Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ A. Phương pháp đặt ẩn phụ Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụTiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm* Nhận xét :- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :+ PP Lượng giác hoá+ PP dùng ẩn phụ không triệt để+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ Sau đây là bài viết :B. Nội dung phương pháp I. Phương pháp lượng giác hoá1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc Ví dụ 1 : Lời giải :  ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :cos()( ) = 0 Kết hợp với điều kiện của t suy ra : Vậy phương trình có 1 nghiệm : Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > 0 .Nếu Nếu .Đặt , với ta có :( ) ( ) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 :   Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Vậy nghiệm của phương trình là Ví dụ 3 : Lời giải :  ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Ví dụ 4 HD :Nếu : phương trình không xác định .Chú ý với ta có :vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành : 2. Nếu thì ta có thể đặt : Ví dụ 5 :   Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương trình có 1 nghiệm : TQ : Ví dụ 6 :  Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :(thỏa mãn)TQ : với a,b là các hằng số cho trước : 3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :Ví dụ 7 :   (1)Lời giải : Do không là nghiệm của phương trình nên :(1) (2)Đặt .Khi đó (2) trở thành :Suy ra (1) có 3 nghiệm :Ví dụ 8 :  Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành :Kết hợp với điều kiện su ra : Vậy phương trình có 1 nghiệm :  4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :Ví dụ 9 :  Lời giải : phương trình đã cho tương đương với : (1)Đặt :(1) trở thành :Suy ra (1) có tập nghiệm :Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2) II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để* Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :Đưa phương trình về dạng sau :khi đó : Đặt . Phương trình viết thành :Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :Ví dụ 1 :   (1)lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó :(1)  Phương trình trở thành :Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :Do nên không thỏa điều kiện .Với thì :( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 2 :  Lời giải : ĐK : Đặt .phương trình đã cho trở thành :* Với ,  ta có :(vô nghiệm vì : )* Với , ta có :Do không là nghiệm của phương trình nên : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)TQ : Ví dụ 3 :  Lời giải :Đặt . Phương trình đã cho viết thành :Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được : .* Nhận xét :  Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . ví dụ 4 : Lời giải :  ĐK : Đặt .phương trình đã cho trở thành :Giải ra : hoặc (loại)* ta có :Vậy là các nghiệm của phương trình đã cho .ví dụ 5 :  Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :