Phương trình chứa hai hàm ngược nhau

Phương trình chứa hai hàm ngược nhau. Sử dụng hàm số ngược để giải PT, hệ PT cho chúng ta giải nhiều bài toán khó, các bài toán quen thuộc cũng có lời giải ngắn gọn. Tuy nhiên khi hàm số ngược đã không có trong SGK phổ thông thi các BT đó giải như thế nào. Một số ví dụ sau minh họa điều đó Ví dụ 1: Giải phương trình: . Đặt . Vậy ta có hệ phương trình : . Trừ hai phương trình của hệ: (Do ) Thay vào hệ ta có: .  Vậy phương trình có ba nghiệm: . Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dang phương trình trên như sau: * Dạng tổng quát bài toán trên:   (I) Để giải  phương trình này ta đặt   ta có hệ: . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y. * Từ dạng trên ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải: Điều kiện : PT   Đặt . Ta có hệ :  *     (thỏa  ). *   (thỏa đk ). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: . Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ĐK: PT Đặt    Ta có hệ phương trình:    . Do   nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta được:   .Vậy phương trình đã cho có nghiệm: . Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức   thì ta vẫn giải phương trình  bằng cách làm tương tự như trên. Ví dụ 4: Giải phương trình :   . Giải: Điều kiện : Phương trình Đặt   và . Ta có : . *  . * . Vậy phương trình có hai nghiệm: . Ví dụ 5: Giải phương trình :  Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được: . Đặt , ta có: . Đặt , ta có hệ phương trình : Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .  Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 6: Giải phương trình : . Giải: PT Đặt , Ta có hệ phương trình : *    phương trình vô nghiệm. *   hệ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.