Phương pháp Đại số 9 - Huỳnh Viết Cường

1// CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA : a3 = a.a.a a1 = a a0 = 1 (a0) 1n = 1 am . an = am + n am : an = am – n (am ) n = am . n (a .b) n = an. bn a-n = A > 0 A < 0 n chẳn An > 0 An > 0 n lẻ An > 0 An < 0 2// RÚT GỌN BIỂU THỨC : Quy đồng mẫu thức, nếu có. Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức. Trục căn thức ở mẫu, nếu có. Thực hiện các phép tính: trong ngoặc, luỹ thừa, khai căn, nhân chia, cộng trừ,… Cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. Rút gọn phân thức: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử. Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung. (*) Các dạng thường gặp : với mọi A Ỵ R Nếu A ³ 0 thì Nếu A < 0 thì ( với a , b thỏa a2 + b2 = m và 2ab = n ) Cách tìm a và b : Cho 2ab = n Suy ra ab = Chọn a , b sao cho : ab = và thỏa a2 + b2 = m. 3// ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH ( CÓ NGHĨA ) CỦA BIỂU THỨC : xác định khi A ³ 0 xác định khi B ¹ 0 ( a.b ¹ 0 a ¹ 0 và b ¹ 0 ) xác định khi B > 0 4// CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC : A = B : a/ Phương pháp dựa vào định nghĩa: Lập hiệu A – B . Biến đổi và chứng tỏ hiệu A – B = 0 Kết luận A = B b/ Phương pháp so sánh: b1) Biến đổi từ vế trái thành vế phải: A = A1 = A2 = … = B b2) Biến đổi từ vế phải thành vế trái : B = B1 = B2 = … = A b3) Biến đổi cả hai vế cùng bằng biểu thức khác: Ta có : A = A1 = A2 = … = M B = B1 = B2 = … = M Þ A = B (tính chất bắt cầu) c/ Phương pháp tương đương: Giả sử , ta có: A = B Û A1 = B1 Û A2 = B2 Û … Û M = N (đẳng thức đúng) Kết luận A = B d/ Phương pháp dùng giả thiết hay từ đẳng thức đã biết: Ta có M = N Û A1 = B1 Û A2 = B2 Û … Û A = B e/ Phương pháp phản chứng: Giả sử A ¹ B Rút gọn và chứng tỏ A ¹ B là đều vô lý Kết luận A = B f/ Phương pháp qui nạp: (dùng để chứng minh đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên n) Chứng minh đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đẳng thức đúng với n = k. Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1. Kết luận đẳng thức đúng với mọi n. g/ Phương pháp dùng biểu thức phụ:(khi đẳng thức có A hoặc B chứa căn thức bậc 2) Đặt y = A (giả sử A chứa căn thức bậc 2), y thoả điều kiện (*) nào đó. Bình phương hai vế, ta được: y2 = A2 = A1 = A2 = … = B2 - Suy ra y = B hoặc y = – B - So với điều kiện (*) Þ y = B Kết luận A = B. 5// CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: A > B a/ Phương pháp dựa vào định nghĩa: Lập hiệu A – B Rút gọn và chứng tỏ A – B > 0 Kết luận A > B b/ Phương pháp biến đổi trực tiếp: Ta có : A = A1 = A2 = … = B + M2 Suy ra A > B ( vì M2 > 0 với mọi M ¹ 0 ) c/ Phương pháp dùng giả thiết hay một bất đẳng thức đã biết: d/ Phương pháp so sánh: e/ Phương pháp dùng tính chất bắc cầu: - Ta có A > M và M > B Suy ra A > B f/ Phương pháp phản chứng: Giả sử A < B Ta biến đổi và chứng tỏ A < B là đều vô lý Kết luận A > B g/ Phương pháp tương đương: Ta có A > B Û A1 > B1 Û … Û M > N ( bất đẳng thức luôn đúng ) Kết luận A > B h/ Phương pháp qui nạp: (Chứng minh như phương trình) i/ Phương pháp phân tích số hạng: 6// GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : a/ Phương trình bậc nhất một ẩn , dạng : ax + b = 0 (1) Cách giải : (1) Û ax = – b Û x = Kết luận */ Phương trình đưa được về dạng bậc nhất : Thực hiện các phép toán luỹ thừa, quy đồng, nhân phân phối (khi có ngoặc). Chuyển tất cả các hạng tử có chứa ẩn (x) về vế trái, các hạng tử không chứa ẩn (x) sang vế phải. Rút gọn theo từng vế. Chia cả hai vế cho hệ số đi với ẩn (x). b/ Phương trình tích , dạng : A(x) . B(x) = 0 (2) Cách giải : (2) Û A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 Û x = ? hoặc x = ? Kết luận c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu : Các bước giải : Tìm ĐKXĐ của phương trình (cho mẫu khác 0, tìm x ¹ ? ) Tìm mẫu thức chung. Quy đồng và khử mẫu hai vế. Giải phương trình tìm được. So sánh giá trị tìm được với ĐKXĐ : + Giá trị thỏa ĐKXĐ là nghiệm của phương trình. + Giá trị không thỏa ĐKXĐ không là nghiệm của phương trình . d/ Phương trình bậc hai một ẩn : ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0 ) (4) Cách giải : Tính biệt thức D = b2 – 4ac - Nếu D < 0 thì phương trình (4) vô nghiệm. - Nếu D > 0 thì phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt : x1 = ; x2 = - Nếu D = 0 thì phương trình (4) có nghiệm kép : x1 = x2 = e/ Phương trình trùng phương , dạng : ax4 + bx2 + c = 0 ( a ¹ 0 ) (5) Cách giải : - Đặt ẩn phụ t = x2 ( điều kiện t ³ 0 ) Phương trình : (5) trở thành : at2 + bt + c = 0 (5’) Giải phương trình (5’) như phương trình bậc hai, ta được hai nghiệm t1 và t2 So sánh giá trị t1 và t2 với điều kiện : + Giá trị t < 0 loại. + Giá trị t ³ 0 nhận. Lấy giá trị t ³ 0 thay vào đẳng thức t = x2 , ta được : x = x = Kết luận : nghiệm của phương trình (5) là: và f/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : f1/ Dạng: = a (71) với a là hằng số Nếu a = 0 thì (71) Û A(x) = 0 Û x = ? Nếu a < 0 thì (71) Û vô nghiệm. Nếu a > 0 thì (71) Û A(x) = a hoặc A(x) = – a Û x = ? hoặc x = ? f2/ Dạng : (72) với B(x) là biểu thức chứa biến x. Cách 1 : (72) A(x) = B(x) khi B(x) 0 hay A(x) = – B(x) khi B(x) < 0 x = ? khi x ? hay x = ? khi x < ? Kiểm tra với điều kiện, rồi kết luận. Cách 2 : Đặt điều kiện : B(x) 0 (*) (72) A(x) = B(x) hay A(x) = – B(x) x = a hay x = b So sánh với điều kiện (*) , rồi kết luận. Cách 3 : Đặt điều kiện : B(x) 0 (*) (72) [A(x)]2 = [B(x)]2 x = ? So sánh với điều kiện (*) , rồi kết luận. */ Nếu B(x) < 0 với mọi x thì (72) vô nghiệm. f3/ Dạng: Û A(x) = B(x) hay A(x) = – B(x) Û x = ? hay x = ? f4/ Dạng: Û Û g/ Phương trình vô tỉ (chứa dấu căn bậc hai): g1/ Dạng : Û ( B < 0 , pt vô nghiệm ) g2/ Dạng : Û g3/ Dạng : g4/ Dạng : : Đặt điều kiện cho các căn thức : Bình phương hai vế. Rút gọn, đưa về dạng g1. 7// GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN : Phương pháp cộng . Phương pháp thế. 8// GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH : a/ Dạng bậc nhất : ax – b > 0 : ( a ¹ 0 ) Û ax > b Û x > với a > 0 hay Û x < với a < 0 b/ Dạng : : Û A2 < B2 c/ Dạng : > B : Û A > B hoặc A < – B hoặc B < 0 hoặc d/ Dạng : < B : Û – B < A < B Û hoặc Û e/ Dạng : > B : Û hay f/ Dạng : < B : Û (Nếu B 0 , bpt vô nghiệm) . g/ Dạng : h/ Dạng tích (hay thương): */ A.B < 0 (A,B trái dấu) ( hay ) */ A.B > 0 (A,B cùng dấu) ( hay ) i/ Dạng bậc hai : ax2 + bx + c : Cách giải : Đưa ax2 + bx + c về dạng tích : (x – m)(x – n) rồi giải như dạng dạng f/. (m, n là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0) 9// VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ : a/ Dạng đường thẳng y = ax (với a ¹ 0) - Lập bảng giá trị: x xA y = ax yA - Biểu diễn điểm A(xA; yA) lên mặt phẳng tọa độ Oxy. - Vẽ đường thẳng qua hai điểm A và O. b/ Dạng đường thẳng y = ax + b (với a ¹ 0): - Lập bảng giá trị: x x1 x2 y = ax y1 y2 - Biểu diễn các điểm A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) lên mặt phẳng tọa độ Oxy. - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B . c/ Dạng đường cong (Parapol) y = ax2: (với a¹ 0) - Lập bảng giá trị: x x1 x2 x3(0) x4 x5 y = ax2 y1 y2 y3(0) y4 y5 - Biểu diễn các điểm A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), D(x4; y4), E(x5; y5) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. - Nối các điểm A, B, C, D, E theo một đường cong. 10// TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM : a/ Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2: */ Cách 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường thẳng d1 và d2: a1x + b1 = a2x + b2 Giải phương trình, ta được nghiệm x = x0. Thay giá trị x = x0 vào một trong hai phương trình đường thẳng d1 hay d2 , ta được giá trị y = y0. Kết luận cặp giá trị (x0 ; y0) là tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng d1 và d2. */ Cách 2: - Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ pt : - Giải hệ , ta được nghiệm (x0 , y0) là toạ độ giao điểm của d1 và d2 . b/ Tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) : y = ax + b và Parabol (P) : y = a’x2 : */ Cách 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) : a’x2 = ax + b Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm x1 ; x2. Thay giá trị x1 và x2 vào phương trình (d) hay (P) , ta được giá trị y1 và y2. Kết luận (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2). */ Cách 2: Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ : hay 11// VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG : a/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) : y = ax + b và Parapol (P) : y = a’x2 : Phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) : a’x2 = ax + b (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt (D > 0) Û (d) cắt (P) tại 2 điểm. Phương trình (*) có nghiệm kép (D = 0) Û (d) tiếp xúc với (P). Phương trình (*) vô nghiệm (D < 0) Û (d) không cắt (P). b/ Vị trí của hai đường thẳng (d1) : y = a1x + b1 và (d2) : y = a2x+ b2 : a1 ¹ a2 Û (d1) cắt (d2). Û (d1) // (d2). Û (d1) º (d2). a1. a2 = – 1 Û (d1) ^ (d2). 12// Xác định phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b : a/ Khi biết hệ số góc a = k và M(xM ; yM) Ỵ (d) : (k là hệ số đã biết, cần tìm b) - Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b. - Vì a = k và M Ỵ (d) , nên ta có : yM = k xM + b (Thay hệ số a = k và tọa độ M(xM ; yM) vào phương trình đường thẳng (d) ) - Giải phương trình , ta được : b = n. - Kết luận phương trình cần tìm là : y = kx + n. b/ Khi biết hệ số góc a = k và tiếp xúc với Parapol (P) : y = a’x2 : (k và a’ là các số đã biết) - Vì a = k , nên phương trình của (d) có dạng : y = kx + b. - Phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) : a’x2 = kx + b có biệt thức D. - Vì (d) và (P) tiếp xúc nhau nên : D = 0 - Giải phương trình : D = 0 , ta được : b = n. - Kết luận phương trình cần tìm là : y = kx + n c/ Khi biết (d) // (d1) : y = a1x + b1 và M(xM ; yM) Ỵ (d) : Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b. Vì (d) // (d1) nên a = a1 (cần tìm b) Thay a = a1 và M(xM ; yM) vào phương trình đường thẳng (d) , ta đựơc : yM = a1xM + b1 Giải phương trình , ta được : b = n Kết luận phương trình cần tìm là : y = a1x + n. d/ Khi biết (d) ^ (d2) : y = a2x + b2 và M(xM ; yM) Ỵ (d) : - Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b. - Vì (d) ^ (d2) nên a. a2 = – 1 => a = (cần tìm b) - Thay a = và M(xM ; yM) vào phương trình đường thẳng (d) , ta đựơc : yM = xM + b - Giải phương trình , ta được : b = n - Kết luận phương trình cần tìm là : y = x + n. e/ Khi biết (d) đi qua hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB) : (cần tìm a , b) - Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b. - Vì A(xA ; yA) và B(xB ; yB) Ỵ (d) nên a , b là nghiệm của hệ : - Giải hệ, ta được nghiệm - Kết luận phương trình cần tìm là : y = mx + n. f/ Khi biết (d) đi qua M(xM ; yM) và tiếp xúc với Parapol (P) : y = mx2 : Phương trình đường thẳng (d) có dạng : y = ax + b. Lập phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P) : mx2 = ax + b có biệt thức D . Vì (d) tiếp xúc với (P) nên : D = 0. Vì M Ỵ (d) nên : yM = axM + b. Giải hệ phương trình : ta được nghiệm Kết luận phương trình cần tìm là : y = a0x + b0 13// HỆ THỨC VI-ET: Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm (D 0) thì ta được : x1 + x2 = và x1.x2 = 14// TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH : Bài toán : Tìm hai số a , b khi biết : a + b = S và a.b = P. Cách giải : Điều kiện : S2 – 4P 0 Áp dụng định lý Vi-et , ta được : Hai số a, b (nếu có) là nghiệm của phương trình bậc hai : x2 – Sx + P = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm x1 và x2 . Kết luận hai nghiệm x1 và x2 chính là hai số a và b. 15// GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH : Giải và biện luận phương trình bậc nhất : ax + b = 0 : (*) Nếu a ¹ 0 thì phương trình (*) có một nghiệm : x = Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm. Nếu a = 0 và b ¹ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm. Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 : (&) Nếu a = 0 thì ta biện luận như phương trình bậc nhất : ax + b = 0 . Nếu a ¹ 0 thì ta tính biệt thức : D = b2 – 4ac D < 0 ® phương trình (&) vô nghiệm. D = 0 ® phương trình (&) có nghiệm kép : x1 = x2 = D > 0 ® phương trình (&) có hai nghiệm phân biệt : x1 = và x2 = * / Đặc biệt : phương trình (&) có nghiệm khi : D ³ 0 hay a.c < 0 . 16// GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH : ) Dạng lập phương trình: Chọn ẩn số (x) và đặt điều kiện , đơn vị thích hợp cho ẩn. Biểu diễn các đại lượng đã biết và chưa biết theo ẩn. Lập phương trình : biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. Giải phương trình tìm được. Kiểm tra ngh của phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn không, rồi kết luận. ) Dạng lập hệ phương trình hai ẩn : Chọn 2 ẩn x và y , đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho 2 ẩn đó. Biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết qua hai ẩn. Lập 2 phương trình : biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. Giải hệ phương trình tìm được. Kiểm tra nghiệm của hệ có thoã mãn điều kiện của 2 ẩn không, rồi kết luận. …………………………………………………….………………..……o0o……………………………..………………………………………………