Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật

PHẦN THỨ NHẤT – MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài: Đối với những người làm công tác gió dục trong nhà trường, đứng trươc vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thày cô giáo phải luôn cố gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để bắt kịp với tình hình phát triển mới của giáo dục của đất nước góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất nước. Ngoài trau dồi phương pháp dạy học , người giáo viên phải trau dồi về kiến thức. Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển kiến thức của mình để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến thức giảng dạy cho các em học sinh. Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng. Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học... Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hocir đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh thêm hơn nữa như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của “Dãy số viết theo quy luật”. Đay là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình. Dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Vì vạy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật”. Để đưa ra một số phương pháp nhận biết cho học sinh. II. Mục đích nghiên cứu: “Phương pháp giải các bài toán dãy số viết theo quy luật” với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất. Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này. III. Đối tượng nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy toán 6 tôi xác định rõ đối tượng nghiên cứu là: Phương pháp giải bài toán về “Dãy số viết theo quy luật”. Cụ thể là tính tổng của một dãy số, tính tích của một dãy số và ứng dụng của nó. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài này trình bày đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau: 1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số. 2. Tự việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể. 3. Đưa ra bài toán tổng quát. 4. Nêu ứng dụng của phương pháp. V. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán số học 6. VI. Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này. 2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo dạy giỏi toán. PHẦN THỨ HAI - NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG I – Cơ sở lý thuyết Để giải được các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” ta phải dựa vò các kiến thức sau: 1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu) Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. - Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 2. Các phép tính của phân số: a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu: (M0) (M0, AB) b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: - Quy đồng mẫu các phân số. - Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. c. Nhân các phân số: (B, D0) d. Chia 2 phân số: (B, C, D0) 3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số: a. Tính chất giao hoán: - Phép cộng: (b, d0) - Phép nhân: (b, d0) b. Tính chất kết hợp : - Phép cộng : (b, d, n0) - Phép nhân: (b, d, n0) c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ): (b, d, n0) 4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b Tính chất: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c - Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c - Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0) - Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d CHƯƠNG II Phương pháp giải các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” I. Phương pháp tính tổng các dãy số viết theo quy luật: Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải. Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng. 1. Ví dụ 1: Tính tổng sau: S = * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101. Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ. Chẳng hạn: = ; ; …. ; = Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau * Cách giải: S = = +) Bài toán tổng quát: Tính tổng: S = = 2. Ví dụ 2: Tính tổng: P= * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2. VD: ; ; ; … ; Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho * Cách giải: P= = = +) Bài toán tổng quát: Tính tổng: P= (n lẻ) == 3. Ví dụ 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ; ; ; ; ... * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; ... Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy. Ta nhận thấy: 6= 1.6 66= 11.6 176= 11.16 336= 16.21 Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là: Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6. Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị. Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1). => Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501 Ta cần tính tổng A= Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : => Tương tự như vậy => => Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng * Cách giải: A= = =+++…+ = ==.= *) Bài toán tổng quát: A= =++…+ ==.= 4. Ví dụ 4: Tính tổng B= * Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau). Ta thấy: … Tổng quát ta có thể áp dụng: * Cách giải: B= = ++…+ = == ==== * Bài toán tổng quát: B= = == 5. Ví dụ 5: Tính tổng: A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99 *Hướng dẫn giải: Ta thấy số hạng của A là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu để áp dụng phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng của A với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3-0) ở số hạng thứ nhất, (4-1) ở số hạng thứ 2, (5-2) ở số hạng thứ 3... và (100-97) ở số hạng cuối cùng. * Cách giải: A= 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99 3A=1.2.(3-0) +2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +…+ 98.99.(100-97) 3A=1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ 98.99.100 - 97.98.99 3A=98.99.100 A= *) Bài toán tổng quát: A=1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) = II. Phương pháp tính tích “ Dãy số viết theo quy luật” 1. Ví dụ 1: Tính tích sau A= *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số đã cho trong tích đề có tử nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là bình phương của một số tự nhiên n (n). Nếu để cho học sinh vận dụng quy tắc nhân các phân số thì sẽ rất phức tạp trong tính toán. Với đặc điểm trên A được viết như sau. A= Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích cảu các phân số trên thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích của hai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị. VD: .... Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được. Hướng dẫn cho học sinh rằng các thừa số thứ nhất của tử thuộc dãy các thừa số thứ nhất, còn các thừa số thứ 2 thuộc dãy các số thứ 2. Từ đó ta có kết quả bài toán. *) Cách giải: A= = . . … = = *) Bài toán tổng quát: A= . . … (n) == 2. Ví dụ 2: Tính tích B= *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau: Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa được viết theo một quy luật nào cả. Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là: 3.7; 4.7; 4.9. Các thừa số có lặp lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả. Nhận thấy thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở mỗi tích không có mối liên hệ với nhau. Vậy nếu có có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3 mẫu của 3 phân số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy hai thừa số là 2 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6. Để có được như vậy ta phải nhân tử và mẫu của 3 phân số với 2 ta được: hay ta có thể viết là: Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị. Nhân tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và mẫu của 3 phân số đầu, ta có : Như vậy tích đã cho được viết thành : …. Đến đây các thừa số viết trước ở tử và mẫu là dãy tích ở tử và mẫu của phân số thứ nhất, các thừa số viết sau ở tử và mẫu là dãy các tích ở tử và mẫu của phân số thứ 2. Từ đó ta có kết quả của bài toán. *) Cách giải B= = =…. = = III. Ứng dụng. 1. Ví dụ 1 Tìm số tự nhiên x biết rằng: *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trước hết ta xét phân số ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết: = Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đôit các phân số: về dạng phân số có tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không? Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta càn áp dụng tính chất cơ bản của phân số, cụ thể là: ; ; Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết. *) Cách giải: Tìm x, biết Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau: +++…+= 2.= 2.= 2.= = :2 = = == Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là: x+1=2000 => x=1999 2. Ví dụ 2: Tìm x biết rằng +++…+= *) Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị. Ta xét = => = = => = = => = = => = Từ đó ta có cách giải bài toán *) Cách giải: Tìm x +++…+= Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau: +++…+= . = . = =.3 = == = Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là: x+3=308 => x=308 - 3=305 3) Ví dụ 3: Chứng minh rằng 100 - *) Hướng dẫn tìm lời giải: Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải chứng minh. *) Cách giải: 100 - Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với ta được đẳng thức mới như sau: 100 - += + 100= 1+ +++…+ 100 số 1 100=1+1+1+1+…+1 100=100 (đpcm) 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: +++...+< 1 *) Hướng dẫn tìm cách giải Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là bình phương của một số tự nhiên n. (n) <= ; <= <= ; ... <= Sau đó áp dụng tính chất: => a+c < b+d Từ đó ta có điều phải chứng minh: +++...+< 1 <= ; <= <= ; ... <= Vậy +++...+<+++...+ +++...+<+++...+ +++...+<1=<1 Hay +++...+< 1 (Điều phải chứng minh) PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệm với mục đính xây dựng một phương pháp giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “ Phương pháp giảng dạy bài toán: Dãy số viết theo quy luật” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh. Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài. Qua đề tài nỳ tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối giữa lý thuyết với thực hành toán học. Mỗi bài toán tôi đưa ra: - Phương pháp tìm lời giải - Cách giải - Bài toán tổng quát Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật. Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi.