Phân dạng và phương pháp giải hình học 11

Phân dạng và phương pháp giải hình học 11 P1 PHÉP TỊNH TIẾN A/ Kiến thức cơ bản 1/Định nghĩa 2/Biểu thức tọa độ 3/ Tính chất của phép tịnh tiến B/ Các dạng toán Dạng 1 Xác định ảnh qua phép tịnh tiến Phương pháp giải Cách 1 Xác định véc tơ tịnh tiến Xét một diểm của hình (H). Xác Định các điểm đặc biệt thuộc hình ảnh (H’) Cách 2 - Xét biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến - Xét biểu thúc tọa độ của (H) suy ra biểu thức tọa độ của hình (H’) Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ cho , đường thẳng d có phương trình x+y+1=0. Hãy tìm đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo ĐS: d’:x+y=0 Bài 2:Trong mặt phẳng tọa độ cho , Tìm ảnh của đường tròn (C):x2+y2-2x-4y-4=0 qua phép tịnh tiến theo véc tơ ĐS: (x-3)2+(y+1)2=9 Bài 3 cho đường thẳng d:x+2y-5=0 và d’:x+2y+5=0 . Tìm véc tơ vuông góc với d để d’ là ảnh của d qua . ĐS: Dạng 2 Sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán quỹ tích. Phương pháp giải Tìm quỹ tích của M thuộc hình (H). ta tìm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến Xét xem M’ thuộc hình nào (thường thuộc hình (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến đã cho). Bài 4 Cho đường trò (O,R) và hai điểm A,B cố định không thuộc đường tròn (O). một điểm M chạy trên đường tròn (O). Tìm tập hợp các điểm M’ là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM’. Bài 5. Cho đường tròn (O,R) và hai điểm B,C cố định trên đường tròn đó. Một điểm A di động trên đường tròn (O) đó. Sử dụng phép tịnh tiến để tìm quỹ tích trục tâm H của tam giác ABC. Dạng 3 Dùng phép tịnh tiến để giải bài toán dựng hình Phương pháp: Bài tập làm thêm VÊn §Ò 1: X¸c ®Þnh ¶nh cña mét h×nh qua mét phÐp tÝnh tiÕn. Ph­¬ng ph¸p: + NÕu lµ h×nh häc thuÇn tuý th× dïng ®Þnh nghÜa. + NÕu lµ h×nh häc gi¶i tÝch th× dïng biÓu thøc to¹ ®é cña phÐp biÕn h×nh. Vdô 1: Trong mÆt ph¼ng cho phÐp tÞnh tiÕn T theo vect¬ . a. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ¶nh cña mçi ®­êng th¼ng sau qua T. i. . ii. . b. ViÕt ph­¬ng tr×nh ¶nh cña ®­êng trßn: qua T. Vdô 2: Trong mÆt ph¼ng cho phÐp tÞnh tiÕn T theo vect¬ . a. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ¶nh cña mçi ®­êng th¼ng sau qua T. i. . ii. . b. X¸c ®Þnh phÐp tÞnh tiÕn T theo vect¬ biÕn d1:x-y-5=0 thµnh : biÕt cã gi¸ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng . 1. Trong mÆt ph¼ng cho 2 ®­êng th¼ng d vµ cã ph­¬ng tr×nh =0. T×m nh÷ng vect¬ sao cho . 2. Cho bèn ®­êng th¼ng sao cho a c¾t b, . T×m mét phÐp tÞnh tiÕn: . 3. Cho hai phÐp tÞnh tiÕn . Víi ®iÒu kiÖn nµo cña th× hîp thµnh cña lµ phÐp ®ång nhÊt. 4. Hîp thµnh cña hai hay nhiÒu phÐp tÞnh tiÕn ®Òu lµ mét phÐp tÞnh tiÕn. 5. Cho lµ hai ®iÓm cè ®Þnh cho tr­íc. CMR phÐp biÕn h×nh lµ phÐp tÞnh tiÕn. VÊn ®Ò 2: Dïng phÐp tÞnh tiÕn ®Ó chøng minh tÝch chÊt h×nh häc:(Sù song song, b»ng nhau,.) Ph­¬ng ph¸p: Lùa chän phÐp tÞnh tiÕn thÝch hîp, sö dông 2 tÝnh chÊt cña phÐp tÞnh tiÕn. 1. CMR phÐp tÞnh tiÕn biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng song song hoÆc trïng víi nã. (Sö dông tÝnh chÊt 1) *2. Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), tæng hai ®¸y lín h¬n tæng hai c¹nh bªn. Gäi M lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc A vµ B; N lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc C vµ D. CMR: 2MN = BC + AD - (AB + CD). (Chän , N lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tø gi¸c th× ) 3. Cho h×nh thang ABCD cã A < D. CMR: BD < CA. ( Chän , ta cã ngay , gäi I lµ trung ®iÓm cña th× I còng lµ trung ®iÓm cña . XÐt 2 tam gi¸c cã CI chung vµ nªn tõ ®ã ¸p dông vµo hai tam gi¸c CIA vµ ) 4. CHo h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm M sao cho C n»m trong tam gi¸c MBD vµ . CMR: . ( Chän , chØ ra (1), (2), theo gt th× suy ra tø gi¸c néi tiÕp (3).) *5. Cho tø gi¸c ABCD cã M, N, P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA vµ MP+NQ=p- nöa chu vi. CMR: Tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. ( Tõ MP+NQ=p=. Chän , gäi suy ra MP=1/2AE. XÐt tam gi¸c ADE: , suy ra dÊu = x¶y ra khi A, D, E th¼ng hµng . T­¬ng tù ta cã AB//CD) VÊn ®Ò 3: Bµi to¸n quü tÝch vµ dùng h×nh. Ph­¬ng ph¸p: Lùa chän phÐp tÞnh tiÕn thÝch hîp, sö dông 2 tÝnh chÊt cña phÐp tÞnh tiÕn. Chó ý chän ra ®­îc yÕu tè cè ®Þnh thÝch hîp trong bµi to¸n. *1. Cho hai ®iÓm ph©n biÖt B, C trªn (O), A lµ ®iÓm di ®éng trªn (O). T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c ABC. (Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tia BO c¾t (O) t¹i D th× ADCH lµ h×nh b×nh hµnh nªn AH=2OM) 2. Cho (O;AB) cè ®Þnh, MN lµ ®­êng kÝnh thay ®æi. C¸c ®­êng th¼ng AM vµ An c¾t tiÕp tuyÕn t¹i B lÇn l­ît t¹i P vµ Q. T×m quü tÝch trùc t©m c¸c tam gi¸c MPQ vµ NPQ(hai quü tÝch nµy lµ mét). (Víi tam gi¸c MPQ ta chØ ra , kh«ng kÓ A, B) 3. Cho hai ®­êng trong kh«ng ®ång t©m vµ mét ®iÓm A trªn (O;R). X¸c ®Þnh M trªn (O;R) vµ ®iÓm N trªn sao cho . *4. Cho hai ®­êng th¼ng a vµ b vµ hai ®iÓm A, B nh­ h×nh vÏ. T×m M thuéc a, N thuéc b sao cho , AM+MN+NB lµ ng¾n nhÊt.( Chän ) PhÐp ®èi xøng trôc. VÊn §Ò 1: X¸c ®Þnh ¶nh cña mét h×nh qua mét phÐp ®èi xøng trôc. Ph­¬ng ph¸p: + Dïng ®Þnh nghÜa, biÓu thøc vect¬ hay biÓu thøc to¹ ®é cña phÐp ®èi xøng qua c¸c trôc to¹ ®é. 1. Trong mÆt ph¼ng xOy cho M(2;3), ®­êng th¼ng d: 2x-y+3=0 vµ ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh: a. X¸c ®Þnh ¶nh cña M, d vµ (C) qua phÐp ®èi xøng trôc Ox, Oy. b. X¸c ®Þnh ¶nh cña M, (C) qua phÐp ®èi xøng trôc lµ ®­êng th¼ng d. c. X¸c ®Þnh ¶nh cña d qua phÐp ®èi xøng trôc lµ a: 2x-y+5=0; x+2y+3=0; x-2y+3=0. 2. Chøng minh r»ng: a. Hîp thµnh cña hai phÐp ®èi xøng trôc cã trôc ®èi xøng song song lµ mét phÐp tÞnh tiÕn. b. Hîp thµnh cña mét sè ch½n phÐp ®èi xøng trôc cã trôc ®èi xøng song song lµ mét phÐp tÞnh tiÕn. c. Hîp thµnh cña mét sè lÎ phÐp ®èi xøng trôc cã trôc ®èi xøng song song lµ mét phÐp ®èi xøng trôc. 3. Cho hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau . CMR cã thÓ t×m ®­îc mét phÐp ®èi xøng trôc hoÆc hîp thµnh cña hai phÐp ®èi xøng trôc ®Ó . 4. Cho hai tam gi¸c b»ng nhau ABC vµ (t­¬ng øng c¹nh). CMR chØ cÇn tèi ®a ba phÐp ®èi xøng trôc ®Ó hîp thµnh cña chóng biÕn ABC thµnh . (sö dông bµi 3) VÊn ®Ò 2: Dïng phÐp ®èi xøng trôc ®Ó chøng minh tÝch chÊt h×nh häc:(Sù song song, b»ng nhau,.) 1. X¸c ®Þnh c¸c trôc ®èi xøng cña h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, tam gi¸c ®Òu. 2. Gäi d lµ ph©n gi¸c ngoµi cña A víi tam gi¸c ABC. CMR víi mäi ®iÓm M trªn d, th× chu vi cña tam gi¸c MBC kh«ng nhá h¬n chu vi cña tam gi¸c ABC. 3. Cho elip (E) víi tiªu ®iÓm . Gäi M lµ ®iÓm thuéc (E) kh«ng n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ d lµ ph©n gi¸c ngoµi t¹i ®Ønh A cña tam gi¸c M. CMR d chØ c¾t (E) t¹i M duy nhÊt (d gäi lµ tiÕp tuyÕn cña (E)). 4. (Khã)Cho tam gi¸c ABC víi I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp vµ P lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c. Gäi lµ ba ®iÓm ®èi xøng víi P lÇn l­ît qua AI, BI, CI. CMR c¸c ®­êng th¼ng ®ång quy. 5. CMR trong tam gi¸c ABC bÊt k×, ta cã B§T sau: (XÐt , d lµ ®­êng th¼ng qua A vµ // BC. b + c = CA + AB = CA + =) 6. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. CMR bèn tam gi¸c ABC, HBC, HAC, HAB cã ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cã b¸n kÝnh b»ng nhau. VÊn ®Ò 3: Bµi to¸n quü tÝch vµ dùng h×nh. 1. Cho cã ®Ønh B, C di ®éng trªn ®­êng th¼ng d cè ®Þnh, biÕt trùc t©m H cña lµ cè ®Þnh vµ ®­êng trßn (O) ngo¹i tiÕp cña ®i qua ®iÓm cè ®Þnh P. t×m quü tÝch O. (Gäi , cè ®Þnh, O n»m trªn ®­êng trung trùc cña . §¶o l¹i) 2. Cho A, B ë cïng phÝa víi ®­êng th¼ng . Dùng M trªn sao cho . (PT: Gi¶ sö dùng ®­îc M: , gäi , lµ Ènh cña B, A qua phÐp ®èi xøng trôc . lµ ph©n gi¸c gãc nªn do ®ã . Bµi to¸n cã 2 nghiÖm h×nh) P3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A/ Kiến thức cơ bản 1/ Định nghĩa (sgk) 2/Biêu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(xo;yo), Gọi M(x;y) và M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó: 3/Tính chất cua phép đối xứng tâm 1/ Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ 2/Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng 3/Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành môt đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. 4/Phép đối xứng tâm biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho. 5/Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. B/Các dạng bài toán tự giải Dạng 1: Dựng ảng của hình qua phép đối xứng tâm I Phương pháp giải -Dùng định nghĩa phép đối xứng tâm xác định ảnh của các điểm xác định hình dựa vào tính chất đối xứng tâm. -Dựa vào biểu thúc toạ độ phép đối xứng tâm để tìm ảnh của một điểm. Bài 1 Cho I(-2;1) và đường thẳng d:x-2y+1=0.Hãy viết phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép đối xứng tâm I ĐS: (d’):x-2y+7=0 Bài 2 Cho đường tròn có phương trình : x2+y2-2x-4y-4=0 (C) và I(-1;-2). Hãy tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I ĐS: (C’): (x+3)2+(y+6)2=9 Bài 3 Cho hai đường thẳng (a):x-2y+5=0; (b): x-2y-8=0. Hãy tìm phép đối xứng tâm I biến đường thẳng a thành b ĐS: I(3/2;0) Bài 4: Tìm phép đối xứng tâm biến đường thẳng a: x-2y+5=0 thành đường thẳng b: x-2y-8=0 và có tâm đối xứng nằm trên Ox. ĐS: I(3/2;0) Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một điểm P nằm trong mặt phẳng ABCD. Kẻ Ax//CP,By//DP, Cz//AP,Dk//BP. Chứng minh rằng Ax,By,Cz,Dk đồng quy tại một điểm Q và đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định khi P di động trong mặt phẳng Dạng 2 Vận dụng phép đối xứng tâm để giải bài tập quỹ tích và dựng hình Bài 1 Qua giao điểm của hai đường tròn (O1;R1);(O2;R2) dựng đường thẳng cắt hai đường tròn thành hai đáy bằng nhau. Bài 2 Cho đường tròn đường kính AB tâm O. trên đường tròn tâm B bán kính BA lấy điểm P . Tìm tập hợp các điểm Q là đỉnh của hình bình hành có hai cạnh PA,PB. 3/ Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Gọi N là điểm đối xứng của M qua A, P là điểm của N qua B, Q là điểm đối xứng của P qua C. Tìm quỹ tích của điểm Q. Bài Tập làm thêm 1/Cho 4 đường thẳng a,b,c,d từng đôi một không song song với nhau và điểm I. Hãy dựng một hình bình hành tâm I có 4 đỉnh nằm trên 4 đường thảng dã cho. 2/Cho hai đường tròn đồng tâm Q và một điểm A nằm trên đường tròn nhỏ. Dựng đường thẳng đi qua A cắt hai đường tròn tại B,C và D( B thuộc vòng tròn nhỏ) sao cho Ab chia CD thành ba phần bằng nhau. P4 Phép Quay Dạng 1 Chứng minh một số tính chất của hình và giải một số BT hình học 1/ Cho tam giác ABC, vẽ phía ngoài các tam giác đều ABB’;ACC’. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của B’C và C’B. Chứng minh rằng ba điểm AIJ hoặc trùng nhau hoặc tam giác AIJ đều. 2/ Cho hfnh bình hành ABCD, dựng các tam giác đều ABE và ADF sao cho đỉnh E nằm cùng phía điểm C đối với đường thẳng AB, điểm F nằm cùng phía điểm C đối với AD. Chứng minh CEF là tam giác đều. Dạng 2 ảnh của điểm, của hình 1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh ảnh của điểm M(x;y) qua phép quay tâm O góc quay α là điểm M’(x’;y’) thoã mãn: (Biểu thức tọa độ) HD: Đặt OM=a,β=(Ox;OM) Ta có (OM;OM’)=α, 2/ Trong mặt phẳng Oxy, cho M(3;4).Hãy tìm ảnh M’ của M qua phép quay tâm O góc quay 30 độ. ĐS:M’ 3/ Cho đường tròn (C):(x+3)2+y2=9. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc quay –л/2 ĐS:(C’):x2+(y-3)2=9 Dạng 3 Quỹ tích và dựng hình 1/ Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vuông. Tìm các điểm N,P nằm trên cạnh hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều.