Phép biến hình trong mặt phẳng

Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. 1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 1.1 Phép biến hình Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một và chỉ một điểm M ′ được gọi là phép biến hình. Điểm M ′ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình. Nếu F là phép biến hình vàM ′ là ảnh củaM qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f(M) = M ′. Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M ′. Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ #»v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M ′ sao cho # » MM ′ = #»v là một phép biến hình. Định nghĩa 1.2 Cho hình H , với mỗi điểm M ∈H , gọi M ′ là ảnh của M qua phép biến hình F . Tập hợp các điểm M ′ tạo nên hình H ′. Khi đó, H ′ gọi là ảnh của H qua qua phép biến hình F . Kí hiệu F (H ) = H ′. 1.2 Phép dời hình Định nghĩa 1.3 Phép biến hình F được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tức là, nếu F (A) = A′ và F (B) = B′, thì A′B′ = AB. 1.3 Phép tịnh tiến Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho vectơ #»v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểmM với điểm M ′ sao cho # » MM ′ = #»v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ #»v và được ký hiệu là T #»v . T #»v (M) = M ′ ⇔ # »MM ′ = #»v Nhận xét. a) M ′ = T #»v (M)⇔M = T− #»v (M ′). b) M ′ = T #»v (M), N ′ = T #»v (N)⇔ # »M ′N ′ = # »MN . c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó. Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M ′ và N ′, thì M ′N ′ = MN . Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 1 Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng. Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc. 1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (a; b). Giả sửM(x; y) biến thành M ′(x′; y′). Khi đó, ta có x′ = x+ a,y′ = y + b. . 1.1 Qua phép tịnh tiến theo vectơ #»u 6= #»0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng ∆. Trong trường hợp nào thì d trùng với ∆? d song song với ∆? d cắt ∆? . 1.2 Cho hai đường thẳng song song a và b. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành b. . 1.3 Cho hai phép tịnh tiến T #»u và T #»v . Với điểm M bất kì, T #»u biến M thành M ′, T #»v biến M ′ thành M ′′. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′′ là một phép tịnh tiến. . 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ #»u biến điểm A(3; 2) thành điểm A′(2; 3). Tìm ảnh của điểm B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ #»u . . 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểmM(−2;−5), đường thẳng ∆ : 2x+3y−4 = 0, đường tròn (C ) : x2 + y2 − 2x + 6y + 1 = 0. Tìm ảnh của M , ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (2;−3). Đáp số. M ′(0;−8); ∆′ : 2x+ 3y + 1 = 1 và (C ′) : x2 + y2 − 6x+ 12y + 36 = 0. . 1.6 Tìm ảnh của parabol y = x2 qua phép tịnh tiến theo vectơ #»v = (2;−3). Đáp số. y = x2 − 4x+ 1. . 1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1), B(4; 0) và hai đường thẳng d1 : 3x + y + 2 = 0, d2 : 2x + 5y − 4 = 0. Tìm trên các đường thẳng d1, d2 lần lượt các điểm C,D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Đáp số. C(−1; 1) và D(−3; 2). . 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) đi qua gốc toạ độ và có tâm I(1;−2). 2 a) Viết phương trình của đường tròn (C ). Tìm toạ độ của điểm A là giao điểm (khác gốc toạ độ O) của (C ) và trục tung. b) Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (C ). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác OAM . . 1.9 Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định. . 1.10 Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn 180◦. Gọi (O′;R) là ảnh của (O;R) và B′ là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2 # » OA. Chứng minh rằng B̂AB′ = 90◦. . 1.11 Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M , ta dựng điểm N sao cho # » MN = # » MA+ # » 2MB− # »MC. Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d. . 1.12 Cho trước một điểm A, một đường thẳng d không đi qua A. Trên d ta đặt một đoạn thẳng BC = a (a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để AB + AC nhỏ nhất. . 1.13 Trong số các tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo m,n cho trước và góc tạo bởi hai đường chéo đó bằng α cho trước, tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất? Trả lời. Hình bình hành. . 1.14 1Where should we construct bridge MN though the river that separates villages A and B so that the path AMNB from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.) . 1.15 Consider triangle ABC. Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to its intersection with AB, and so on. Prove that after a number of steps the trajectory of the point M becomes a closed one. 2 Cho tam giác ABC và điểm M nằm ở miền trong của tam giác. Cho điểm M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh BC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AC. Sau đó, M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AB đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh BC. Lại cho M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AB. Quá trình di chuyển điểm M cứ tiếp tục như vậy. Chứng minh rằng, sau một số bước, thì đường quỹ đạo của điểmM sẽ là một đường khép kín. 1Các đề Toán bằng tiếng Anh trong tài liệu này được trích từ cuốn “Problems in plane and solid”, V.1, Plane Geometry, Viktor Prasolov. 2Tôi tạm dịch. Rất mong nhận được góp ý của mọi người. Chân thành cám ơn. 3 . 1.16 Let K,L,M and N be the midpoints of sides AB,BC,CD and DA, respectively, of a convex quadrilateral ABCD. a) Prove that KM 6 1 2 (BC + AD). b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths of the segments KM and LN . Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi K,L,M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và DA. a) Chứng minh rằng KM 6 1 2 (BC + AD). b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM và LN . . 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the bisectors of angles  and B̂, and N the intersection point of the bisectors of angles Ĉ and D̂. Prove that 2MN = |AB + CD −BC − AD|. Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau. Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của góc  và B̂, và N là giao điểm của các đường phân giác trong của góc Ĉ và D̂. Chứng minh rằng 2MN = |AB + CD −BC − AD|. . 1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw. It is known that KH = a and BD = b (b > a). Find the distance from B to the intersection point of the heights of the triangle BHK. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH. Biết rằng KH = a và BD = b (b > a). Tìm khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác BHK. . 1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points is not equal to 0.001. Prove that the area of this figure does exceed a) 0.34; b) 0.287. Cho hìnhH . Lấy trongH hai điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa chúng khác 0.001. Chứng minh rằng diện tích của hình H không vượt quá a) 0.34; b) 0.287. 4 . 1.20 Consider two circles S1, S2 and the line `. Draw `1 so that: a) the distance between the intersections points of `1 with circles S1 and S2 is a given value a; b) S1 and S2 intercept on `1 equal chords; c) S1 and S2 intercept on `1 the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value. Cho hai đường tròn S1, S2 và đường thẳng `. Dựng đường thẳng `1 sao cho a) khoảng cách giữa các giao điểm của `1 với các đường tròn S1 và S2 là một giá trị a cho trước; b) S1 và S2 chắn `1 các dây cung bằng nhau; c) S1 và S2 chắn `1 các dây cung mà tổng độ dài của chúng là một giá trị cho trước. . 1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle . Contruct a point X on the circle so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a. Cho đường tròn (C ) và các dây cung không cắt nhau AB và CD trên (C ). Dựng điểm X trên (C ) sao cho các dây cung AX và BX cắt dây cung CD theo một đoạn thẳng EF có độ dài bằng a (a cho trước) . 1.22 Given point A and two circles S1, S2. Though A draw line ` so that S1 and S2 intercept on `1 equal chords. Cho điểm A và các đường tròn S1, S2. Qua A hãy dựng đường thẳng ` sao cho S1 và S2 chắn trên `1 các dây cung bằng nhau. 2 Phép đối xứng tâm Định nghĩa 2.1 Cho điểm O. Phép đối xứng tâm, kí hiệu ĐO là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho # » OM ′ = − # »OM . ĐO(M) = M ′ ⇔ # »OM ′ = − # »OM . Điểm O gọi là tâm đối xứng. Nhận xét. Phép đối xứng qua tâm O biến điểm O thành chính nó và biến mọi điểm M khác O thành điểm M ′ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM ′. Định lí 2.1 Cho ĐO(A) = A ′ và ĐO(B) = B′. Khi đó, # » AB = − # »A′B′. Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc. 5 2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x; y) thành điểm M ′(x′; y′) thì x′ = 2a− x,y′ = 2b− y. 2.2 Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. . 2.1 Tìm một hình có vô số tâm đối xứng. . 2.2 Tìm một hình không có tâm đối xứng. . 2.3 Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có bao nhiêu tâm đối xứng? . 2.4 Hình gồm hai đường thẳng song song nhau có bao nhiêu tâm đối xứng? . 2.5 Cho hai đường thẳng d và d′ cắt nhau tại A và điểm M không nằm trên hai đường thẳng đó. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt d và d′ lần lượt tại các điểm B,C sao cho MB = MC. . 2.6 Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung có độ dài bằng nhau. . 2.7 Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A,C còn hai đỉnh đối diện B,D còn lại nằm trên một đường tròn tâm O, bán kính R cho trước. . 2.8 Cho góc x̂Oy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy dựng đường thẳng đi qua A, cắt cạnh Ox tại B, cắt cạnh Oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC. . 2.9 Consider two concentric circles S1 and S2. Draw a line on which these circles intercept three equal segments. Cho hai đường tròn đồng tâm S1 và S2. Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai đường tròn S1 và S2 thành ba đoạn thẳng bằng nhau. . 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles one. Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân. 6 . 2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax,By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Xét các hình thoi MNPQ có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax, đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60◦. Tìm tập hợp đỉnh N . . 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x−5y+4 = 0, đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 + 8x − 10y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm M(4; 1), đường thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I. Đáp số. M ′(−6; 5), ∆′ : 7x− 5y − 40 = 0; (C ′) : (x+ 4)2 + (y − 5)2 = 2. . 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns. It is only allowed to place a coin onto an unoccupied place. The loser is the one who can not make any move. Prove that the first player can always win in finitely many moves. . 2.14 A circle intersects sides BC,CA,AB of a triangle ABC at points A1 and A2, B1 and B2, C1 and C2, respecrively. Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1, B1 and C1 intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1, B1 and C1 also intersect at one point Một đường tròn cắt các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2. Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A1, B1 và C1 đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A2, B2 và C2 cũng đồng quy. . 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD. Prove that if the area of a triangle PCD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC ‖ AD. Cho tứ giác lồi ABCD có P là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng nếu diện tích của tam giác PCD bằng một nửa diện tích của tứ giác ABCD, thì BC ‖ AD. . 2.16 Unit circles (C1) and (C2) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius 2 belongs to (C1). Circle (C1) is tangent to circle (C ) at a point B. Prove that the line AB passes through the intersection point of circle (C2) and (C ). Cho hai đường tròn đơn vị tiếp xúc với nhau tại điểm A. Gọi (C ) là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (O ∈ (C1)). Đường tròn (C1) tiếp xúc với (C ) tại điểm B. Chứng minh rằng đường thẳng AB đi qua giao điểm của (C2) và (C ). . 2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn. Prove that if B̂AF = B̂CE = 30◦, then triangle ABC in an equilateral one. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE. Chứng minh rằng nếu B̂AF = B̂CE = 30◦, thì tam giác ABC là tam giác đều. . 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation. 7 Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến. . 2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either order) is a central symmetry. Chứng minh rằng hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm (hoặc một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến) là một phép đối xứng tâm. . 2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry. b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry c) Let M be a finite set of points on a plane. Point O will be called an “almost center of symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry of the remaining set. How many “almost center of symmetry” can a set have? a) Chứng minh rằng một hình bị chặn (hình kín) không thể có nhiều hơn một tâm đối xứng. b) Chứng minh rằng không tồn tại một hình mà nó có đúng hai tâm đối xứng. c) Cho M là một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Điểm O được gọi là hầu tâm đối xứng của tập hợp M nếu như ta xoá một điểm nào đó của M thì O trở thành tâm đối xứng các điểm còn lại của M . Hỏi có bao nhiêu điểm là hầu tâm đối xứng của M? . 2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n points are painted blue and the remaining points are painted red. Prove that the sum of distances from A to the blue points is equal to the sum of distances from B to the red points. Trên đoạn thẳng AB, cho n (cặp) điểm đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng AB; n điểm trong số 2n điểm này được sơn màu xanh. Số điểm còn lại được sơn màu đỏ. Chứng minh rằng tổng các khoảng các từ A đến các điểm sơn màu xanh bằng tổng các khoảng các từ B đến các điểm sơn màu đỏ. 3 Phép đối xứng trục Định nghĩa 3.1 Phép đối xứng qua đường thẳng a, kí hiệu Đa, là phép biến hình biến điểm M của mặt phẳng thành điểm M ′ sao cho • nếu M 6∈ a, thì a là đường trung trực của đoạn thẳng MM ′. • nếu M ∈ a, thì M ≡M ′. Định lí 3.1 Phép đối xứng trục biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M ′, N ′, thì M ′N ′ = MN . 8 Định lí 3.2 Phép đối xứng trục biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng. Hệ quả 3.1 Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó. 3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, • phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M ′(x;−y). • phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M ′(−x; y). Định nghĩa 3.2 Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua trục d biến H thành chính nó. . 3.1 On the bisector of the exterior angle Ĉ of triangle ABC point M distinct from C is taken. Prove that MA+MB > CA+ CB. Trên đường phân giác ngoài góc C của tam giác ABC lấy điểm M (M không trùng với C). Chứng minh rằng MA+MB > CA+ CB. . 3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B1 and A1, respectively. Prove that if AC > BC, then AA1 > BB1. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với với các cạnh AC và BC lần lượt tại B1 và A1. Chứng minh rằng nếu AC > BC, thì AA1 > BB1. . 3.3 Prove that the area of any convex quaddrilateral does not exceed a half sum of the products of opposite sides. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lồi bất kì không vượt quá một nửa tổng của tích các cạnh đối diện. . 3.4 Given line ` and two points A and B on one side of it, find point X on line ` such that the length of segment AXB of the broken line was minimal. Cho đường thẳng ` và hai điểm A, B ở về cùng một phía của `. Tìm điểm X trên ` sao cho độ dài đường gấp khúc AXB nhỏ nhất. . 3.5 Cho góc nhọn x̂Oy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. . 3.6 Inscribe a triangle of the least perimeter in a given acute triangle. 9 Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất sao cho ba đỉnh của tam giác đó nằm trên ba cạnh khác nhau của tam giác nhọn cho trước. . 3.7 PointM belongs to a diameter AB of a circle (C ). Chord CD pass throughM and intesects AB at an angle of 45◦. Prove that the sum CM2 + DM2 does not depend on the choice of point M . Cho đường tròn (C ), điểm M nằm trên đường kính AB của (C ). Dây CD qua M và hợp với AB một góc 45◦. Chứng minh rằng tổng CM2 +DM2 không phụ thuộc vào việc chọn điểm M . . 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn. It intersects sides CA and CB (or their extensions) at points A1 and B1. Prove that A1A A1M = B1B B1M . Cho tam giác cân ABC, trên cạnh đáy AB ta lấy điểmM , đường thẳng quaM cắt các cạnh CA and CB (hoặc phần kéo dài của các cạnh) tại các điểm A1 và B1. Chứng minh rằng A1A A1M = B1B B1M . . 3.9 Cho đường tròn (C ), đường thẳng ∆ và hai điểm phân biệt A,B không thuộc chúng. Xác định điểm C ∈ ∆, D ∈ (C ) sao cho tứ giác ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD. . 3.10 Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm khác phía đối với d. Hãy dựng điểm C trên d sao cho tam giác ABC có đường phân giác góc ÂCB nằm trên d. . 3.11 Cho hai điểm A và B cố định. Với mỗi đường thẳng d qua B, ta dựng điểm A′ đối xứng với A qua d. Tìm tập hợp điểm A′ khi d quay quanh B. 4 Phép quay Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho một điểm O và một góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ′ sao cho OM = OM ′ và (OM,OM ′) = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hiệu Q(O,ϕ). Ví dụ 4.1 Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tìm ảnh của A qua phép quay tâm G, góc quay −120◦. Tìm ảnh của B qua phép quay tâm G, góc quay 240◦ Định lí 4.1 Phép quay là một phép dời hình. Định lí 4.2 Phép quay biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng. Hệ quả 4.1 Phép quay trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó. 10 . 4.1 Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C (B nằm giữa A và C). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC vẽ các tam giác đều ABE và BCF . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AF và CE. Chứng minh rằng BMN là tam giác đều. . 4.2 Cho tam giác đều ABC. Vẽ các tam giác đều ABC1, CAB1, BCA1 nằm ngoài miền tam giác ABX. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 có độ dài bằng nhau và đồng quy tại một điểm. . 4.3 Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ. a) Chứng minh rằng NC ⊥ BQ và NC = BQ. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh AM ⊥ QN và AM = BQ 2 . . 4.4 Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một đa giác đều là các đỉnh của một đa giác đều. . 4.5 Cho hai đường thẳng d và d′ không vuông góc với nhau và điểm A không nằm trên hai đường thẳng đó. Hãy dựng tam giác vuông cân ABC (AB = AC) sao cho hai đỉnh B,C nằm hai trên đường thẳng đã cho. . 4.6 Cho hai đường thẳng song song a và b và điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều. 4.1 Rotation by 90◦ . 4.7 On sides BC and CD of square ABCD points M and K, respectively, are taken so that B̂AM = M̂AK. Prove that BM +KD = AK. Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho B̂AM = M̂AK. Chứng minh rằng BM +KD = AK. . 4.8 In triangle ABC median CM and height CH are drawn. Through an arbitrary point P of the plane in which ABC lies the lines are drawn perpendicularly to CA,CM and CB. They intersect CH at points A1,M1 and B1, respectively. Prove that A1M1 = B1M1. Gọi CM là trung tuyến và CH là đường cao của tam giác ABC. P là điểm bất kì ở trên mặt phẳng chứa tam giác ABC. Qua P kẻ các đường vuông góc với CA,CM và CB, chúng cắt CH lần lượt tại các điểm A1,M1 và B1. Chứng minh rằng A1M1 = B1M1. . 4.9 Two squares BCDA and BKMN have a common vetex B. Prove that the median BE of a triangle ABK and height BF of a triangle CHB be long to a line. (The vertices of each square are counted clockwise). 11 Cho hai hình vuông BCDA và BKMN có chung đỉnh B (và ở cùng trong một mặt phẳng). Chứng minh rằng đường trung tuyến BE của tam giác ABK và đường cao BF của tam giác CHB cùng nằm trên một đường thẳng. (Các đỉnh của mỗi hình vuông được sắp theo chiều kim đồng hồ). . 4.10 Inside square A1A2A3A4 point P is taken. From vertex A1, we drop the pependicular on A2P ; from vertex A2, we drop the pependicular on A3P ; from A3 on A4P and from A4 on A1P . Prove that all four perpendiculars (or their extentions) intersect at one point. . 4.11 On sides CB and CD of square ABCD points M and K are taken, respectively, so that the perimeter of triangle ABC is equal to the doubled length of the square’s side. Find the value of angle M̂AK. Trên các cạnh CB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho chu vi của tam giác ABC bằng hai lần chiều dài cạnh của hình vuông. Tìm giá trị của góc M̂AK. . 4.12 On the plane three squares (with same orentation) are given: ABCD, AB1C1D1 and A2B2CD2; the first square has common vertices A and C with the two other squares. Prove that median BM of triangle BB1B2 is perpendicular to segment D1D2. . 4.13 Triangle ABC is given. On its sides AB,BC squares ABMN and BCPQ are constructed outwards. Prove that the centers of these squares and the midpoints of segments MQ and AC form a square. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,BC, về phía ngoài của tam giác, dựng các hình vuông ABMN và BCPQ. Chứng minh rằng tâm các hình vuông này và trung điểm của các đoạn MQ và AC là các đỉnh của một hình vuông. . 4.14 A parallelogram is circumscribed about a square. Prove that the pependiculars dropped from the vertices of the parallelogram to the sides of the square form a square. 4.2 Phép quay góc 60◦ (Rotation by 60◦) . 4.15 On segment AE, on one side of it, equilateral triangles ABC and CDE are constructed; M and P are the midpoints of segments AD and BE, respectively. Prove that triangle CPM is an equilateral one. Trên đoạn thẳng AE ta dựng các tam giác đều ABC và CDE về cùng một phía của đoạn thẳng. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BE. Chứng minh rằng tam giác CPM là một tam giác đều. . 4.16 Given three parallel lines. Construct an equilateral triangle so that its vertices belong to the given lines. Dựng một tam giác đều có ba đỉnh nằm trên ba đường thẳng song song cho trước. 12 . 4.17 Given a square, consider all possible equilateral triangles PKM with fixed vertex P and vetex K belong to the square. Find the locus of vetices M . . 4.18 Find the locus of points M that lie inside equilateral triangle A