Phương trình vô tỷ – Những suy luận và phương pháp giải Lê Quân – Giáo viên THPT Cầm Bá Thước

Qua quá trình giảng dạy và học tập trong trường phổ thông, tôi thấy phương trình vô tỷ là mảng kiến thức hay và khó. Tất nhiên chưa có ai có thể đưa ra một phương pháp để giải tất cả các phương trình vô tỷ. Quá trình giảng dạy, tôi thấy học sinh thường lúng túng khi đứng trước một bài toán về phương trình vô tỷ. Lúng túng trong lựa chọn cách giải là một lí do. Vì vậy, qua kinh nghiệm làm toán tôi muốn đưa ra một tổng hợp về các phương pháp giải phương trình vô tỉ( tất nhiên là dựa trên kinh nghiệm của bản thân) Trong tài liệu tôi sẽ trình bày từ các phương pháp đơn giản thường dùng cho đến các phương pháp không mẫu mực, ít khi sử dụng. Hi vọng tài liệu có thể giúp cho các em học sinh chuẩn bị thi đại học, các em luyện thi học sinh giỏi và các bạn đồng nghịêp tham khảo để giảng dạy tốt hơn. Do tài liệu ra mắt lần đầu nên không thể tránh khỏi sai xót, mong được sự góp ý của tất cả các bạn. CHƯƠNG I: CÁC DẠNG CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương trình dạng: (1) Để giải phương trình dạng (1) thông thường ta giải bằng phép biến đổi tương đương sau: (1) (2) Nhiều bạn học sinh khi giải phương trình dạng này vẫn thấy “ thiếu” điều kiện. Các bạn sẽ đặt câu hỏi tại sao có biểu thức mà không thấy xuất hiện điều kiện . Xin thưa với các bạn rằng hệ (2) đã bao gồm điều kiện , bởi vì: Còn nếu các bạn thực hiện cách giải như sau: ĐK: và (1) (2) Xin thưa với các bạn cách biến đổi này vẫn chưa đúng. Bởi vì các bạn mặc dù đã đặt điều kiện cho nhưng phép biến đổi trên không phải là phép biến đổi tương, nên sau khi giải các bạn phải thử lại các giá trị của x đã tìm được ở phương trình (2) để loại bỏ các nghiệm ngoại lai. Ví dụ1: Giải phương trình: Cách giải đúng: Phương trình đã cho tương đương với: . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Cách giải chưa đúng: ĐK: . Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với: rõ ràng cả hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm !??? Sai lầm ở đâu? Xin thưa, sai lầm ở ngay phép biến đổi đầu tiên. Phép bình phương hai vế của phương trình đã cho chỉ là phép biến đổi hệ quả, không phải phép biến đổi tương đương. Do vậy việc thử lại hai giá trị này là cần thiết. Như vậy trong một phương trình chứa căn bậc chẵn, khi giải, không phải lúc nào ta cũng cần đặt điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ĐH An ninh khối D - 1997) Giải: Phương trình đã cho tương đương với: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Ví dụ 3: Giải phương trình: ( ĐH Huế khối A – 1999) Giải: Phương trình đã cho tương đương với: Phương trình dạng: (2) Để giải phương trình dạng (2) ta chọn trong hai bất phương trình: và ( giả sử là dễ giải hơn) đưa (2) về dạng tương đương sau: (3) Đến đây lại có một câu hỏi đặt ra, đó là hệ (3) có đảm bảo cho có nghĩa chưa? Câu trả lời xin dành cho bạn đọc. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: (3) Giải: Phương trình (3) tương với: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Lời bình: Đối với phương trình (3) ta chọn bất phương trình vì bất phương trình này dễ tìm tập nghiệm hơn bất phương trình: !??? Ví dụ 2: Giải phương trình: (4) Giải: (4) Hệ này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm Phương trình dạng: Thông thường trước khi giải phương trình này, học sinh thường đặt điều kiện để phương trình có nghĩa là: . Tuy nhiên nếu sử dụng phép biến đổi tương đương ta sẽ thấy không cần dùng đến đk: . Thật vậy, phương trình đã cho tương đương với: (*) chứng tỏ . Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( HV báo chí Tp. HCM, năm 2000) Giải: Viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (1) (2) Lời bình 1: Tại sao ta cần chuyển vế trước khi thực hiện phép bình phương hai vế của phương trình? Bởi vì khi đó hai vế của phương trình mới không âm, và khi đó mới có thể thực hiện được phép biến đổi tương đương, còn nếu bạn bình phương ngay từ phương trình đầu thì thực chất đó chỉ là phép biến đổi hệ quả, sau khi thực hiện phép biến đổi này ta cần thử lại các giá trị của x vừa tìm được. Lời bình 2: Nhiều bạn khi thực hiện phép biến đổi từ (1) sang (2) thường quên mất đặt điều kiện . Các bạn cần chú ý, khi giải một phương trình vô tỷ có thể xuất hiện nhiều dạng khác nhau khi biến đổi, ứng với mỗi dạng đó ta cần nắm được để thực hiện các phép biến đổi hợp lí Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ĐH Bách khoa HN, năm 2002) Giải: Phương trình đã cho tương đương với: (*) Giải(**) ta được: Vậy phương trình có ba nghiệm: ; Lời bình: Nhiều bạn biến đổi như sau: ĐK: Và sau đó giải tiếp. Cách biến đổi này chưa đúng. Bởi vì: chỉ đúng khi Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1. ( ĐH Xây dựng – 1998) 2. ( ĐH Quy nhơn khối D – 2000) 3. (ĐH Quốc gia Tp. HCM khối D – 1998) 4. ( HSG Quốc gia - 2000) Phương trình dạng: (1). Đối với dạng phương trình này, khi giải ta dùng phương pháp “thế trong”. (1) (2) (3) Chú ý: Phép thế không phải là hằng đẳng thức, nó chỉ đúng khi x là nghiệm của phương trình. Vì vậy phép biến đổi từ (2) ra (3) không phải là phép biến đổi tương. Phép thế đó được gọi là phép thế “trong”. Do đó sau khi tìm được nghiệm của (3) nhất thiết phải thử ngược trở lại (1). Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Phương trình đã cho tương đương với: (*) (**) Thử lại hai giá trị này thấy chỉ là thoả mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Lời bình 1: Qua ví dụ 1 ta thấy phép biến đổi từ (*) đến (**) chỉ là phép biến đổi là hệ quả, vì vậy việc thử lại các giá trị của x tìm được là cần thiết. Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Phương trình đã cho tương đương với: Thử lại thấy ba nghiệm này đều thoả mãn. Vậy phương trình có ba nghiệm Bài tập áp dụng: Giải các phương trình: 1. ( ĐH Sư phạm Tp. HCM – 1996) 2. 3. 4. 5. CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. Phương pháp đặt ẩn phụ Sử dụng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai Dạng Phương trình: và Đối với phương trình dạng này ta đặt: . Chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc hai: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ĐH Cảnh sát nhân dân – 2000) Giải: Phương trình đã cho tương đương với: Đặt: , ta được phương trình: Khi đó: Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Đặt: . Khi đó phương trình trở thành: Với Với Đôi khi có những bài toán không phải là dạng trên, nhưng vẫn có thể đưa về phương trình bậc hai được. Cái này phụ thuộc vào sự linh hoạt trong giải toán của từng người. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình: ( ĐH Sư phạm Tp. HCM – 2000) Giải: Đặt: khi đó: Phương trình trở thành: Với Hoàn toàn tương tự các bạn có thể giải các bài tập sau đây: 1. ( ĐH Thương mại – 1998) 2. ( ĐH Khối D – 2005) 3. Dạng Phương trình: Cách giải: Xét Xét , chia cả hai vế của phương trình cho và đặt: , chuyển phương trình đã cho về dạng: Lưu ý: Từ cách đặt ( là ẩn) từ đó suy ra điều kiện của Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải: ĐK: Ta có: (1) (2) Vì không phải là nghiệm của (2) nên chia hai vế của (2) cho ta được: (3) Đặt: có: . Nên có điều kiện của là: (4) Khi đó (3) trở thành: . Kết hợp với điều kiện của ta có: Với t = 3 ta có: thoả mãn điều kiện của . Vậy phương trình có nghiệm: Chú ý: Hoàn toàn bình đẳng, các bạn có thể thực hiện phép chia cho hoặc Các bạn có thể giải bài toán trên bằng cách đặt: hoặc ngược lại Lời bình 1: Mấu chốt của bài toán là phân tích vế trái của (1) thành: . Tại sao lại có sự phân tích như vậy? Nó phụ thuộc vào vế phải của (1): . Như vậy chắc chắn sẽ có sự phân tích vế trái thành và ta tìm bằng phương pháp hệ số bất định: Lời bình 2: Các bạn có thể không cần tìm điều kiện của như ở (4) nhưng khi đó các phép biến đổi chỉ là phép biến đổi hệ quả và nhất thiết phải thay các giá trị của vừa tìm được để tìm . Còn nếu tìm điều kiện của t như bài trên ta không cần phải thay giá trị: ngược trở lại. Lời bình 3: Bằng cách phân tích như ở lời bình 1 các bạn có thể xây dựng nên các phương trình này một cách đơn giản: ta được phương trình: . Rõ ràng cách giải của các loại phương trình này là giống nhau, tuy nhiên mức độ gây “nhiễu” lại khác nhau. Cái này tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà ta có thể chọn các mức độ gây nhiễu khác nhau. Nếu học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề thì sự gây “nhiễu” sẽ không có ý nghĩa gì nữa. Chú ý các đẳng thức sau để có thể sáng tạo ra các bài toán dạng này: Ví dụ 2: Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1) (2) (4) Dễ thấy không phải là nghiệm của (4) Đặt ( , Khi đó (3) trở thành: Với ta có: . Kết hợp với (2) và (3) ta có: Với ta có: . Kết hợp với (2) và (3) ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm: và Chú ý: Nếu phương trình: thoả mãn: thì bài toán trở nên đơn giản đi rất nhiều. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: Đặt: khi đó: . Phương trình trở thành: Với thoả mãn phương trình đã cho. Bài tập áp dụng: 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2. Giải các phương trình: a. b. c. Dạng Phương trình: () Cách giải: Đặt Chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải: Đặt: Khi đó (1) trở thành: Hay: ( thoả mãn (1)) Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: ĐK: Đặt: ( theo Bunhiacopxki) Phương trình đã cho trở thành: Với Với Hoàn toàn tương tự các bạn có thể giải các bài tập sau đây: 1. 2. 3. 4. 5. Dạng phương trình: ( là ẩn số, là các hằng số và , n = 2, 3) Thông thường để có các phương trình dạng này người ta thường đi từ các hệ phương trình đối xứng hai ẩn hoặc hệ phương trình đối xứng gần hai ẩn ( hệ có nghiệm x = y). Và phương pháp giải tất nhiên là đặt ẩn phụ để đưa về giải hệ phương trình. Để làm rõ điều đó ta xét hệ phương trình sau: Việc giải hệ này đơn giản, xin không bàn tới nữa. Bây giờ ta sẽ đi xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ đã cho. Thật vậy: Bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng, nghĩa là đặt: , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng kia triển ta phải viết về dạng : và đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng: là chọn được. Dạng hệ gần đối xúng: Ta xét hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát ta có cách đặt ẩn phụ sau đây: Đặt nếu Đặt nếu Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác X là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : DH: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 34) 35)