Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9

Mục lục Phần I: Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Phương pháp nghiên cứu 4. Nhiệm vụ của đề tài 5. Phạm vi đề tài 6. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 7. Dự kiến kết quả của đề tài Phần II: Nội dung I/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số 1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức II/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học 1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học 2. Một số cách chứng minh bất đẳng thức trong hình học Phần III: Thực nghiệm sư phạm Phần IV: Kết luận Phần V: Tài liệu tham khảo A. Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài. Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt như: dầu khí, viễn thông, hàng không,... đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó với Toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của Toán học, đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,... nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số,... Vì vậy: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường phổ thông tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc độ nhỏ. 2) Mục đích nghiên cứu. a. Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy. - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức. b. Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. - Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức. 3) Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp. - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4) Nhiệm vụ của đề tài. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để làm bài tập. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp. Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải, cách đổi biến. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt. 5) Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9. 6) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT. Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( Học sinh về nhà tự làm ) 7) Dự kiến kết quả của đề tài. Khi chưa thực hiẹn đề tài này: Học sinh chỉ giải được những bài toán đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. B Nội dung Phần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường THCS. I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 1. Định nghĩa: Cho 2 số a và b ta nói: a lớn hơn b, kí hiệu: a > b a - b > 0. a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b a - b < 0. 2. Các tính chất của bất đẳng thức: 2.1. a > b b < a. 2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c a > c. 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a > b a + c > b + c. 2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d a + c > b + d. Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương. a > b, c > 0 a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. a > b, c < 0 a.c < b.c 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm Nếu a > b 0, c > d 0 thì ac > bd. 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 an > bn. a > b an > bn với n = 2k ( k Z). 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Với m > n > 0: - Nếu a > 1 thì am > an. - Nếu a = 1 thì am = an. - Nếu 0 < a < 1 thì am < an. 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a b) tức là a > b hoặc a = b. Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “>” (hoặc dấu “ <”) có thể thay bởi dấu “” ( hoặc dấu “”) 3. Các bất đẳng thức cần nhớ. 3.1. a2 0, -a2 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.2. 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.3. - a . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0. 3.4. + . Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab 0. 3.5. - . Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab 0; . (Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a b 0 hoặc a b 0). Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng: a/ a2 + b2 2ab. b/ ()2 ab hay (a + b)2 4ab (Bất đẳng thức Cô si). c/ + với a; b > 0. d/ + 2 với ab > 0. e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki) II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phương pháp dùng định nghĩa 1.1 Cơ sở toán học: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0. Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0. 1.2 Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1. Giải Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)] = (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1. Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức trên được viết lại như sau: (y-1)(y+1) + 1 = y2-1+1 = y2 0. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1. Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x2 + y2) (x + y)2. Giải Xét hiệu 2 vế: 2(x2 + y2) - (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 = x2 - 2xy + y2 = (x + y)2 0. Vậy 2(x2 + y2) (x + y)2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì: . Giải Xét hiệu: - = = 0. Đúng với mọi a; b 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng: Giải Xét hiệu: A = Vì a > 0; b > 0; (a - b)2 0 nên A 0. Vậy 1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ 2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 với x 3. 3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c2 + d2 + cd 3ab. 4/ Với thì 2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 2.1. Cơ sở toán học. - Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. - Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên) 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a4 + b4 > . Giải Ta có a + b > 1 > 0. (1) Bình phương 2 vế của (1) ta được: (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1. (2) Mặt khác: (a - b )2 0 a2 - 2ab + b2 0. (3) Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2 + b2) > 1 (a2 + b2) > . (4) Bình phương hai vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > . (5) Mặt khác: (a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0. (6) Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2(a4 + b4) > . Hay a4 + b4 > . Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ++ ++. Giải Xét + với a + b - c > 0; b + c - a > 0. áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có: + . Vì vậy ta được: + = Tương tự ta có: + + Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta được: ++ ++. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu thì Giải Ta có: Từ Suy ra hay 2ab 2. Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra hay Nhưng nên 2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau: 1. a > b; c > d a - c > b - d. 2. a > b; c > d ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không) 3. Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm: a > b a2 > b2. 4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: > ad > bc. 5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có cùng dấu hay không: a > b > . 6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội từng nhóm. Ta xét ví dụ sau: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2 thì: 1 + + + ... + < n. Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có: A = 1 + ( + ) + ( + ... + ) + ( + ... + ) + ... + ( + ). ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân số lớn nhất trong nhóm ta được: A < 1 + .2 + .4 + .8 + ... + .2n-1 = = n. 2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ (a > 0; b > 0). 2/ a2 + b2 + c2 + d2 . 3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a4 + b4 . 4/ + + ... + < . 3. Phương pháp biến đổi tương đương. 3.1. Cơ sở toán học. - Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A B C D. Và cuối cùng đạt dược bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D. Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B. - Để dùng phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau: (A . (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA. 3.2. Các ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minnh x2 + x + 1 > 0 với . Giải Ta có: x2 + x + 1 = (x2 + 2.x.1 + = (x + )2 + > 0 với .(Điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c, d, e R thì: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) (1) Giải Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta được: 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 4a(b + c + d + e). (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 0 (2) Vì (a - 2b)2 0 . (a - 2c)2 0 . (a - 2d)2 0 . (a - 2e)2 0 . Bất đẳng thức (2) đúng với . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có: (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2. (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Giải Ta có: (1) a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2abxy + b2y2. a2y2 - 2abxy + b2x2 0 (ay - bx)2 0 (2). Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng. 3.3 Chú ý. - Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu “” bằng các dấu “”. Thật vậy, nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không. - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện. 3.4 Bài tập tự giải 1/ Bài 1: So sánh 2 số A = và B = . 2/ Bài 2: Chứng minh rằng với x > 1 ta có: . 3/ Bài 3: Chứng minh rằng: ta có: a/ a4 + b4 a3b + ab3. b/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca. 4/ Bài 4: Cho a 0. Chứng minh rằng: a5 - a2 - 3a + 5 > 0. 4. Phương pháp quy nạp toán học 4.1 Cơ sở toán học. Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học. Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu: + Mệnh đề đúng với n = 1. + Từ giả thiết đúng với n = k (kN) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương. Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước: - Bước 1: Chứng minh mệnh đề T(1) đúng. (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1) - Bước 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng. Ta phải chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng. - Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n. 4.2 Một số ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x > -1 thì ( 1 + x)n 1 + nx, trong đó n là số nguyên dương bất kì. Giải + Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x 1 + x. + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)k 1 + kx. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh (1 + x)k+1 1 + (k + 1)x. Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0. Ta có (1 + x)k(1 + x) (1 + kx)(1 + x) (1 + x)k+1 1 + (k + 1)x + kx2. Mà kx2 > 0 nên 1 + (k + 1)x + kx2 1 + (k + 1)x. Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0. Ví dụ 2: Cho a; b là 2 số dương. Chứng minh rằng: . Giải + Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh được . + Giả sử bài toán đúng với n = k ta có: (1) + Ta phải chứng minh . (2) Thật vậy: Nhân hai vế của (1) với ta được: .. Hay . Để có (2) ta phải chứng minh: . (3) ak+1 + bk+1 abk + akb. Thật vậy, ta có: ak+1 + bk+1 - abk - akb = ak(a - b) - bk(a - b) = (a - b)(ak - bk) = (a - b)2(ak-1 + ak-2b + ... + abk-2 + bk-1) (Vì a; b > 0) Bất dẳng thức (3) đúng. Mà . . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 4.3. Chú ý. Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp này thì phải hiểu kỹ các bước chứng minh, các phép biến đổi tương đương, tính chất của bất đẳng thức. 4.4. Bài tập tự giải 1/ Chứng minh rằng với n 3 ta có: 2n > 2n + 1. 2/ Chứng minh rằng 2n > n4 với mọi số tự nhiên n 10. 5. Phương pháp dùng bất đẳng thức dã biết. 5.1. Cơ sở toán học. Trong nhiều bài toánđể việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức: Cô si, Bunhia - Côpxki, ... 5.2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: với mọi ab > 0. Giải Vì đều dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 2: Cho a; b thoả mãn 3a - 4b = 7. Chứng minh rằng 3a2 + 4b2 7. Giải Có 3a - 4b = - 2.2.b = 7. áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số ; -2; 2b ta được: 72 = (3a - 4b)2 = ( - 2.2.b)2 (3 + 4)(3a2 + 4b2) 3a2 + 4b2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = a = 1; b = -1. Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a thì: (1 + a)q > 1 + q.a. Giải Do và q > 1 nên q = trong đó m > n, m; n N. áp dụng bất đẳng thức Cô si cho m số ta có: . (Không xảy ra dấu “=” vì 1 + qa > 1). Hay Nhưng . Vậy ta có 5.3. Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý: Sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần áp dụng. Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót. Ví dụ: Cho a; b. Chứng minh rằng: . (1) Có một học sinh giải như sau: Ta có (1) (2) Vì (2) luôn đúng với Vậy (1) luôn đúng với (đpcm) Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức với điều kiện a; b không đúng. Lời giải đúng Cách 1: Đặt x = vì và cùng dấu hoặc Khi đó: Bất đẳng thức (1) Xét bất phương trình Từ hoặc x nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đã xét. Vậy x thoả mãn t2 - 3t + 2 tức là đúng. Mà (1) (1) đúng. Vậy ta có: . Cách 2: (1) (Vì a2b2 > 0) (2) luôn đúng. Vậy (1) đúng. 5.4. Bài tập tự giải. 1/ Chứng minh rằng nếu các số dươnng a; b; c có tổng a + b + c = 1 thì: 2/ Cho và . Chứng minh rằng: 3 Cho Chứng minh rằng: 6. Phương pháp phản chứng. 6.1. Cơ sở toán học. Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề “A B”. Phép toán mệnh đề cho ta: Như vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó. Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau: 1/ Dùng mệnh đề phản đảo: 2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết. 3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau. 4/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng. 5/ Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A 6.2. Ví dụ. Ví dụ 1:Cho . Chứng minh rằng: a + b 2. Giải Giả sử a + b > 2. Vì hai vế đều dương nên bình phương hai vế ta được: (a + b)2 > 4 a2 + 2ab + b2 > 4. (1) Mặt khác ta có: 2ab < a2 + b2 a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2). Mà (gt) 2(a2 + b2) 4. Do đó a2 + 2ab + b2 < 4. (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1). Vậy a + b 2. Ví dụ 2: Cho 3 số thực a; b; c thoả mãn điều kiện: Chứng minh rằng cả 3 số a; b; c là số dương. Giải Vì abc > 0 nên trong 3 số a; b; c phải có một số dương. Giả sử ngược lại cả 3 số đều âm thì abc < 0. Vô lí. Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0. Mà abc > 0 nên bc > 0. Nếu b < 0; c < 0 thì b + c < 0. Từ a + b + c > 0 Điều này trái với giả thiết: ab + ac + bc > 0. b > 0; c > 0. Vậy cả 3 số a; b; c là số dương. 6.3. Chú ý. Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận. 6.4. Bài tập tự giải. 1/ Cho a > b > 0 và . Chứng minh rằng không thể có a < 1; b < 1. 2/ Cho hai số dương a; b thoả mãn điều kiện a5 + b5 = a3 + b3. Chứng minh rằng: 3/ Cho ba số dương a; b; c thoả mãn điều kiện abc = 1. CMR: . 7. Phương pháp đổi biến. 7.1 Cơ sở toán học. B1: Đặt biến mới dựa theo bến cũ. B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến mới. B3: Kết luận và trả lời theo biến cũ. 7.2 Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: . (1) Với a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Giải Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta có x; y; z > 0. Ta phải chứng minh: Ta có: Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được: (2) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Vậy (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 2: Cho a + b+ c = 1. Chứng minh rằng: Giải Đặt Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0. Ta có: Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi Ví dụ 3: Cho và a + b + c = 1. CMR: Giải Đặt x = 2a + 1, y = 2b + 1, z = 2c + 1. Dễ thấy: . Ta có: x + y + z = 2(a + b + c) + 3 = 5. Ta phải chứng minh: . Mặt khác ta lại có: Bởi vậy Chửng tỏ (2) đúng. Suy ra (1) đúng. Vậy: 7.3 Chú ý: Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý: * Đặt biến mới theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới. * Nắm chắc được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng. * Đổi về biến cũ. 7.4 Bài tập tự giải. 1/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2/Cho a; b; c . Chứng minh rằng: 8. Phương pháp tam thức bậc 2. 8.1. Cơ sở toán học. Ta có thể dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức. Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2 + bx + c với + Nếu thì a.F(x) > 0 với + Nếu thì a.F(x) > 0 với F(x) cùng dấu với a. + Nếu thì . Ta có: x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm: x x2 a.F(x) > 0. x nằm trong khoảng 2 nghiệm:x1 <x < x2 a.F(x) < 0. 8.2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Cho và a + b + c = 0. CMR: a2 + b2 + c2 6. Giải Theo tính chất về dấu của tam thức bậc 2: (1) Tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được: a2 - a - 2 + b2 - b - 2 + c2 - c - 2 0 a2 + b2 + c2 - (a + b + c) 6. Vì a + b + c = 0 nên a2 + b2 + c2 6. Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi - Bunhia côpxki. Cho n cặp số thực bất kỳ (a1; b1); (a2; b2)... (an; bn). Thế thì: (a1b1 + a2b2+... + anbn) (a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi số kR sao cho: ka1= b1; ka2= b2;...; kan= bn. Giải: Với x R ta có: (a1x- b1)2 0 (a2x- b2)2 0 ................... (anx- bn)2 0 Từ đó suy ra: a12x- 2a1b1x+ b120 a22x2- 2a2b2x+ b220 ... an2x2- 2anbnx+ bn20 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: (a12 + a22 +...+ an2)x2- 2(a1b1+ a2b2+...+ anbn)+(b12 + b22 +...+ bn2) 0. Vế trái là một tam thức bậc 2 F(x)= (a1b1+ a2b2+...+ anbn)x2- 2(a1b1+ a2b2+...+ anbn)+(b12 + b22 +...+ bn2). (Với a12 + a22 +...+ an2 0). Mà f(x) 0, x R nên ta có: ’ 0 tức là:’= B2- AC. Hay: ’= (a1b1+ a2b2+...+ anbn)2- (a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2) 0. (a1b1+ a2b2+...+ anbn)2(a12 + a22 +...+ an2)(b12 + b22 +...+ bn2). (Nếu A=0 thì: a1= a2=...= an= 0, Do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thường). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ’=0 (a1x - b1)= (a2x - b2)=...= (anx - bn) = 0 b1= ka1; b2= ka2;...; bn= kan Với k R. Ví dụ 3: Cho các số: a, b, c, d thảo mãn: a + d = b + c. Chứng minh rằng: Nếu lấy số m sao cho: 2m > thì với mọi x R ta luôn có: (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 0 (1). Giải Dựa vào giả thiết cho: a + d = b + c nên ta có: (1) Vì a + d = b + c nên đặt: y = x2 - (a + d)x = x2 - (b + c)x ta được bất đẳng thức: Đặt F(y)= y2 + (ad + bc)y + abcd + m2. Ta có: Vì nên Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 0. (đpcm) 8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần chú ý: +Nắm chắc định lí về dấu của tam thức bậc 2. + Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: hoặc Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoặc biến y. 8.4 Bài tập tự giải 1/ Chứng minh rằng với mọi a R ta đều có 2/ Cho a; b; c thoả mãn hệ thức: a2 + b2 + c2 = 2 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 3/ Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a R ta luôn có: (a + b + c + d)2 > 8.(ac + bd). 4/ Cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn: a2 + b2 + c2 + d2 < m2 + n2. Chứng minh rằng: III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức. A. Một số định lí, bất đẳng thức cần dùng. 1.Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dương x1; x2; ... xn bằng một số cho trước thì tích của chúng lớn nhất khi: x1= x2= ...= xn. *Định lí 1: Nếu có n số dương x1; x2; ... xn có tổng bằng S không đổi thì tích P = x1. x2. ... .xn có giá trị lớn nhất khi: Trong đó mi là các số hữu tỉ dương. 2. Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích của các số dương x1; x2; ... xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1= x2= ... = xn. *Định lí 2: Nếu n số thực dương x1; x2; ... xn có tích P = x1. x2. ... .xn không đổi thì tổng S = x1 + x2 + ... + xn có giá trị bé nhất khi Trong đó mi (i = 1; 2; ...; n) là các số hữu tỉ dương cho trước. 3. Mệnh đề 3: Cho x1; x2; ... xn R ta có: (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xi cùng dấu. Đặc biệt: B. áp dụng 1. Tìm cực trị của hàn số. Biểu thức đại số. Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: Giải Dễ thấy hàm số xác định với . Ta có: áp dụng bất đẳng thức: ta được: Dấu “=” xảy ra Do đó ymin = 1. Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Giải Điều kiện để hàm số xác định là: Khi đó: Dấu bằng xảy ra Vậy ymin = 2. Bài 3: Cho x; y liên hệ bởi phương trình x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0 (1). Tìm GTNN của biểu thức S = x + y + 1. Giải Ta có (1) x2 + 2xy + y2 +2(x + y) + 1 + 5(x + y) + 5 + 4 = -y2. (x + y)2 + 2(x + y) + 12 + 5(x + y + 1) + 4 = -y2. (x + y + 1)2 + 5(x + y + 1) + 4 = -y2. S2 + 5S + 4 = -y2. S2 + 5S + 4 0.