Phân tích đa thức thành nhân tử và các dạng bài tập ứng dụng

A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên:Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân. Đề tài "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức ... Trong đề tài này tôi giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ,phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Trên cơ sở nhận thức và hiểu được vai trò,vị trí tầm quan trọng,thực trạng của việc phân tích đa thức thành nhân tử và các dạng bài tập ứng dụng cho học sinh lớp 8. Do vậy tôi chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử và các dạng bài tập ứng dụng ”nhằm mục đích rút ra được các kinh nghiệm bổ ích trong giảng dạy nói chung và giảng dạy đại số 8 nói riêng. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I.CƠ SỞ LÍ LUẬN. Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức,đơn thức khác. -Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết. + Rút gọn biểu thức +Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất... II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ. Trong năm nay tôi được phân công làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi thấy “ Phân tích đa thức thành nhân tử” nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm được các bài tập dạng Bài toán chứng minh chia hết,Rút gọn biểu thức, Giải phương trình bậc cao ,Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất....Đối với một số đa thức không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức nên học sinh còn nhiều lúng túng.Hoặc đối với một số bài toán chứng minh chia hết để đa thức A chia hết cho đa thức B ta phải phân tích đa thức A thành nhân tử trong đó có một nhân tử bằng B hoặc chia hết cho B. Đa thức A không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức nên học sinh nên học sinh không biết nên làm thế nào. Do đó tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu. III.CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP. 1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: a- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử. Ví dụ 1: x4 + 5x3 + 15x - 9 Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9. = x4 - 9 + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2+ 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x) = (x2+ 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - 9. = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9 = x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x2 + 5x - 3 không phân tích được nữa. Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + x2z + yz2 + 3xyz. Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử. x2y + xy2 + x2z + xz2 + x2z + yz2 + 3xyz. = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z). Ví dụ 3: x2 + 6x + 8 Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích. Cách 1: x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1 = (x+3)2 - 1 = (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4). Ví dụ 4: x3 - 7x - 6 Ta có thể tách như sau: Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9) – 7(x – 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) [x(x +1) + 2(x +1) ] = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x – 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x+1) [x(x- 3) + 2(x – 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x +2) [x(x + 1) – 3(x +1)] = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2). Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6). Cách 2, cách 5 cho kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách 6 cho kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau: - Một đa thức dạng ax2 + bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ (hoặc ’) là một số chính phương (trong đó = b2- 4ac ( ’= b’2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi : (hoặc ’) là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) . Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b + c hoặc c - a hoặc a + b. Ta có các cách phân tích như sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac2 – a2c – a2b – ab2. = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) – a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab – a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac – a2)] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac (c -a) - a2b – ab2 = ac (c - a) + b2(c - a) + b (c2 - a2) = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a )[a(c +b) b(b +c) ] = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 – a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b). = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b). Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a). Ví dụ 6: a5 + a + 1. Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung. Cách 1: a5 + a + 1 = a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 = a5 + a4 + a3 – a4 - a3 – a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) – a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1 = (a2 + a + 1) (a3 – a2 + 1) Cách 2: a5 + a + 1 = a5 – a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 – a2 +1). b -Phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3. Đặt x = b – c ; y = c – a ; z = a - b. Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 – x3 – y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều. Đặt y = x2 + x + 1. Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5). Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 1 với x +7và x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15. Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + 8 y + 15 = y2+ 3 y + 5 y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. *Cách tìm nghiệm của một đa thức -Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do. VD. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: x3 + 3x2 - 4 Giải: C1)Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 .Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho. C2) Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x = 1. - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do;q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất. VD Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Giải: Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương của 2 là : 1;2 (q) Xét các số 1;-1; 3;-3; ; ; ; - ta thấy - là nghiệm của đa thức đã cho. Chú ý: -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1. Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3 + (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1. b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1. -Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 . Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4+ 7x3 + 11x2 + 2x - 3 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1 b)x3 + 3x2 + 6x + 4 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1 * Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Nếu đa thức F(x) có nghiệm x =a thì sẽ chứa nhân tử x-a do đó khi phân tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x-a. VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. x3 + 3x2 - 4 b. 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Giải : a)C1 Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x = 1 nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 C2 Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x = -2 nên chứa nhân tử x + 2 Ta có x3 + 3x2 - 4 = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) [(x2 - x + 2x -2)] = (x+2) x(x-1) +2(x-1) = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 c) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 . Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 2.Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử . Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ví dụ: Rút gọn biểu thức: Giải : Ta có Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5 Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5 Do đó Ví dụ 2 :Rút gọn biểu thức Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1 ;nên ta có = = .Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa. Dạng 2 : Chứng minh chia hết Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhưng ở đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 ? (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1 = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6). Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8. Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1) Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên. Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM. Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + 9 - 25 = 16x2 + 24x - 16 = 8 (2x2 + 3x - 2). Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức. A = là số nguyên. Ta có: Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2). Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6. Vậy mọi số nguyên n biểu thức A= 2n + 3n2 + n3 là số nguyên. Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16 + x15 + ... + x2 + x + 1. Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia như sau: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 = (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1. = x34(x16 + x15 + ... + x2 + x + 1)+ x17(x16 + x15 + ...+ x2 + x + 1)+ x16...+x2 + x + 1 = (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x16 + x15 + ... x + 1. Kết quả của phép chia là : x34 + x17 + 1 Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 +c3 - 3abc ; B = a + b + c. Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có một nhân tử là a + b + c. Ta có: A = a3 + b3 +c3 - 3abc = a3 + b3 +c3 + a2b + a2c + b 2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 – a2b – ab2 - abc –a2c - acb – ac2 - acb – b2c – bc2 = a2(a+b+c) + b2(a + b + c)+ c2(a + b + c) -ab (a + b + c) - ac (a + b + c)- -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2+ c2 - ab - ac - bc) = B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B. Ví dụ 6: Cho CMR: với n lẻ. Ta có: => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc. => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0 => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0 => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0 => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = 0 => a = - hoặc b + c = 0 => b = - c Hoặc a + c = 0 => a = - c Vì n lẻ nên a2= -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh. Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình. a) Giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y) = (3x + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3 Ta có các hệ phương trình sau: x + 2y = 4 (I) x + 2y = 6 (II) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = 8 (III) x + 2y = 12 (IV) 3x + 4y = 12 3x + 4y = 8 Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại). Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại) Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại) Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1. Vậy nghiệm của phương trình: x = 4; y = 1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x3 + xy - 7 = 0 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7 x = 1 x = 1 2x2 + y = 7 y = 5 Hoặc x = 7 x = 7 2x2 + y =1 y = - 97 Hoặc x = - 1 x = - 1 2x2 + y =-7 y = - 9 Hoặc x = - 7 x = - 7 2x2 + y = - 1 y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn x3 + 7 y = y3 + 7x => x3 – y3 - 7x + 7y = 0 => (x - y)3(x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0 => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 Vì x > y > 0 => x2 + xy + y2 - 7 = 0 => x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy => (x - y)2 = 7 - 3xy => 7 - 3xy > 0 => 3xy xy < => x.y = 2 => x = 2; y = 1 b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0 Giải: Ta có: ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0 => ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0 => ( 4x - 6)(2x - 4) = 0 => 4x - 6 = 0 => x = hoặc 2x - 4 = 0 x = 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = hoặc x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0 x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0 (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 hoặc (x + 1) = 0 => x = -1 hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1 IV.KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG. Trên đây tôi đã đưa ra một suy nghĩ mà khi giảng dạy "Phân tích đa thức thành mhân tử và các dạng bài tập ứng dụng" cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8. Tôi đã tự nghiên cứu và cho học sinh áp dụng khi bồi dưỡng học sinh giỏi Hầu hết học sinh nắm được kiến thức và yêu thích học kiến thức này. Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó. C . KẾT LUẬN ĐỀ XUẤT - KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên : Tích cực tham gia tích lũy kiến thức để tập trung nghiên cứu các phương pháp đổi mới dạy học nhằm nâng cao chất lượng. Đối với tổ chuyên môn : Thường xuyên tổ chức các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học, thảo luận sâu sắc cách viết và làm sáng kiến kinh nghiệm. Với vốn kiến thức của mình còn hạn hẹp, bề dày kinh nghiệm còn khiêm tốn, nên không tránh khỏi những hạn chế khiếm khuyết. Vậy rất mong hội đồng xét duyệt góp ý, bổ sung để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn. Hoằng lý Ngày 10 tháng 5 năm 2012 Người viết Nguyễn Thị Đang.