác AMPQ là hình chữ nhật . Bài 4: Cho tam giác ABC ( AC > AB và có ba góc nhọn) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác tia AH cắt đường tròn tại E, vẽ đường kính AF. 1) Chứng minh EF song song với BC. 2) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành . 3) Vẽ OL vuông góc với BC tại I. Chứng minh 3 điểm H,I,F thẳng hàng . Bài 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) , ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến Mx của đường tròn đó. Mx cắt đường tròn (O) lần lượt tại A và B . 1) Chứng minh hai góc MTA và MBT bằng nhau . 2) Chứng minh MT2 = MA. MB 3) Cho MT = 20 cm và đường thẳng MAB quay quanh M . Hảy tính bán kính của đường tròn (O) khi MAB đi qua tâm O và MB = 50 cm. Bài 6: Cho đường tròn (O; R) , hai dây AD và CD vuông góc với nhau tại I (AD không phải là đường kính). CD là đường kính. 1) Chứng minh tam giác AIC đồng dạng với tam giác DIB. 2) Kẻ đường kính AM, chứng minh BM // CD . 3) Khi I chạy trong đường tròn ( O ; R). Chứng minh tổng: IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = R2 Bài 7: Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn ( O ; R). Trên cung nhỏ BC. Lấy điểm M tùy ý ( M khác B và C). Dây DM cắt AB tại I. 1) Chứng minh IA.IB = ID.IM 2) Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MB. Chứng minh rằng MD song song với NB 3) Chứng tỏ rằng Khi M di động trên cung nhỏ BC thì N di động trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn này. Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d ) cắt (O) tại 2 điểm A,B. Từ một điểm M trên (d) kẻ các tiếp tuyến MN,MP với (O ) (N và P là các tiếp điểm) .a) Chứng minh rằng và đường tròn ngoại tiếp MNP đi qua 2 điểm cố định khi M di động trên (d). b ) Gọi I là giao điểm của OM và (O ). Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp MNP. c) Xác định vị trí của M để MNOP là hình vuông. Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, CD là một dây cung di động trên nửa đường tròn đó sao cho (A,C,D,B) theo thứ tự ấy trên nửa đường tròn, C và D không trùng với A và B. 1) Tính số đo của góc COD. AC cắt BD tại F, tính số d0o của góc AFB. 2) Xác định vị trí của CD để tứ giác FCOB nội tiếp được. 3) Tìm tập hợp ( quỹ tích) trung điểm I của CD. 4) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc DEB và AFB. Chứng minh E KFK . Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, (AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với đường thẳng AD ( E AD) a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chứng minh CH là tia phân giác củagóc ACE. Bài 11: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R, Tứ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với (O). Từ một điểm M trên (O) kẻ tiếp tuyến với (O), Cắt Ax tại P và cắt By tại Q. 1) Chứng minh tứ giác APMO npội tiếp được . 2) Chứng minh PQ = AP + BQ . 3) AM cắt By tại và BM cắt Ax tại . Chứng minh A. B = 4R2 . Bài 12: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên cung AB lấy điểm C, gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn tại C và tại A. 1) Chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp trong một đường tròn. 2) Cho AB = 10cm, AM = 7 cm, tính diện tích tứ giác AOCM. Bài 13: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC). Vẽ hai đường cao AH và BI. 1) Chứng minh tam giác HIC là tam giác cân. 2) Góc BAC bằng bao nhiêu độ thì HI song song với AB? 3) Từ I vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng cắt BC tại M và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh ME + MI = 2AH . Bài 14: Cho đường tròn ( O ; R), AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau. Trên cung BD lấy một điểm M, tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt đường thẳng AB ở E. Dây CM cắt AB ở S. 1) Chứng minh ES = EM . 2) Chứng minh SA . SB = SC . SM. 3) Khi R = 3cm và . Tính CM. Bài 15: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C). M là điểm trên cung nhỏ AB ( M B). Kéo dài AM về phía ngoài (C) một đoạn MN = NB . 1) Khi M di động trên cung nhỏ AB ( M A ; M B) tìm tập hợp điểm N . 2) Từ điểm I tùy ý thuộc đoạn BC ( I B ; I C) kẻ IF // AB ; IE // AC ( F AC ; E AB). Định vị trí điểm I trên cạnh BC để diện tích hình bình hành AEIF đặt giá trí lớn nhất. Bài 16: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC kẻ ME BC ( E AB ; F BC). Xác định vị trí của M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Bài 17: Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn ( O) và M là một điểm trên cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB . a) Chứng minh tam giác MBD là tam giác đếu. b) Gọi E là giao điểm của BD và AC ; N là giao điểm của AM và BC. Chứng minh tứ giác CEDN nội tiếp được đường tròn. c) Chứng minh MB + MC lớn nhất khi AM là đường kính của đường tròn (O) . Bài 18: Gọi AB và CD là 2 đường kính cố định vuông góc nhau của đường tròn (O;R) . mlà một điểm di động trên cung nhỏ BD. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt các đường thẳng AB và CD lần lượt tại E và F. CM cắt AB tại S. a) Chứng tỏ ES = EM và b) Xác định sao cho MF = 3 ME. Trong trường hợp này tính diện tích EMS. Bài 19: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có 3 đường cao là AA, , BB,, CC, gặp nhau ở H . 1) Chứng minh A,A là tia phân giác của góc B,A,C, 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh AO B, C, 3) Gọi A1 , B1 , C1 . lần lượt là các giao điểm đôi một của 3 tiếp tuyến tại B,C, A của (O) và AA, , BB,, CC, lần lượt cắt đường tròn ở A2, B2. Chứng minh tam giác A1B1C1 đồng dạng với tam giác A2B2C2 .