Ôn thi lý thuyết Hàm biến phức - 2

ÔN THI LÝ THUYẾT HÀM BIẾN PHỨC KHOÁ 2012-2013 BẢO VƯƠNG _ CĐSTOAN *-*-*-*-*-* 1.Điều kiện Cauchy-Riemann (trang 16-17) Cho hàm , . Hàm f gọi là -khả vi tại nếu các hàm của hai biến thực u và v khả vi tại . Hàm f được gọi là thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z0 nếu tại có các đẳng thức. , Định lý : Hàm f khả vi tại khi và chỉ khi nó -khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại . Chứng minh: Giả sư f khả vi tại z0. Khi đó . Đặt , , trong đó , là các vô cùng bé thực bậc cao hơn khi . Ta có: (1) Từ đó: ,(2). Vậy u và v khả vi tại và , tức là thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại . Ngược lại, nếu u và v khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại thì có (2) và do đó có (1). Vậy f khả vi tại z0. 2. Công thức Niutơn – Leibnitz (trang 32) Hàm F gọi là một nguyên hàm của hàm f trên miền D nếu F’(z)=F(z) với mọi . Định lý 2 (Công thức Niutơn – Leibnitz): Nếu là một đường cong trơn từng khúc, , , F là một nguyên hàm của f trên miền D thì. Chứng minh: Theo công thức Đặt ta có . Áp dụng công thức Niutơn – Leibnitz trong giải tích thực cho phần thực và phần ảo của ta có 3. Công thức tích phân Cauchy (trang 38) Cho D là một miền bị chặn, có biên là hữu hạn đường cong. Nếu f giải tích trên D và liên tục trên thì với mọi ta có Chứng minh: Với mọi r>0 sao cho B, đặt . Hàm giải tích trên D’ nên theo định lý Cauchy trang 33 (Cho D là một miền bị chặn, có biên là hữu hạn các đường cong trơn từng khúc. Nếu f giải tích trên D và liên tục trên thì) ta có: Từ đó . Vì nên (1) Với mọi sao cho thì . Khi đó mọi ta có: .Do tuỳ ý nên từ (1) suy ra 4. Hàm điều hoà (trang 44) Định lý: Một hàm hai biến thực trên miền D là hàm điều hoà khi và chỉ khi là phần thực hay phần ảo của một hàm giải tích nào đó trên D. Chứng minh: Ta chứng minh nếu u (hoặc v) là hàm điều hoà trên D thì tồn tại v (hoặc u) là hàm trên D sao cho là hàm giải tích trên D. Thật vậy, giải sử u là hàm điều hoà, với mỗi , đặt (1). Do u là hàm điều hoà nên , từ đó tích phân đường (1) không phụ thuộc vào hình dạng đường nối với trong D. Vì , nên ta có , mà theo định lý 1[(chương I) trang 17: Hàm f khả vi tại khi và chỉ khi nó R2 khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Rieman tại] ta có là hàm giải tích. Do đó hàm v xác định bởi (1) là hàm cần tìm. Tương tự, nếu v là một hàm điều hoà đã cho thì hàm (2) là hàm sao cho là hàm giải tích. 5. Định lý Taylor (trang 54) Cho f là một hàm giải tích trên miền D và . Khi đó trong hình tròn , , ta có (1 ). Các hệ số là duy nhất, được tính theo công thức: . Chứng minh: Với r tuỳ ý, , kí hiệu Cr là đường tròn tâm z0, bán kính r. Theo công thức tích phân Cauchy ta có: (2). Với mọi . Vì nên có khai triển (3). Với mọi , , nên theo (định nghĩa chuỗi hàm, định lí 2 trang 51): Nếu chuỗi hàm xác định tên tập là chuỗi dạng hội tụ đều trên A và là một hàm bị chặn trên A thì chuỗi hội tụ đều trên A chuỗi hội tụ đều trên Cr với z, z0 cố định. Thế (3) và (2) và áp dụng (định lý 4 chương III trang 51): ta được . Theo công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm, do đó (4). Vì chuỗi (4) hội tụ trên mọi hình tròn , r < R, nên nó hội tụ trên. Ta kiểm tra tính duy nhất của các hệ số ak. Giả sử , là một khai triểu tuỳ ý của f. Theo định lý Abel, lấy đạo hàm hai vế đẳng thức này k lần và thay ta nhận được: . Vậy ta cũng có 6. Định lý Laurent (trang 58) Cho hàm f giải tích trên vành khăn ,. Khi đó trên V ta có (1), trong đó các hệ số ak là duy nhất và được tính theo công thức (2). là đường tròn tâm z0, bán kính , Chứng minh: Giả sử z là điểm tuỳ ý thuộc V. Chọn r’, R’ sao cho . Ký hiệu . Theo công thức tích phân Cauchy (3). Với mọi . Vì , nên chuỗi này hội tụ đều trên CR’. Tương tự như chứng minh định lý Taylor(4) trong đó (4’). Với mọi , ta có . Vì nên chuỗi này hội tụ đều trên Cr’. Từ đó (5), trong đó(5’). Trong (5) và (5’) thay –l bởi k ta có(6), trong đó(6’). Chú ý trong (4’) và (6’) ta có thể thay đường lấy tích phân lànên thay (4) và (6) vào (3) ta có , trong đó,. Ta chứng minh tính duy nhất của các hệ số ak. Giả sử(7) là một khai triển tuỳ ý của f trên v. Khi đóvàhội tụ đều trên một đường tròn , . Ta có . Do đó nhân hai vế của (7) vớirồi lấy tích phân trên ta có. Vậy với mọi số nguyên k. 7. Định lý thặng dư (trang 70) a) Nếu f giải tích trong miền và khai triểu Laurent của f trong lân cận là(3)thì b) Nếu f giải tích trong miền và khai triểu Laurent của f trong lân cận của là (4)thì Chứng minh: a) Chuỗi (3) hội tụ đều trên ,nên tích phân từ số hạng của chuỗi ta được . Vì nên . Vậy b) Tương tự a), tích phân từng số hạng của chuỗi (4) ta có . Từ đó