Phân tích đa thức thành nhân tử từ khó đến dễ - Trường THCS Phan Bội Châu

MỤC LỤC MỞ ĐẦU trang 02 Lí do chọn đề tài trang 02 Đối tượng nghiên cứu trang 02 Phạm vi nghiên cứu trang 03 Phương pháp nghiên cứu trang 03 B. NỘI DUNG trang 04 I. Cơ sở lí luận trang 04 II. Cơ sở thực tiễn trang 05 III. Giải quyết vấn đề trang 07 C. KẾT LUẬN trang 26 A. MỞ ĐẦU I . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này. Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ ” . “Khĩ” ở đây là cái khĩ ở học sinh – các em khơng nắm được các dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử; cịn “dễ” ở đây là khi giáo viên đã đưa ra các phương pháp cụ thể cho học sinh thì với mỗi bài tốn cụ thể các em cĩ thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đĩ là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tơi tích lũy trong quá trình học và dạy tốn, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp. Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả, bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện. Một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh. II- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Không gian : Học sinh lớp 8A7 Trường THCS Phan Bội Châu - Thời gian : 2 giai đoạn trong năm học 2012 – 2013 Giai đoạn 1: Từ tháng 10/ 2012 đến thi học kì I Giai đoạn 2: Từ tháng 01/ 2013 đến giữa học kì II. IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan + Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập. + Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông. + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán. + Đổi mới phương pháp dạy học toán. + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8. + Sách bồi dưỡng năng lực tự học tốn 8. Điều tra: a. Dự giờ: - Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ. - Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học . b. Đàm thoại: - Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời. - Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác. c. Thực nghiệm: - Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Ngồi ra đối với học sinh khá giỏi giáo viến nên cĩ thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao. d.Theo dõi các bài kiểm tra: - Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đối tượng học sinh. B- NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÍ LUẬN: - Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh. - Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,…” - Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh. II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: - Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình chỉ có 6 tiết từ tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến. Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn thấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, số lượng học sinh giỏi thấp. - Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như sau: + Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. + Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. + Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. - Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau : Đối với giáo viên : Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối tượng học sinh. Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Đối với học sinh : + Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học. + Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chây lười trong học tập. + Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó. + Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài, học bài , soạn bài trước khi đến lớp. + Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi. - Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương pháp cơ bản, phương pháp nâng cao cho học sinh khá giỏi thông qua những bài tập cụ thể, những tiết dạy bịi dưỡng học sinh giỏi, tiết dạy buổi hai giúp các em hiểu rõ và vận dụng các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI - Sắp xếp bài toán theo các mức độtừ dễ đến khĩ.. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhĩm hạng tử. Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành. Tìm cách giải hay, khai thác bài toán. 3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2 Dạng 8: Dạng đối xứng vịng quanh Dạng 9: Dạng Dạng 10: Đặt biến phụ dạng đa thức Dạng 11: Đặt biến phụ dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c + d ) Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Dạng 13: Đặt biến phụ dạng hồi quy Dạng 14: Đặt biến phụ dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)(a1b1 = c1d1 vµ a2b2 = c2d2) Dạng 15: Dạng đốn nghiệm Dạng 16: Đặt biến phụ dạng khác Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ dạng hệ số bất định Dạng 18: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. A.B + A.C = A ( B + C). Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số). Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất). Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số? HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5 GV: Tìm nhân tử chung của các biến? HS: x(x – 2y) Giải: 2) GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? HS: 2 GV: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)? HS: ( x – y) hoặc ( y – x). GV: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử chung ( x– y) hoặc ( y – x)? HS: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x) Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y). Giải: 10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y) = 2( x – y).5x + 2( x – y).4y = 2( x – y)( 5x + 4y). 3) 9x( x – y) – 10( y – x)2 . Cách giải sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 = ( x – y) [9x + 10( x – y)] = ( x – y)(19x – 10y). Sai lầm: - Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 - Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2 Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x). Cách giải đúng: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2 = ( x – y) [9x - 10( x – y)] = ( x – y)(10y – x). Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử. - Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ( a – b )2 – ( a + b )2 GV: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? HS: Có dạng A2 - B2 Cách giải sai: ( a – b )2 – ( a + b )2 = ( a – b + a + b ) – ( a – b – a + b ) = 2a.0 = 0. Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc. Cách giải đúng: ( x – y )2 – ( x + y )2 = [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )] = ( x – y + x + y ).( x – y – x – y ) = 2x.( –2y) = –4xy. Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 2) 3) 4) 5) Giải: 2) 3) 4) 5) Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Quy tắc dấu ngoặc. - Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác. Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhĩm hạng tử. Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức. Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2) 3) x2 – 2x – 4y2 – 4y Giải: 1) Cách giải sai: Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung. Cách giải đúng: 2) Sai lầm: HS khơng biết nhĩm các hạng tử nào với nhau. GV: Nếu như nhĩm 2 hạng tử khơng được ta nhĩm ba hạng tử. Cách giải đúng: 3) x2 – 2x – 4y2 – 4y Cách giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y) = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y ) = ( x – 2y )( x + 2y – 2 ) Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai. Cách giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y) = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – 2 ) Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử. - Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức. Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x 2) Giải: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x Cách giải chưa hồn chỉnh: Cách 1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 ) Cách 2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x) = x3( x – 9 ) + x( x – 9 ) = ( x – 9 )( x3 + x ) Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để. Cách giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 ) = x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]= x( x – 9 )(x2 + 1) 2) Cách giải chưa hồn chỉnh: Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để. Cách giải đúng: Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn cĩ thể phân tích được nữa. - Củng cố các cơng thức: ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3+ B3 + 3AB( A + B) A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B) Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức Phương pháp: Thªm, bít cïng mét h¹ng tư ®Ĩ nhãm víi c¸c h¹ng tư ®· cã trong ®a thøc nh»m xuÊt hiƯn nh©n tư chung míi hoỈc xuÊt hiƯn h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉc biƯt lµ xuÊt hiƯn hiƯu cđa hai b×nh ph­¬ng. Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng tốn tìm Min, Max, do đĩ GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS. Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2) Giải: 1) GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng GV: Theo em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức? HS: Tách hạng tử –3 = 1 – 4. GV: Khi đĩ ta được . Tới đây ta đưa về dạng nhĩm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức. HS : GV: Biểu thức thu được thuộc hằng đẳng thức nào? HS: Cách giải đúng: 2) Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng: Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh: - Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức. - Biết cách nhĩm ba hạng tử để xuất hiện hàng đẳng thức. Bài tập áp dụng: Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử Phương pháp: Cho đa thức : Tìm tích ac Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách Chọn hai thừa số mà tổng bằng ( ) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2) 3) Giải: 1) GV: Hãy tìm tích ac. HS: ac = 3.(-6) = -18. GV: Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách HS: GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà cĩ tổng bằng 7 HS: 7 = -2 + 9 GV: Như vậy ta cĩ: 7x = -2x + 9x Cách giải đúng: 2) Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng: 3) Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng: Lưu ý: - Cĩ nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng thử thứ ba. Tuy nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài tốn. - Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã học. Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2 Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử chung hoặc Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2) Giải: 1) GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau: GV: Như vậy khi ta thêm thì ta sẽ bớt ở phía sau, ta được: GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được: GV: Ta nhĩm 3 hạng tử tạo thành một bộ, sau đĩ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung ta cĩ: Cách giải đúng: 2) GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên. Cách giải đúng: Lưu ý: - Thêm bớt các hạng tử một cách chính xác. - Nếu như thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là mà khơng được thì ta thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là . Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 8: Dạng đối xứng vịng quanh Phương pháp:Dựa trên hai nhận xét sau: Nhận xét 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đĩ a, b, c cĩ vai trị như nhau trong biểu thức đĩ. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a. Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b). Nhận xét : Khi a = b ta cĩ : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đĩ F(a, b, c) cĩ chứa nhân tử a - b. Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đĩ F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a). Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta cĩ : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1. Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a). 2) F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b). Nhận xét : Tương tự như bài tốn 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đĩ (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải cĩ một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trị a, b, c như nhau nên thừa số này cĩ dạng k(a + b + c). Do đĩ : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1. Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). Nhận xét 2: Trong một số bài tốn, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) cĩ triệt tiêu khơng, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đĩ chứa các nhân tử b + c, c + a. 3) F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz. Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) cĩ nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0. Do đĩ : F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx). Bài tập áp dụng: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Dạng 9: Dạng Phương pháp: Đối với dạng tốn cĩ chứa bậc ba ta cĩ thể sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2) Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: 1) 2) 3) 4) Cho . Tính 5) Chứng minh rằng: và 6) Cho a, b, c khác 0 thoả: Tính 7) Cho a, b, c khác 0 thoả: Tính Dạng 10: Đặt biến phụ dạng đa thức Phương pháp: Trong một số bài tốn, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài tốn được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích. XÐt Q(x) = ay2 + by + c. NÕu cã c¸c sè m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b th× ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).NÕu a = 1 th× y2 + by + c = (y + m)(y + n). Trong tr­êng hỵp nµy a, b, c nguyªn th× tr­íc hÕt ph©n tÝch hai sè nguyªn m.n sao cho gi¸ trÞ tuyƯt ®èi cđa m vµ n nhá h¬n b. Sau ®ã chän m, n tho¶ m·n m + n = b. Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 6x4 + 19x2 + 15 2) 3) Giải: 1) P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 §Ỉt y = x2 , ta cã: Q(y) = 6y2 + 19y + 15 T×m m, n sao cho m.n = 90 vµ m + n = 19 víi m < 19, n < 19 V× 90 = 6.15 = 9.10 nªn chän m = 9, n = 10, ta cã: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do ®ã : P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) 2) Đặt 3) Đặt Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 11: Đặt biến phụ dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c + d ) Phương pháp: §Ỉt biÕn phơ y = (x + a)(x + b) cã thĨ y = (x + c)(x + d) hoỈc y2 = x2 + (a + b) x. Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 2) Giải: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 Víi a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 th× a + b = 5 =c + d. BiÕn ®ỉi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 §Ỉt y = x2 + 5x + 4 th× P(x) trë thµnh Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5) Do ®ã: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tỉng qu¸t: NÕu ®a thøc d¹ng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) tho¶ m·n a1b1 = c1d1 vµ a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 th× ®Ỉt y =(a1x + a2)(b1x + b2) råi biÕn ®ỉi nh­ trªn. Bài tập áp dụng: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Phương pháp: Một số đa thức cĩ bậc cao, nhờ đặt biến p