Ôn thi đại học Vật lý - Tìm biên độ dao động điều hòa và điều kiện về biên độ

GIúP BạN Tự ÔN THI ĐạI HọC Tìm biên độ dao động điều hòa và điều kiện về biên độ Đặng Đình Tới (Khối Chuyên Lý ĐHKHTN - ĐHQG HN) Trong các bài toán về dao động điều hòa (DĐĐH), một trong những câu hỏi th−ờng gặp là phải tìm biên độ dao động và những đại l−ợng liên quan đến biên độ. Mức độ khó hơn là phải tìm điều kiện của biên độ thoả mãn một yêu cầu nào đó. Theo định nghĩa: biên độ là giá trị cực đại của li độ và cũng chính là khoảng cách từ vị trí cân bằng đến các vị trí biên. Để tìm biên độ dao động, có một số ph−ơng pháp sau đây th−ờng đ−ợc sử dụng: 1) Khi biết điều kiện ban đầu, chẳng hạn li độ x0 và vận tốc v0 ở thời điểm ban đầu t = 0, ta có hệ ph−ơng trình: 0 0 .sin= ϕ =  = ω ϕ = x A x v Acos v . Giải hệ này tìm đ−ợc A và ϕ . 2) Khi biết năng l−ợng dao động E hoặc biết vận tốc cực đại maxv , hoặc biết vận tốc v của vật ở li độ x thì th−ờng sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 = ω = + = maxE m A mv kx mv 3) Nếu đã biết độ biến dạng ban đầu của (các) lò xo. Khi đó cần dựa vào ph−ơng trình cân bằng để tính độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng (VTCB). Từ các độ biến dạng đó suy ra li độ của vật lúc ban đầu. Ta cũng có thể gặp những bài toán phối hợp các điều kiện trên với nhau. Ph−ơng pháp tìm điều kiện về biên độ dao động Để tìm điều kiện về biên độ dao động thì cần xét xem có một lực F nào đó phải lớn hơn hay nhỏ hơn một giá trị xác định 0F ở mọi thời điểm t, rồi dựa vào ph−ơng trình định luật II Newton để suy ra biểu thức của lực ấy phụ thuộc vào thời gian. Bất ph−ơng trình 0FF ≥ hoặc 0FF ≤ cần đúng với mọi thời điểm t sẽ cho ta điều kiện của biên độ cần tìm. D−ới đây là một số bài tập minh họa. Trong các bài tập này chúng ta đều coi ma sát là nhỏ để có thể bỏ qua, chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều d−ơng đ−ợc chỉ trên các hình vẽ. Lấy 2/10 smg = . Bài 1: Hai vật m = 200 g và M = 100 g nối với nhau bởi lò xo nhẹ có độ cứng k = 80N/m. Hệ đ−ợc treo thẳng đứng nhờ một sợi dây không dãn gắn vào vật M nh− hình 1. 1) Vật m đ−ợc kéo xuống d−ới theo ph−ơng thẳng đứng đến vị trí mà lò xo giãn là 4,5 cm rồi tại thời điểm t = 0 truyền cho m vận tốc 40 cm/s h−ớng về VTCB thì vật dao động điều hòa. Viết ph−ơng trình dao động và tìm vận tốc trung bình trong một chu kỳ dao động. Hình 1 M + m O 2) Biên độ dao động của m phải thỏa mãn điều kiện nào để sợi dây treo M luôn căng? Giải. 1) Ph−ơng trình dao động có dạng ( )ω ϕ= +sinx A t , với = =/ 20 /k m rad sω . ở VTCB, lò xo dãn ∆ = = =/ 0,025 2,5l mg k m cm . Nh− vậy ở thời điểm ban đầu t = 0 vật có li độ x0 = - 2cm, và có vận tốc ban đầu scmv /400 = . Ta có hệ ph−ơng trình: 2 2 2 20 cos 40 / / 4 x Asin cm A cm v A cm s ϕ ϕ ϕ pi = = − = →  = = = −  Vậy ph−ơng trình dao động của m là: ( )( )= −2 2 sin 20 / 4x t cmpi . * Trong một chu kỳ dao động ω pi2 == Tt vật đi đ−ợc quãng đ−ờng là s = 4A, do đó vận tốc trung bình ( )= =/ 80 2 / /v s t cm spi . 2) Sợi dây luôn căng thì M sẽ đứng yên (cân bằng). Gọi T là lực căng dây. Ta có = +T Mg F với F là lực đàn hồi của lò xo khi vật có li độ x: )sin()( ϕω∆ +−=−= tkmgxlkF . Tại mọi thời điểm phải có điều kiện: ( ) ( ) 0,T M m g kAsin t tω ϕ= + − + ≥ ∀ Để bất đẳng thức trên đúng với mọi thời điểm t, chỉ cần nó đúng với giá trị nhỏ nhất ở vế trái, điều này xảy ra khi 1)sin( =+ ϕωt . Vậy ( )+ − ≥ → ≤ + = =0 ( ) / 0,0375 3,75M m g kA A M m g k m cm Bài 2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật khối l−ợng m = 400 g treo vào một lò xo nhẹ có độ cứng k. Tại thời điểm t = 0 vật có li độ cmx 10 += và vận tốc scmv /250 −= . Biết vật dao động điều hòa theo ph−ơng thẳng đứng với năng l−ợng là E = 25 mJ. 1) Tìm độ cứng của lò xo và viết ph−ơng trình dao động. 2) Điểm treo lò xo (điểm Q) chỉ chịu đ−ợc lực kéo tối đa là 9N. Tìm điều kiện về biên độ dao động để lò xo không bị tuột khỏi Q. Giải: 1) ở mọi thời điểm t, kể cả t = 0, cơ năng gồm tổng của động năng và thế năng − = + → = = 2 2 2 2 2 250 / 2 2 o o o o kx mv E mv E k N m x Ph−ơng trình dao động có dạng ( )sinx A tω ϕ= + , với = =/ 25 /k m rad sω . Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta có : sin 1 2 25 cos 25 / 3 / 4 o o x A cm A cm v A cm s ϕ ϕ ϕ pi = =  = →  = = − =  Vậy ph−ơng trình dao động là ( )( )2 sin 25 3 / 4x t cmpi= + . 2) Lực kéo của lò xo lên điểm Q có độ lớn bằng lực đàn hồi của lò xo. Nh− vậy ( ) ( ) ,oF k l x mg kAsin t F tω ϕ= ∆ + = + + ≤ ∀ Lập luận nh− trong Bài 1 ta có: ≤ − =( ) / 2,6 o A F mg k cm . Bài 3. Cho hệ nh− hình 2. Ròng rọc, lò xo, dây nối xem là lý t−ởng. Mặt phẳng nghiêng hợp với ph−ơng ngang một góc 030=α . Các khối l−ợng gm 6001 = , gm 4002 = , còn độ cứng k = 100 N/m. Đ−a vật 1m về vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ ra thì hệ dao động điều hoà. 1) Viết ph−ơng trình dao động và tìm biểu thức của lực căng dây. 2) Khi hệ đang đi qua VTCB thì dây tuột khỏi 1m . Tìm chu kỳ và biên độ dao động của hệ còn lại. Giải: 1) ở VTCB, lò xo bị dãn l∆ . Xét thời điểm t bất kỳ, gọi lực căng dây là T , áp dụng định luật II Newton cho mỗi vật, ta đ−ợc: + Vật 1m : amTxlkgm 11 )(sin =−++ ∆α + Vật 2m : amgmT 22 =− Cộng hai ph−ơng trình trên với nhau và l−u ý rằng tại vị trí cân bằng 0sin 21 =+− lkgmgm ∆α , ta đ−ợc: ammkxlkgmgm )(sin 2121 +=−+− ∆α 02 =+′′→ xx ω với = + = 1 2 /( ) 10 /k m m rad sω . Nghiệm của ph−ơng trình vi phân trên là ( )sinx A tω ϕ= + . Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta có: sin 0,01 0,01 cos 0 / 2 x A l m A m v A ϕ ω ϕ ϕ pi = = ∆ = =  →  = = =  Vậy, ph−ơng trình dao động là: ( )( )= +0,01sin 10 / 2x t mpi . * Để tìm biểu thức của lực căng ta dựa vào định luật II Newton cho 2m : amgmT 22 =− với ( )2" sina x A tω ω ϕ= = − + hay ( ) ( )( )22 2 sin 4 0,4sin 10 / 2T m g m A t t Nω ω ϕ pi= − + = − + 2) Sau khi dây tuột khỏi 1m thì 1m sẽ dao động với chu kỳ: m1 m2 α k + O Hình 2 O + s k m 48,02 1 == piτ . Lúc dây bị tuột thì vật 1m đang có vận tốc smAvv /1,001,0.10max1 ==== ω và lò xo đang dãn là 0,01l m∆ = . Tại VTCB mới của 1m thì lò xo bị nén mkgml 03,0/)sin( 11 == α∆ hay lúc dây bị tuột vật 1m ở cách VTCB mới một đọan mx 04,01 = . Theo định luật bảo toàn cơ năng, biên độ mới 1A của 1m thoả mãn điều kiện: m k vm xAvmkxkA 041,0 222 2 112 11 2 11 2 1 2 1 =+=→+= bài tập tự ôn luyện 1. Một lò xo có khối l−ợng không đáng kể, một đầu gắn vào điểm A cố định, đầu còn lại gắn vào vật có khối l−ợng m = 300 g. Vật có thể chuyển động không ma sát dọc theo một thanh cứng Ax nghiêng một góc 030=α với ph−ơng ngang (hình 3). Đẩy vật xuống d−ới VTCB đến vị trí lò xo nén 3 cm rồi thả nhẹ thì vật dao động điều hoà với năng l−ợng E = 30 mJ. Viết ph−ơng trình dao động. ĐS: ))(2/510sin(2 cmtx pi+= 2. Cho một con lắc lò xo thẳng đứng nh− hình 4. Vật m = 250 g, lò xo có độ cứng k = 100N/m. Từ VTCB ng−ời ta truyền cho vật vận tốc 50 cm/s h−ớng theo chiều d−ơng thì vật dao động điều hòa. a) Viết ph−ơng trình dao động. b) Giả sử khi m đi đến vị trí thấp nhất thì ng−ời ta đặt nhẹ nhàng một vật gm 1500 = lên trên vật m. Tìm biên độ dao động của hệ mới. Biên độ của hệ mới phải thỏa mãn điều kiện nào thì 0m không rời khỏi m trong quá trình hệ dao động. ĐS: a) ).(20sin5,2 cmtx = b) 1 1 2 1A l l cm= ∆ − ∆ = ; ( )21/ / 4oA g m m g k cmω≤ = + = . O Hình 4 m + A k m Hình 3 α x O