Ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học Chuyên đề 5 - phần hình học I. Tam giác vuông *Dạng1. Tính độ dài trung truyến, phân giác từ đỉnh góc vuông. Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại C, AB = 7,5cm;
A = 58025'. Từ C kẻ phân giác CD và trung truyến CM. a. Tính độ dài các cạnh CA và CB b. Tính độ dài đ−ờng trung tuyến CM và phân giác CD. c. Tính diện tích ∆ABC và ∆CDM. Lời giải a, AC = AB.CosA = 7,5.Cos58025' ≈ 3.928035949(cm) CB = AB.SinA = 7,5.Sin58025'≈ 6.389094896(cm) b, CM = AB/2 = 7,5:2 = 3,75 Từ A kẻ AE // CD (E ∈ BC) ⇒  DCA CAE= = 450(so le trong) ⇒ ∆CAE vuông cân tại C ⇒ CE = CA Mặt khác CD // EA ⇒ ∆BEA ∼ ∆BCD ⇒ CD BC EA.BCCD EA BE BE = ⇒ = ⇒ CD = 2.CA.BC 2.AB.cosA.AB.sinA 2AB.sin A.cos A BC CA AB.si n A AB.cos A sin A cos A = = + + + = 0 0 0 0 2.7,5.sin 58 25'.cos58 25' sin 58 25' cos58 25'+ ≈ 3,440098294 (cm) c, Ta có: ACD ABC S AD.AH AD S AB.AH AB ∆ ∆ = = mà AD EC AB EB = ⇒ ACD ABC S S ∆ ∆ = EC CA ABcos A cos A EB CA CB ABcos A ABsin A cos A sin A = = = + + + Trong đó: S∆ABC = 21 1 1CA.CB AB.cos A.AB.sin A AB .cos A.sin A 2 2 2 = = ≈ 12.54829721(cm2). ⇒ S∆ACD = cos A cos A sin A+ . S∆ABC = 2 2AB cos A.sin A 2(cos A sin A)+ ⇒ S∆CDM = 1 2 S∆ABC - S∆ACD = 21 AB .cos A.sin A 4 - 2 2AB cos A.sin A 2(cos A sin A)+ ≈ 1,496641828 (cm 2) Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 14,25cm; AC = 23,5cm. AM và AD theo thứ tự là trung tuyến và phân giác của tam giác. a. Tính BD và CD b, Tính diện tích tam giác ADM Lời giải a, BC = 2 2AB AC+ mà áp dụng tính chất đ−ờng phân giác ta có: AB DB DB AC DC BC DB = = − ⇒ DB = AB.BC AB AC+ = 2 2AB AB AC AB AC + + ⇒ DB = ( ) ( )2 214,25 14,25 23,5 14,25 23,5 + + ≈ 10,37435833 ⇒ DC = BC - DB ≈ 17,10859093 b, Ta có: ABD ADC S DB.AH DB AB S DC.AH DC AC ∆ ∆ = = = mà S∆ABD = S∆AMB - S∆ADM = 1 2 S∆ABC - S∆ADM S∆ADC = S∆AMC + S∆ADM = 1 2 S∆ABC + S∆ADM ⇒ ABC ADM ABC ADM S 2S AB S 2S AC ∆ ∆ ∆ ∆ − = + ⇒ S∆ADM = ABCS (AC AB AB.AC(AC AB) 2(AC AB) 4(AB AC) ∆ − − = + + E H M D B C A D M B C A Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học ⇒ S∆ADM = 23,5.14,25(23,5 14,25) 4(23,5 14,25) − + ≈ 20,51386589 *Dạng2. Tính độ dài trung truyến, phân giác từ đỉnh góc nhọn. Bài 1. Cho ∆ABC (
A =900), AB = 3 , ACB = 600. Các đ−ờng phân giác BM và CN cắt nhau tại I a. Tính BM và CN b, Tính diện tích ∆IMN Lời giải a. AC = AB tgC mà NC = AC C cos 2 = AB C tgC.cos 2 = 0 0 3 tg60 .cos30 ≈ 1,154700538 (cm) (

0 0B 90 C 30 )= − = ⇒ BM = 0 0 AB 3 3 B 30 Cos15cos Cos 2 2 = = ≈ 1,793150944 (cm) b, S∆IMN = S∆NMC - S∆IMC = 1 1 AN.MC r.MC 2 2 − (r là bán kính đ−ờng tròn nội tiếp tam giác ABC): S∆ABC = p.r ⇒ 1 AB AC BC AB.AC AB.AC .r r 2 2 AB AC BC + + = ⇒ = + + ⇒ S∆IMN = 1 2 (AN - AB.AC AB AC BC+ + ).(AC - AM) = 1 2 (ACtg300 - AB.AC AB AC BC+ + )(AC - ABtg150) (trong đó AC = 1, BC = 2, AB = 3 ) = 1 2 (tg300- 0 3 )(1 3tg15 ) 3 3 − + = 0,056624327 (cm2) Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516 a, Tính góc B (độ, phút, giây) b, Tính đ−ờng cao AH c, Độ dài phân giác CI Lời giải a, CosB = AB 4,6892 BC 5,8516 = ⇒
B = 36044'25,64" b, AH = AB.sinB = 2,805037763 c, IC = 2 2 0 AC AC AB C 90 BCos Cos 2 2 − = − = 3,915754262 Bài 3. Gọi G là trọng tâm ∆ABC vuông tại A, AB =23,82001, AC = 29,1945. Gọi A', B' C' lần l−ợt là hình chiếu của G xuống các cạnh BC, AC, AB. Gọi S và S' là diện tích hai tam giác ABC và A'B'C' a, Tính S'/S (=2/9) b, Tính S' (≈ 77,26814244) Lời giải a, Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) ⇒ GA' = 1 3 AH = h 3 ; GB' = 1 3 AB; GC' = 1 3 AC Mặt khác S∆A;B'C' = S∆GA'B' + S∆GA'C' + S∆GB'C' = 1 2 (GA'.GB'.sin(A'GB') + GA'.GC'.sin(A'GC') + GB'.GC') = 1 2 ( 1 3 . 1 3 h.AB.sinC + 1 3 . 1 3 h.AC.sinB + 1 3 . 1 3 AB.AC) = 1 18 (h.ABsinC + h.ACsinB + AB.AC) = 1 18 (HB + HC + AB.AC) N I M B A C I H B A C H A' C' B' G B A C Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học = 1 18 (BC.h + AB.AC) = 1 9 (S∆ABC + S∆ ABC) = ABC 2 S 9 ∆ ⇒ A'B 'C ' ABC S 2 S 9 ∆ ∆ = b, S∆A'B'C' = ABC 2 S 9 ∆ = 1 9 AB.AC = 1 9 .23,82001.29,1945 ≈ 77,26814244 * Bài tập áp dụng Bài1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác AD và trung tuyến AM và đ−ờng cao AH (D, B, H ∈ BC) a. Cho AB = 3,74cm; AC = 4,51cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, AM và AH b. Cho BC = 8,916cm; BD= 3,178. Tính AB; AC, AM Bài2. Cho ∆ABC vuông tại A; AB = 2,75cm;
C = 37025'. Từ A kẻ các đ−ờng cao AH, phân giác AD và trung tuyến AM. (Đề thi Khu vực 2007) a. Tính độ dài các đoạn AH, AD, AM b. Tính diện tích ∆ADM Bài3. Cho ∆ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516 a, Tính góc B (độ, phút, giây) b, Tính đ−ờng cao AH c, Độ dài phân giác CI Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A. AB = 15, BC = 26 kẻ phân giác trong BD. Tính DC (D ∈ AC) Bài 5. Cho một tam giác vuông có độ dài hai cạnh tam giác vuông là 3 4 và 4 3 . Tính tổng bình ph−ơng độ dài các đ−ờng trung tuyến Bài 6. Cho hình vẽ: Biết \ AE = CD = 1,5cm \ ED = 10cm \  0 0KBA 45 39'; KBC 51 49 '12"= = a, Tính gần đúng BH b, Tính diện tích ∆ABC Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại B. cạnh BC = 18,6cm. Hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính CN II. Tam giác th−ờng Tính cạnh, phân giác trong, trung tuyến, diện tích trong tam giác. Bài1. Cho ∆ABC,
B = 1200, AB = 6cm, BC =12cm. Kẻ phân giác BD (D ∈ AC) a. Tính độ dài đ−ờng phân giác BD b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC. c. Tính diện tích ∆ABD. Lời giải a, Qua A kẻ AE // BD cắt BC tại E ⇒ ∆ABE đều ⇒ AB = AE = BE = 6cm. Vì BD // AE ⇒ BD CB AE CE = ⇒ BD = AE. CB CE = AB. CB CB BE+ = AB.CB CB AB+ ⇒ BD = 6.12 4 6 12 = + cm. b, B ABD ABC B 1 h .ADS AD EB AB 6 12 1S AC EC AB BC 6 12 3h .AC 2 ∆ ∆ = = = = = = + + c, S∆ABC = 1 2 hA.BC = 1 2 AB.sin600.BC = 1 2 6.12.Sin600 ≈ 31,17691454 (cm2) C B A E K H D 600600 _ / \ E DA C B Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học ⇒ S∆ABD = ABC 1 S 3 ∆ ≈ 10,39230485(cm2) Bài2. Cho ∆ABC; AB = 4,71cm; BC = 6,26cm; AC = 7,62cm. Phân giác trong BD a. Tính độ dài đ−ờng cao BH, trung tuyến BM của góc B. b. Tính diện tích ∆BHD. Lời giải a, +) Tính độ dài đ−ờng cao BH. S∆ABC = 1 2 AC.BH = ( )( )( )− − −p p a p b p c ⇒ h = BH = 2 ( )( )( ) .AC − − −p p a p b p c = 3,863279635(cm) +) Tính độ dài đ−ờng trung tuyến BM . Theo định lý Pitago trong tam giác vuông HBC ta có: BC2 = HB2+ HC2 = HB2 + (HM + MC)2 = HB2 + ( AC 2 + HM)2 AB2 = HB2 + HA2 = HB2 + (MA - HM)2 = HB2 + ( AC 2 - HM)2 ⇒ AB2 + BC2 = 2HB2 + 2AC 2 + 2HM2 = 2(HB2 + HM2) + 2AC 2 = 2BM2 + 2AC 2 ⇒ BM = 2 2 2AB BC AC 2 2 4 + − ≈ 4,021162767(cm) b, Tính diện tích tam giác BHD AH2 = AB2 - BH2 = AB2 - 2 2 2AB BC AC 2 2 4 + − ⇒ AH = 2 2 2AB BC AC 2 2 4 − + Mặt khác. Do AD là tia phân giác ⇒ BA DA BA DA BA DA BC DC BC BA DC DA BC BA AC = ⇒ = ⇒ = + + + ⇒ DA = AC.AB BC BA+ ⇒ HD = DA - AH = AC.AB BC BA+ - 2 2 2AB BC AC 2 2 4 − + ⇒ S∆BHD = 1 2 BH.HD = ( )( )( ) .AC − − −p p a p b p c .( AC.AB BC BA+ - 2 2 2AB BC AC 2 2 4 − + ) ≈ 1,115296783 cm2 Bài3. Tính diện tích ∆ABC biết AB = 18cm,


2 1A B C 3 2 = = Lời giải áp dụng định lý về tổng ba góc trong một tam giác ta có:


0A B C 180+ + = mà theo giả thiết


2 1A B C 3 2 = =

0 0 9 A 180 A 40 2 ⇒ = ⇒ = ⇒

0 0B 60 ,C 80= = Kẻ hai đ−ờng cao BH và CD khi đó: BH = ABsinA và BC = BH ABsin A sin C sin C = ⇒ S∆ABC = 1 2 AB.CD = 1 2 AB.BC.sinB = 2AB sin Asin B 2sin C ≈ 91,57178586 (cm2) * Bài tập áp dụng Bài1. Tam giỏc ABC cú cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và ủường cao AH = h = 2,75cm. (Đề thi khu vực năm 2007) D M B A CH 18cm H C A BD Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học a, Tớnh cỏc gúc A, B, C và cạnh BC của tam giỏc. (B = 57o47’44,78”, C = 45o35’4,89”, A= 76o37’10,33”) b, Tớnh ủộ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC) c, Tớnh diện tớch tam giỏc AHM. (gúc tớnh ủến phỳt ; ủộ dài và diện tớch lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phõn Bài 2. Cho ∆ABC có đ−ờng cao AH = 12,341. Các đoạn thẳng BH = 4,183, CH = 6,748. a. Tính diện tích tam giác b. Tính góc A(độ, phút, giây) Bài 3. Cho ∆ABC có đ−ờng cao AH = 21,431cm, các đoạn thẳng HB = 7,384cm, HC = 9,318cm a, Tính các cạnh AB và AC (AB ≈ 22,66740428; AC ≈ 23,36905828 b, Tính diện tích ∆ABC (S ≈ 178,9702810) c, Tính góc A(độ, phút, giây) (
A ≈ 42030'37") Bài 4. Cho ∆ABC có AB =1,05; BC = 2,08; AC = 2,33. a, Tính diện tích ∆ABC (S ≈ 1,0920) b, Tính đ−ờng cao BH (≈ 0,9383) Bài 5. Cho ∆ABC có BC =10, đ−ờng cao AH = 8. Gọi I và O lần l−ợt là trung điểm của AH và BC. Tính diện tích các tam giác IOA và IOC Bài 6. Tam giỏc ABC cú cạnh BC = 9,95 cm, gúc  0114 43'12"ABC = , gúc  020 46 '48"BCA = . Từ A vẽ cỏc ủường cao AH, ủường phõn giỏc trong AD, phõn giỏc ngoài AE và ủường trung tuyến AM. a) Tớnh ủộ dài của cỏc cạnh cũn lại của tam giỏc ABC và cỏc ủoạn thẳng AH, AD, AE, AM. b) Tớnh diện tớch tam giỏc AEM. III. Tam giác đều - Đ−ờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp Bài1. Cho tam giác ABC đều cạnh a = 3,36cm . a, Tính độ dài đ−ờng cao, tính diện tích tam giác. b. Tính bán kính đ−ờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều. c, Tính miền diện tích tạo bởi (O;r) và ∆ABC và miền diện tích tạo bởi (O;R) và ∆ABC Lời giải a. Gọi AH là đ−ờng cao hạ từ A xuống cạnh BC ⇒ AH = 2 2 2 2 AB 3 3AB BH AB AB a 2 2 2   − = − = =    ≈ 2,909845357 (cm) S∆ABC = 1 2 AH.BC = 1 2 . 3 a 2 .a = 2 3 a 4 ≈ 4.888540199 (cm2) b. Gọi O là giao của 3 đ−ờng trung tuyến trong tam giác đều, R và r lần l−ợt là bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC: R = OA = 2 2 3 3 .AH . a a 3 3 2 3 = = ≈ 1,939896904 (cm) r = OH = 1 1 3 3 .AH . a a 3 3 2 6 = = ≈ 0,969948452 (cm) c, +) Gọi S1 là phần diện tích giới hạn bởi (O;r) và ∆ABC ⇒ S1 = S∆ABC - S(O; r) = 23 a 4 - pi r2 = 2 3 a 4 - 2 1 a 12 pi ≈ 6.82147003 (cm2) +) S2 là phần diện tích giới hạn bởi (O; R) va ∆ABC ⇒ S2 = S(O; R) - S∆ABC = pi R 2 - 2 3 a 4 = 2 1 a 3 pi - 2 3 a 4 = 2,045361075 (cm2) r R O A H B C Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học Bài2. Tính diện tích tam giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đ−ờng tròn (O; R); với R = 4,25 cm Lời giải +) Tính diện tích ∆ABC đều ngoại tiếp đ−ờng tròn(O; R) Gọi ∆ABC và ∆A'B'C' lần l−ợt ngoại tiếp và nội tiếp đ−ờng tròn (O; R) Trong ∆ABC ba trung tuyến AE, BM và CN cắt nhau tại O ⇒ OE = R = 1 AE 3 = 1 3 3 . BC BC 3 2 6 = ⇒ BC = 2 3R ⇒ S∆ABC = 1 2 AE.BC = 1 2 .3R.2 3R = 23 3R ≈ 93,85550314 (cm2) +) Tính diện tích đều ∆A'B'C' nội tiếp (O; R) S∆A'B'C' = 1 2 B'C'.hA' = 1 2 BC 2 . AE 2 = 1 2 . 3R . 3R 2 = 3 3 4 R2 ≈ 23,46387578 (cm2) * Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức: S∆ABC = abc 4R ; S∆A'B'C' = pr Bài3. Cho ∆ABC; BC = 8,571cm; AC= 6,318cm; AB = 7,624cm a. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC. b. Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài ∆ABC Lời giải a, áp dụng công thức Hêrông ta có: S∆ABC = ( )( )( )− − −p p a p b p c ⇒ S ≈ 23,28705703 (cm2) Mặt khác: S = abc abc R 4R 4S ⇒ = = 4,43220058 (cm) b, Gọi S' là phần diện tích hình tròn nằm ngoài ∆ABC ⇒ S' = pi R2 - ( )( )( )− − −p p a p b p c = 38,42765192 (cm2) Quy trình ấn phím liên tục: 8,571 SHIFT STO A ; 6,318 SHIFT STO B ;7,624 SHIFT STO C ấn tiếp: ( ALPHA A ALPHA B ALPHA C ) 2 SHIFT STO D+ + ữ ấn tiếp: ( ALPHA D ( ALPHA D ALPHA A ) ( ALPHA D ALPHA B )− − ( ALPHA D ALPHA C ) ) SHIFT STO E− ta tìm đ−ợc diện tích ∆ABC ấn tiếp: ALPHA A x ALPHA B x ALPHA C ( 4 ALPHA E ) SHIFT STO Fữ ta tìm đ−ợc R ấn tiếp: 2SHIFT EXP x ALPHA F x ALPHA E− = Kết quả tìm đ−ợc S' Bài4. Từ ủiểm M nằm ở ngoài ủường trũn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với ủường trũn. Biết AOB = 1200 và R = 4,23cm a. Tính diện tích tứ giác AOBM b. Tính diện tích miền trong tứ giác (phần màu trắng) Lời giải a, SAOBM = 2.S∆AOM = AO.AM = R. R.tg(AOM) = R2.tg600 ≈ 31,43256524 (cm2) b, Gọi S' là diện tích phần mầu trắng nằm trong tứ giác AOBM. Diện tích phần hình quạt nằm trong tứ giác AOBM là: 120.2 2 360 3 pi pi = ⇒ S' = R2tg600 - 2 3 pi ≈ 29,33817013 (cm2) Bài 5. a, Một tam giác có chu vi là 49,49cm, các cạnh tỷ lệ với 20:21:29. Tính bán kính đ−ờng tròn nội tiếp. ( r ≈ 4,242) Lời giải R D B C A R O M B A B A C N C' B' A' M E O Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học Theo giả thiết ta có: a b c a b c 49, 49 20 21 29 20 21 29 70 + + = = = = + + ⇒ a = 14,14cm ; b = 14,847cm; c = 20,503cm áp dụng công thức: r = S (p a)(p b)(p c) p p − − − = = 4,242 (cm) Bài 6. Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh, nội tiếp trong đ−ờn tròn bán kính R = 5,712cm Lời giải Ta phải tính độ dài đoạn thẳng AC. Kẻ OH ⊥ AC tại H ∈ (AC) khi đó    0 01 1 1 1 360OAH CAD . sđCD . 18 2 2 2 4 5 = = = = ⇒ AC = 2AH =2.(OA.cos180) = 2.5,712.cos180 ≈ 10,86486964 (cm) Bài7: Cho tam giác ABC cân tại C; k AB AC = ( k ≠ 1) Vẽ các phân giác CM, AN, BP. Chứng minh 2 1       += k k S S MNP ABC áp dụng tính SABC biết SMNP là 2,3456 cm 2 và k = 1,2345 Lời giải Gọi PN ∩ CM = H ; Đặt CM = h, MH =h1 . áp dụng tính chất đ−ờng phân giác Ta có: AC NC NC k CB NB NB = ⇒ = Mà ∆ABC cân ⇒ ∆PAB = ∆NBA(g.c.g) ⇒ PA = NB ⇒ NP //AB ⇒ NP ⊥ CM ⇒ HC k HM = ⇒ 1 1 1 h h hk k 1 h h − = ⇒ = + (*) Mặt khác 1 1 h h hPN CH PN 1 k1 1 AB CM h AB h k 1 k 1 − = = ⇒ = − = − = + + ⇒ AB k 1 PN k + = (**) Từ (*) và (**) ⇒ 22 ABC MNP 1 S h.AB (k 1) 1k S h .NP k k ∆ ∆ +   = = = +    (đpcm) áp dụng: SMNP là 2,3456 cm 2 và k = 1,2345 ⇒ S∆ABC ≈ 9,486883702 (cm 2) Bài8. Cho ∆ABC đều cạnh a. MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp tam giác. M, N thuộc BC, P và Q t−ơng ứng thuộc AC và AB. a, Xác định điều kiện để MNPQ có diện tích lớn nhất. b, Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ trong tr−ờng hợp: a = 18,17394273 Lời giải Gọi H là hình chiếu của A xuống cạnh BC, K là giao điểm của AH với PQ Đặt AK= x; PQ = y. AH = h; Ta có SABC = SAQP + SBQPC ⇒ ah 2 = xy 2 + (y a)(h x) 2 + − ⇒ ah = xy + yh - xy + ah - ax ⇒ yh = ax ⇒ y = ax h . Vậy SMNPQ = = y.(h - x) = (h - x). ax h = a h x(h - x) mà x(h - x) lớn nhất khi x = h - x ⇒ x = h 2 a, MNPQ có diện tích lớn nhất khi P, Q là trung điểm của AC và AB b, max SMNPQ = a h x(h - x) = 2ah a 3 4 8 = ≈ 71,51035775 (đvdt) Bài9. Cho đ−ờng tròn tâm O đ−ờng kính AC, B là một điểm nằm trên đ−ờng tròn, H là hình chiếu của B lên AC D C B A O E H / / H G P N M A B C x K H A B C Q P NM Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học a, Xác định vị trí của B để diện tích tam giác OBH lớn nhất b, áp dụng tính khi R = 1,94358198 (cm) Lời giải Đặt BH = h, AH = x (0 < x ≤ R, 0 < h ≤ R) Tacó: h2 = AH.HB = x(2R- x) ⇒ h = x(2R x)− ⇒ SOBH = OH.HB (R x). x(2R x) 2 2 − − = Mặt khác: (R - x) x(2R x)− lớn nhất khi R - x = x(2R x)− ⇒ (R - x)2 = 2Rx - x2 ⇔ 2(R - x)2 = R2 ⇒ R - x = R 2 ⇒ OH = R 2 ⇒ h = 2 2OB OH− = R 2 ⇒ ∆BOH cân tại H a, Nếu B cách AC một khoảng R 2 thì SOBH đạt giá trị lớn nhất b, Max SOBH = 2HO.HB 1 R R R . . 2 2 42 2 = = ≈ 0,944377728 (cm2) Bài10. Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB = 2008 trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = 1004. Qua P kẻ cát tuyến PCD (C nằm giữa P và D) sao cho CD =1004 2 a, Tính độ dài đoạn thẳng PC và PD b, Tính độ dài các đoạn thẳng CA, AD, BD Lời giải a, Vì ∆PBC ∼ ∆PDA (g.g) ⇒ PB PC PD PA = ⇒ PA.PB = PC.PD ⇒ 1004.2008 = PC(PC + 1004 2 ) ⇔ PC2 + 1004 2 PC - 2016032 = 0 ⇒ PC = - 502 2 + 2520040 ≈ 877,5281771 ⇒ PD ≈ PC + CD = - 502 2 + 2520040 + 1004 2 = 502 2 + 2520040 ≈ 2297,398597 b, Ta tính đ−ờng trung tuyến DA trong ∆PDO. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 PD DH PH DH (PA AH) (AH AO) OD DH OH DH (AH AO) = + = + + = +   = + = + −  ⇒ PD2 + OD2 =2DH2 + 2AH2 + 2AO2 ⇒ PD2 - AO2 = 2(DH2 + AH2) ⇔ 2AD2 = PD2 - AO2 ⇒ 2 2PD PAAD 2 − = ≈ 1461,168077 Gán: 502 2 + 2520040 SHIFT STO A ; 1004 SHIFT STO B sau đó tính AD ⇒ DB = 2 2AB AD− = 2 2 2 2 2 PD PA 9PA PD4PA 2 2 − − − = ≈ 1377,335054 Ta thấy: ∆PAC ~ ∆PDB ⇒ 2 2PA AC PA.DB PA 9PA PDAC . PD DB PD PD 2 − = ⇒ = = ≈ 601,9174896 * Bài tập áp dụng: Bài1. Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651cm. Tính bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp(qua 5 đỉnh) Bài2. Cho một tam giác nội tiếp một đ−ờng tròn. Các đỉnh của tam giác chia đ−ờng tròn thành ba cung có độ dài tỉ lệ 3:4:5. Tính diện tích tam giác đó Bài 3. Cho ∆ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm O, phân giác trong của góc A lần l−ợt cắt cạnh BC tại D và E. Giả sử AD = AE Hyy tính AB2 + AC2 theo R h x O CA B H H D BOP A C Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học IV. Tính cạnh, diện tích hình thang, hình chữ nhật, hình bình hành. Bài1. Biết diện tích hình thang vuông ABCD là 9,92cm2. AB = 2,25cm; ABD = 500. Tính độ dài các cạnh AD, DC, BC và số đo các góc ABC và BCD. Lời giải +) AD = AB.tg500 = 2,25.tg500 ≈ 2,681445583(cm). +) S = 0 AB DC 2S 2S .AD CD AB AB 2 AD ABtg50 + ⇒ = − = − ⇒ CD ≈ 5,148994081(cm) +) BC = 2 2 2 2 2 0 0 2S AD (DC AB) AB tg 50 2AB ABtg50   + − = + −    ≈ 3,948964054 (cm) +) tgC = 0 0 ABtg50 2S 2AB ABtg50 − ≈ 0,924957246 ⇒
C ≈ 42046'3,02" ⇒ CBD = 1800 - 500 - 42046'3,02" = 87013'56,98" Bài 2. Cho hình thang cân có hai đ−ờng chéo vuông góc với nhau nhau. Hai đáy có độ dài 15,34cm và 24,35cm. a. Tính độ dài cạnh bên của hình thang. b. Tính diện tích hình thang. Lời giải a, Gọi K,H lần l−ợt là trung điểm của AB và CD, O = AC ∩ BD ⇒ Vì ABCD là hình thang cân ⇒ ∆OAB cân tại O ⇒ OB =OA = AB 2 , T−ơng tự OC = OD = CD 2 ⇒ AD = BC = 2 2 2 2 AB CDOB OC 2 + + = ≈ 20,34991523 (cm) b, Vì AC ⊥ BD ⇒ SABCD = 1 2 AC.BD = 1 2 AC2 = 1 2 (OA + OC)2 = 1 4 (AB2 + CD2) ≈ 207,059525 (cm2) Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD nh− hình vẽ: a. Tính chu vi hình thang ABCD (54,68068285) b. Tính diện tích hình thang ABCD (166,4328443) c. Tính các góc còn lại của ∆ADC Lời giải a, Kẻ AE ⊥ CD ⇒ DE = AE.tg(DAE) = BC.tg330 ⇒ DC = DE + EC = BC.tg330 + AB Mặt khác: AD = 0 0 AE BC sin 57 sin 57 = ⇒ CABCD = AB + BC + CD + DA = 2.12,35 + 10,55 + 10,55tg33 0 + 0 10,55 sin57 ≈ 54,68068285 (cm) b, SABCD = AB DC AB AB DE .BC .BC 2 2 + + + = = 0 02AB BCtg33 2.12,35 10,55tg33 .BC .10,55 2 2 + + = ≈ 166,4328443 (cm2) c, AB 12,35 tg(CAE) BC 10,55 = = ⇒ CAE = 49019'39,69" ⇒ DAC = 82019'36,69" 500 2,25cmA D C B O A B D C 570 12,35cm 10,55cm A B CD E Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học tg(ACE) = BC 10,55 AB 12,35 = ⇒ ACE = 40030'20,31" Bài 4. Cho hỡnh thang ABCD(AD//BC) cú 2 ủường chộo cắt nhau tại O.Hai tam giỏc AOD và BOC cú diện tớch lần lượt là 3;2 .Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD. Lời giải Qua O kẻ đ−ờng thẳng vuông góc và cắt AD tại E, cắt BC tại F. 2 OAD 2 OBC S OE.AD OE S OF.BC OF = = ⇒ OE 2 OF 3 = = k ⇒ OE = kOF Đặt S∆AOD = S1; S∆BOC = S2; EF = h SABCD = S1 + S∆ODC + S2 + S∆OAB = S1+ (S∆CAD - S1) + S2 + (S∆BAD - S1) = S2 - S1 + S∆BAD + S∆CAD = S2 - S1 + h.AD h.AD 2 2 + = S2 - S1 + h.AD = S2 - S1 + (OE + OF)AD = S2 - S1 + (OE + OE k )AD = S2 - S1 + 12S + 1 2S k = S2 + S1 + 2. 3 2 S1 = 33 2 2 . 2 2 + + = 3 2 2 3 . 2+ + = 2 3 2 +    =5,007347938 (đvdt) Bài5. Một hình thoi có cạnh bằng 24,13cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25cm a. Tính các góc của hình thoi(độ, phút giây) (
A ≈ 30030'30,75";
B ≈ 149019'29,2") b, Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi( chính xác đến 4 chữ số thập phân) (S ≈ 194,9369057) Lời giải Kẻ BE ⊥ CD (E ∈ CD) a, SinC = BE 12,25 BC 24,13 = ⇒

C A= =30030'30,75" ⇒

B D= = 1800 -
C = 149029'29,2" b, Từ O kẻ OF ⊥ CD ⇒ OF là bán kính đ−ờng tròn nội tiếp hình thoi Dễ thấy OF = BE 2 (tính chất đ−ờng trung bình trong tam giác) ⇒ S(O) = pi (OF) 2 = pi 2BE 4 = 117,8588119 (cm2) Bài6. Cho đ−ờng tròn tâm O , bán kính 11,25 R cm= . Trên đ−ờng tròn đy cho, đặt các cung 90 , 120 o oAB BC= = sao cho A và C nằm cùng một phía đối với BO . a) Tính các cạnh và đ−ờng cao AH của tam giác ABC . b) Tính diện tích tam giác ABC (chính xác đến 0,01). Lời giải a) Theo hình vẽ: sđ AC = sđ BC - sđ AB = 1200 - 900 = 300. Tính các góc nội tiếp ta đ−ợc:ABC = 150; ACB = 450. Suy ra: BAC = 1200; CAH = 450; BAH = 750. Ta có: 2AB R= ; 3BC R= . Vì ∆ AHC vuông cân, nên AH HC= (đặt AH x= ). F E O A D CB F E D O A C B O A BC H Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học Theo định lí Pitago ta có: 2 2 2AH AB HB= − . Do đó: ( ) ( )2 22 3 2x R x R+ − = hay 2 22 2 3 0x R x R− + = . Suy ra: 1 3 2 R R x − = ; 2 3 2 R R x + = . Vì AH AC R< < , nên nghiệm 2 3 2 R R x + = bị loại. Suy ra: ( 3 1)2 2 RAC AH −= = . Gọi diện tích ABC∆ là S , ta có: 21 1 3 (3 3)3 2 2 2 4 R R RS AH BC R− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = . ấn phím: 11.25 Min ì 2 = MODE 7 2 (15.91) Vậy 15,91AB cm≈ . ấn tiếp phím: MR ì 3 = Kết quả:19.49 Vậy: 19,49BC cm≈ . ấn phím: MR ì [( 3 − 1 = ữ 2 = (5.82) Vậy 5,82AC cm≈ . ấn tiếp phím: MR ì [( 3 − 1 = ữ 2 = (4.12) Vậy: 4,12AH cm≈ . ấn tiếp phím: MR SHIFT 2x ì [( 3 − 3 = ữ 4 = Kết quả: 240,12S cm≈ . Bài7. (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn n−ớc Mỹ, 1972) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12. Vẽ đoạn AE với E là điểm trên cạnh CD và 5DE cm= . Trung trực của AE cắt , AE AD và BC tại , M P và Q . Tỷ số độ dài đoạn PM và MQ là: (A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21. Lời giải Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD. Ta có: MP MR MQ MS= . Vì RM là đ−ờng trung bình của tam giác ADE nên 2 DEMR = . Mà: MS RS MR= − . Vậy: 2 2 DE MP MR DEMQ MS RS = = − . áp dụng bằng số với 5 , 12 DE cm RS cm= = : 5 /b ca 2 = Min ữ [( 12 − MR = ( 5 19 ) Đáp số (C) là đúng. Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5 /b ca 2) mà dùng (5 ữ 2) thì máy sẽ cho đáp số d−ới dạng số thập phân. H$y tính: 5 ữ 2 = Min ữ [( 12 − MR (0.2631579) So sánh: 5 /b ca 19 SHIFT /b ca /b ca Kết quả: 0.2631579 Nh− vậy, hai kết quả nh− nhau, nh−ng một kết quả đ−ợc thực hiện d−ới dạng phân số (khi khai báo 5 /b ca 2), còn một kết quả đ−ợc thực hiện d−ới dạng số thập phân (khi khai báo 5 ữ 2). Bài 8. Trên đ−ờng tròn tâm O, bán kính 15,25 R cm= , ng−ời ta đặt các cung liên tiếp: AB = 600, BC = 900, CD = 1200. a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Chứng minh AC ⊥ BD. c) Tính các cạnh và đ−ờng chéo của ABCD theo R chính xác đến 0,01. d) Tính diện tích tứ giác ABCD . Lời giải a) sđAD = 3600 - (sđAB +sđ BC +sđCD ) R S A B Q ED P M C Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Tài liệu bồi d−ỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900. Suy ra: AD = BC , ABD = BDC = 450 (vì cùng bằng 090 2 ). Từ đó ta có: //AB CD . Vậy ABCD là hình thang. Mặt khác, ADB = BCD (cùng bằng 0 060 +90 2 ). Vậy ABCD là hình thang cân (đpcm). b) Vì ABD = BAC = 450 (vì cùng bằng 090 2 ). Suy ra AEB = 900, vậy AC BD⊥ (đpcm). c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đ−ờng tròn bán kín