Phương Pháp Giải Toán: Ứng Dụng Của Định Lí Viét

BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT Bài I: Tính Giá Trị Của Các Biểu Thức Đối Xứng Giữa Các Nghiệm. Bài I.1: 1> Giả sử là các nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0. Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c. (a). (b). (c). (d). (e). (f). (g). 2> Giả sử là các nghiệm của PT 2x2 - 11x + 13 v= 0. Hãy tính: (a). (b). (c). (d). 3> Cho PT: x2 - 2x - 1 = 0. Không tính nghiệm của PT hãy tính giá trị của các biểu thức. (a). (b). 4> Cho PT: 2x2 - x - 2 = 0. Không tính nghiệm của PT hãy tính giá trị của biểu thức. Bài I.2: 1> Giả sử a, b là hai số thỏa mãn a > b > 0. Không giải PT: abx2 - (a + b)x + 1 = 0 hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của PT đó. 2> Cho PT: x2 - mx + m - 1 = 0 có 2 nghiệm . (a). Tính giá trị biểu thức . (b). Tìm giá trị của m để . 3> Giả sử PT: x2 - ax + 1 = 0 có hai nghiệm . (a). Hãy tính . (b). Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận là nghiệm. Bài II: Tìm Tham Số Để Phương Trình Bậc Hai Có Một Nghiệm Đã Cho x = x0. Tìm Nghiệm Kia. (Với mỗi PT sau, biết một nghiệm là x0, tìm m và nghiệm còn lại:) 1> x2 - mx + 21 = 0; x0 = 7 2> x2 - 9x + m = 0; x0 = - 3 3> (m - 3)x2 - 25x + 32 = 0; x0 = 4 4> (m2 - 1)x2 + (m + 1)x + m + 3 = 0; x0 = - 2 5> x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0; x0 = 0 6> (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0; x0 = 1 Bài III: Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng. Lập PT Bậc Hai Khi Biết Hai Nghiệm Của nó. Bài III.1: 1> Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng tương ứng bằng 9 và 90. 2> Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 6m và diện tích bằng 2m2. Bài III.2: 1> Giả sử PT: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm . Hãy lập PT có nghiệm như sau: (a). và . (b). và . (c). và . (d). và . (e). và . 2> Tìm m để PT: x2 + 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm . Khi đó hãy lập PT có nghiệm như sau: (a). và . (b). và . (c). và . (d). và . (e). và . 3> Tìm m để PT: mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm . Khi đó hãy lập PT có nghiệm như sau: (a). và . (b). và . (c). và . (d). và . (e). và . 4> Tìm m để PT: mx2 - 2(m + 1)x + 2 = 0 có hai nghiệm . Khi đó hãy lập PT có nghiệm như sau: (a). và . (b). và . (c). và . (d). và . 5> Cho PT: x2 - 4x + m2 + 3m = 0. Giả sử là hai nghiệm của PT. Khi đó hãy lập PT bậc hai ẩn y có 2 nghiệm thỏa mãn: và . 6> Cho PT: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0. Giả sử là hai nghiệm của PT. Khi đó hãy lập PT bậc hai ẩn y có các nghiệm là: Bài IV: Tìm Hệ Thức Giữa Các Nghiệm Độc Lập Với Tham Số: Bài IV.1: Với mỗi PT sau hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của PT không phụ thuộc tham số a> 1> (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 2> x2 - 2(m + 1)x - m + 1 = 0 3> mx2 - 2mx + 3 = 0 4> (m - 1)2x2 - (m - 1)(m + 2)x + m = 0 b> 1> 2> 3> Bài IV.2: a> 1> Cho PT: (1 + m2)x2 - 2mx + 1 - m2 = 0 (a). CMR với mọi m > 1 PT luôn có nghiệm. (b). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của PT mà không phụ thuộc vào m. 2> Cho PT: (1 + m2)x2 - 2(m2 - 1)x + m = 0 (a). Tìm m để PT luôn có nghiệm. (b). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của PT mà không phụ thuộc vào m. b> 1> Cho PT: (a). CMR với mọi PT luôn có nghiệm. (b). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của PT mà không phụ thuộc vào . Bài V: Tìm Tham Số Biết Một Hệ Thức Của Nghiệm: Bài V.1: a> 1> Cho PT: 2> Tìm tất cả các giá trị x2 + 2mx + 4 = 0. của a để hiệu hai nghiệm của PT sau bằng 1. m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: 2x2 - (a + 1)x + a + 3 = 0. 3> Cho PT: 4> Cho PT: mx2 - 2(m + 1)x + m + 1 = 0. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0. m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: . 5> Cho PT: 6> Cho PT: . (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0. Tìm a để PT có một nghiệm lớn hơn m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: hai lần nghiệm kia một đơn vị. . 7> Cho PT: 8*> Tìm m, n để PT: 3x2 - (3m - 2)x - 3m - 1 = 0. x2 + mx + n = 0 có 2 nghiệm t/m: m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: và . 9> Tìm m để PT: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn: . b> 1> Cho PT: 2> Cho PT: 2x2 - (k + 2)x + 7 = k2 (k + 2)x2 - 2kx - k = 0 Tìm k > 0 | PT có 2 nghiệm trái dấu nhau k = ? | PT có 2 nghiệm mà sắp xếp trên và có GTTĐ là nghịch đảo của nhau. trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1. 3> Cho PT: 4> Cho PT: (m + 2)x2 + (2m + 1)x + 2 = 0. 9x2 + 2(m2 - 1)x + 1 = 0. (a). m = ? | PT có 2 nghiệm trái dấu (a). CTR với m > 2 PT có 2 nghiệm Pb âm. và tổng hai nghiệm bằng -3. (b). m = ? | PT có 2 nghiệm t/m: (b). m = ? | PT có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó. 5> Cho PT: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0 (a). m = ? | PT có hai nghiệm đối nhau. (b). m = ? | PT có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau. 6> Cho hai PT: x2 - 5x + k = 0 (1) và x2 - 7x + 2k = 0 (2) (a). k = ? | PT(1) có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. (b). k = ? | PT(2) có 2 nghiệm thỏa mãn: . (c). k = ? | cả hai PT cùng có nghiệm và một trong các nghiệm của PT(2) gấp đôi một trong các nghiệm của PT(1). c> 1> Cho PT: x2 - 2kx - (k - 1)(k - 3) = 0. CMR với mọi k PT luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 2> Giả sử PT: ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm . CMR hệ thức (k + 1)2ac - kb2 = 0 là điều kiện cần và đủ để PT có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại. 3> Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để PT có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại: x2 + ax + b = 0 4> Giả sử PT: ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm . CMR hệ thức b3 + a2c + ac2 = 3abc là điều kiện cần và đủ để PT có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. 5> Giả sử a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và . CMR nếu PT x2 + ax + bc = 0 và PT x2 + bx + ca = 0 có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các PT đó thỏa mãn PT x2 + cx + ab = 0. Bài V.2: 1> Cho PT: x2 + 2mx + 4 = 0. m = ? | PT có 2 nghiệm thỏa mãn: (a). . (b). . 2> Tìm a để PT: x2 + ax + 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn: 3> Với giá trị nào của m thì PT: mx2 + x + m - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: . 4> Cho hai PT: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) (a và c khác 0). CMR nếu (1) có 2 nghiệm dương thì (2) cũng có 2 nghiệm dương và . Bài V.3: 1> Cho PT: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0. m = ? | PT có 2 nghiệm và (a). đạt Max. (b). đạt Min. 2> Cho PT bậc hai: x2 - 4mx + 5m2 + 2m - 3 = 0 Tìm max, min của . 3> Cho PT: (a). Tìm để PT có nghiệm. (b). Gọi là hai nghiệm. Tìm max của . 4> Cho PT bậc hai: x2 + (m - 4)x + m2 - 3m + 3 = 0 (m là tham số). Tìm m để PT có 2 nghiệm đều khác 1. Khi đó CMR: . 5> Cho PT: với . (a). Tìm k để PT có nghiệm. Khi đó gọi là nghiệm. (b). Đặt . Tìm k để biểu thức E đạt max, min. 6> Cho PT: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Gọi là hai nghiệm. Tìm max của biểu thức . Bài VI: Tìm Tham Số Để Hai Phương Trình Bậc Hai Tương Đương: Bài VI.1: Xác định m để mỗi cặp PT sau tương đương: 1> 2> 3> Bài VI.2: Tìm điều kiện của tham số để mỗi cặp PT sau tương đương: 1> 2> 3> Bài VII: Xét Dấu Các Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai: Bài VII.1: Không giải PT hãy xét dấu các nghiệm (nếu có) của các PT sau: 1> 2> - 25x + 1 + 8x2 = 0 3> - 5x2 + 4x - 8 = 0 Bài VII.2: Hãy xác định m để mỗi PT sau đây: (1). Có 2 nghiệm trái dấu. (2). Có 2 nghiệm trái dấu, nghiệm dương có GTTĐ lớn hơn. (3). Có 2 nghiệm đối nhau. (4). Có 2 nghiệm trái dấu, nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn. (5). Có 2 nghiệm P.biệt cùng dấu (6). Có 2 nghiệm dương phân biệt. (7). Có 2 nghiệm âm phân biệt. (8). Có đúng 1 nghiệm dương. (9). Có đúng 1 nghiệm âm. (10). Có ít nhất 1 nghiệm dương. (11). Có ít nhất 1 nghiệm âm. 1> (m - 4)x2 - 2(m - 2)x + m - 1 = 0 2> mx2 + 2(m + 3)x + m + 1 = 0 3> mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 4> (m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - 1 = 0 5> (m - 1)x2 + 2mx + m + 1 = 0 6> x2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0 7> (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 8> x2 - 2(m + 1)x - m + 1 = 0 Bài VII.3: Tùy theo giá trị của tham số m hãy xét dấu các nghiệm của các PT sau: 1> x2 - 2(m - 1)x - m = 0 2> x2 - 2x + m = 0 3> x2 - 2mx + 3m - 2 = 0 4> mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 5> (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0 6> mx2 - 3(m + 2)x + m + 16 = 0 Bài VIII: Giải Và Biện Luận Phương Trình Trùng Phương: Bài VIII.1: Giải các PT trùng phương sau: 1> x4 - 5x2 + 4 = 0 2> x4 - 13x2 + 36 = 0 3> x4 - 8x2 - 9 = 0 4> x4 - 24x2 - 25 = 0 Bài VIII.2: Giải và biện luận các PT sau: 1> (m - 1)x4 - 2(m + 2)x2 + m = 0 2> mx4 + 2x2 - 2 = 0 3> x4 - 2(m + 2)x2 + m2 + 4m = 0 Bài VIII.3: 1> Các hệ số a, b và c của PT trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 phải thỏa mãn điều kiện gì để PT đó: (a). Vô nghiệm (b). Có 1 nghiệm (c). Có 2 nghiệm (d). Có 3 nghiệm (e). Có 4 nghiệm 2> Định m để PT sau vô nghiệm: (m - 2)x4 + 2(m - 3)x2 + m + 3 = 0 3> Tùy theo tham số m, hãy biện luận số nghiệm của PT: x4 + (1 - 2m)x2 + m2 - 1 = 0 4> Cho PT: x4 + (1 - 2m)x2 + m2 - 1 = 0 m = ? | PT (a). Vô nghiệm; (b). Có nghiệm; (c). Có 1 nghiệm; (d). Có 2 nghiệm phân biệt; (e). Có 3 nghiệm phân biệt; (f). Có 4 nghiệm phân biệt. 5> Cho f(x) = x2 - 2. CMR PT: f(f(x)) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài IX: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1> Giả sử PT bậc 2 với t/số a: x2 + 2ax + 4 = 0 có nghiệm là . (a). xác định các giá trị của a để là các số dương. (b). Hãy tính các biểu thức M, N theo a: . (c). Xác định a sao cho: . 2> Cho PT: x2 - 2(1 + 2m)x + 3 + 4m = 0 (1) (a). m = ? | PT(1) có nghiệm . (b). Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm . (c). Tính theo m biểu thức. (d). m = ? | PT(1) có 1 nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. (e). Viết PT bậc hai có nghiệm là và . 3> Cho PT: x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0 (1) (a). m = ? | PT(1) có 1 nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. (b). Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm . (c). m = ? | PT(1) có 2 nghiệm thỏa . 4> Cho PT: x2 - 4x + m2 + 3m = 0 (1) (a). CMR PT(1) có nghiệm với mọi m. (b). m = ? | . (c). Lập PT bậc hai ẩn y có 2 nghiệm thỏa mãn: và . 5> Cho tam thức f(x) = (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m. (a). Tìm m để f(x) có 2 nghiệm và các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức: . (b). Tìm hệ thức giữa không phụ thuộc vào m. (c). Lập PT bậc hai có các nghiệm: . 6> Cho PT: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (a). CMR PT(1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để PT đó có hai nghiệm dương. (b). Gọi là hai nghiệm của PT(1). Tìm min của biểu thức . 7> Cho PT: (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0 (a). Định m để PT trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0). (b). Định m để PT trên có 2 nghiệm t/m: . 8> Cho PT: mx2 + 2mx + m2 + 3m - 3 = 0 (1) (a). Định m để PT(1) vô nghiệm. (b). Định m để PT(1) có 2 nghiệm phân biệt t/m: . 9> Cho PT: x4 + 2mx2 + 4 = 0 m = ? | PT có 4 nghiệm phân biệt t/m: . 10> Cho PT: 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 (a). Định m để PT trên có 2 nghiệm. (b). Goi 2 nghiệm là . Tìm max của biểu thức . 11> Cho PT: x2 - 2mx - 6m - 9 = 0 (a). Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều âm. (b). Gọi là hai nghiệm của PT. Tìm m để . 12> Cho PT: x2 - (2m + 3)x + m - 3 = 0. (a). CTR PT luôn luôn có nghiệm. (b). Gọi là các nghiệm của PT trên. Tìm m để đạt min. Tính GTNN ấy. 13> Cho PT: x2 - (m - 2)x - m2 + 3m - 4 = 0 (a). CMR PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. (b). Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của PT có GTTĐ bằng 2. 14> Cho PT: 4x2 + 2(3 - 2m)x + m2 - 3m + 2 = 0 (a). CTR PT trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. (b). Tìm m để có tích của hai nghiệm đạt GTNN.