Quả cầu dẫn trong điện trường đều

Những vấn đề nâng cao Quả cầu dẫn trong điện trường đều Phạm tô Bài toán vật dẫn đặt trong điện trường là một bài toán thú vị trong tĩnh điện học. Tuy nhiên, đây là một bài toán khó bởi vì, như ta đã biết, khi được đặt trong điện trường, trên bề mặt vật dẫn sẽ xuất hiện những điện tích cảm ứng và điện trường tại mỗi điểm trong không gian bây giờ là tổng hợp của trường ngoài và trường do các điện tích cảm ứng gây ra. Do vậy, muốn giải được bài toán này ta phải tính được phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn và sau đó xác định sự phân bố của cường độ điện trường trong không gian bao quanh. Khó khăn của bài toán là ở chỗ do chưa biết trước phân bố điện tích nên không thể dùng nguyên lí chồng chập để tính cường độ điện trường được. Vì vậy để giải trọn vẹn hay chỉ một phần những bài toán như thế đôi khi người ta sử dụng tính đối xứng, nhưng trong phần lớn trường hợp người ta dùng phương pháp "đoán nhận kết quả". Cơ sở của tất cả các 'cách đoán nhận' này là định lí về tính duy nhất trong tĩnh điện, mà ý nghĩa của nó là: lời giải được đoán nhận thỏa mãn một số điều kiện của định lý sẽ là lời giải duy nhất đúng. Tuỳ từng bài toán, có khi ta dựa vào kết quả đoán nhận sự phân bố điện tích trên vật dẫn rồi từ đó tính được điện trường, nhưng có khi thì ngược lại, tức là đầu tiên đoán nhận điện trường, rồi dựa vào đó để tìm phân bố điện tích. Phương pháp ảnh điện quen thuộc là phương pháp đoán nhận hay nhất. Nhờ phương pháp ảnh điện, ta có thể giải được các bài toán quan trọng như tấm dẫn phẳng hay quả cầu dẫn đặt trong điện trường của điện tích điểm. Trong bài báo này chúng ta sẽ chủ yếu xét bài toán về quả cầu làm bằng chất dẫn điện (dưới đây gọi tắt là quả cầu dẫn) đặt trong điện trường đều. Bài toán này đáng quan tâm ở chỗ nó cho phép minh hoạ được một số phương pháp giải, trong đó có phương pháp dùng các tính chất đối xứng và phương pháp ảnh điện. Tuy nhiên, trước hết chúng ta hãy phát biểu chính xác bài toán và đưa ra đáp số chính xác mà người ta đã nhận được bằng các phương pháp khác. 1. Phát biểu bài toán q R E0 Một quả cầu dẫn bán kính R được đặt trong một điện trường đều, cường độ . Hãy tìm phân bố điện tích cảm ứng trên bề mặt quả cầu. Rõ ràng mật độ điện tích mặt s phải phụ thuộc vào góc q tạo bởi bán kính và véc tơ (xem hình), tức là câu trả lời phải được biểu thị qua hàm s(q). Hãy xác định điện trường gây bởi các điện tích cảm ứng trong không gian ngoài quả cầu. Câu trả lời hoặc được biểu thị qua hàm , ở đây r là khoảng cách từ điểm đã cho đến tâm quả cầu (r > R) hoặc là được biểu thị qua hàm điện thế , hoặc là chỉ ra được một thuật toán để tính chúng. Cường độ điện trường tổng hợp sẽ bằng . Chú ý rằng vì cường độ điện trường tổng hợp trong quả cầu bằng không, nên điện tích cảm ứng phải tạo ra điện trường có cường độ bằng - bên trong quả cầu (tức khi r < R). Bằng các phương pháp cao cấp hơn, người ta đã tính được mật độ điện tích mặt là: s = s0 cos q, (1) trong đó mật độ cực đại s0 được biểu thị qua cường độ điện trường E0 : s0 = 3e0E0 (2) (e0 là hằng số điện) và điện trường bên ngoài quả cầu trùng với điện trường của lưỡng cực điểm, đặt ở tâm quả cầu và có mô men lưỡng cực: (3) ở đây V là thể tích của quả cầu. Cũng cần chú ý rằng một lưỡng cực điện có mô men lưỡng cực được gọi là lưỡng cực điểm khi nó là một lưỡng cực vô cùng bé nhận được bằng cách cho tiến đến giới hạn l đ 0 , q đ Ơ nhưng giá trị mô men p = ql vẫn không đổi. 2. Định lí về tính duy nhất Trước hết, lưu ý rằng, các bài toán về vật dẫn trong điện trường có thể phát biểu theo nhiều cách khác nhau, tức là đối với mỗi vật dẫn có thể cho hoặc là điện tích, hoặc là điện thế của nó. Nhưng trong cả hai trường hợp đều chỉ có một đáp số duy nhất của bài toán. Định lí tính duy nhất trong tĩnh điện có hai cách phát biểu. a) Cách phát biểu thứ nhất: Tồn tại một sự phân bố duy nhất điện tích trên mặt vật dẫn sao cho điện trường trong lòng vật dẫn bằng không, còn điện tích (hay điện thế) của vật dẫn bằng các giá trị cho trước. b) Cách phát biểu thứ hai: Tồn tại một sự phân bố duy nhất cường độ điện trường trong không gian bên ngoài vật dẫn sao cho bề mặt vật dẫn là một mặt đẳng thế, còn điện tích (hay điện thế) của vật dẫn bằng các giá trị cho trước. Chính cách phát biểu này là cơ sở của phương pháp ảnh tĩnh điện. Dưới đây chúng tôi sẽ minh hoạ cách sử dụng tính đối xứng và phương pháp ảnh điện để giải các bài toán tĩnh điện dựa vào định lí về tính duy nhất. 3. Sử dụng tính đối xứng s=0 s0 E0 -s0 Xuất phát từ sự đối xứng và tính duy nhất có thể chứng minh được công thức (1) một cách rất đơn giản và khá dễ dàng. Chúng ta hãy trình bày chứng minh này dưới dạng một chuỗi các khẳng định liên tiếp dưới đây. Khẳng định 1: Tại tất cả các điểm trên đường tròn lớn của mặt cầu, vuông góc với (tức là tại các điểm có q = 900) mật độ điện tích mặt bằng không. Điều này suy ra từ sự đối xứng của các điện tích cảm ứng dương và âm. Khẳng định 2: Nếu khi đặt quả cầu vào điện trường cường độ , mật độ điện tích mặt tại một điểm nào đó là s1, còn khi đặt vào điện trường cường độ , mật độ điện tích mặt tại điểm đó là s2 thì khi đặt vào điện trường + mật độ điện tích mặt tại điểm đó sẽ là s1 + s2. Điều này suy ra từ định lí về tính duy nhất: mỗi mật độ điện tích mặt làm triệt tiêu cường độ điện trường tương ứng (ở trong quả cầu), nên chính cường độ tổng hợp cũng sẽ bằng 0 vì chỉ tồn tại duy nhất một sự phân bố điện tích thoả mãn điều kiện này. q R E2 A s0 q E1 E0 Khẳng định 3: Nếu cường độ điện trường tăng lên a lần () thì mật độ điện tích mặt ở mỗi điểm cũng sẽ tăng lên a lần (s' = as). Đây là hệ quả của điều khẳng định 2 ở trên. Lập luận cơ bản: Chúng ta hãy xét một quả cầu được đặt trong điện trường . Giả sử mật độ điện tích cảm ứng cực đại (khi q = 0) bằng s0. Để tìm s(q) ta phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau: , trong đó lập với một góc q. Vì E1 = E0 cosq nên khi đặt quả cầu vào điện trường mật độ điện tích cực đại tại A sẽ bằng s0 cosq (theo điều khẳng định 3). Còn nếu đặt quả cầu vào điện trường thì mật độ điện tích mặt tại A sẽ bằng 0 (điều khẳng định 1). Như vậy, theo điều khẳng định 2 thì trong điện trường mật độ điện tích mặt tại A sẽ bằng s0cosq. Tất nhiên, lập luận như thế chưa cho phép xác định được ngay s0 bằng bao nhiêu. Nhưng bài toán này đơn giản hơn nhiều so với bài toán xác định phân bố chưa biết của điện tích. Dùng biểu thức trên và nguyên lí chồng chập để xác định cường độ điện trường gây bởi phân bố điện tích này tại tâm quả cầu rồi cho bằng E0, ta sẽ xác định được s0 qua E0 tức là công thức (2). Do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không trình bày những tính toán này ở đây, xin dành lại cho các bạn đã biết tính tích phân như một bài tập. Tuy nhiên, bài toán về cường độ điện trường bên ngoài quả cầu gây ra bởi các điện tích cảm ứng thì trong khuôn khổ của phương pháp sử dụng tính đối xứng không giải quyết được. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp cho phép nhận được lời giải của bài toán đó. 4. Phương pháp ảnh tĩnh điện Phương pháp ảnh tĩnh điện không cho phép đoán nhận được phân bố điện tích cảm ứng trên mặt vật dẫn, nhưng lại cho phép xác định được điện trường gây ra bởi các điện tích này sau khi thay thế nó bằng điện trường của một điện tích tưởng tượng (điện tích ảnh). Các điện tích ảnh được chọn sao cho điện trường toàn phần gây ra bởi chúng và bởi các điện tích bên ngoài có các tính chất 'đúng' trên mặt giới hạn của của vật dẫn. Ví dụ, nếu vật dẫn được nối đất thì điện trường này phải có điện thế tại mọi điểm trên biên vật dẫn bằng không. Còn nếu cho vật dẫn tích điện thì, thứ nhất, bề mặt của vật phải là đẳng thế và thứ hai, tổng các điện tích ảnh phải bằng điện tích đã cho của vật dẫn. Vì tồn tại một điện trường duy nhất thoả mãn các điều kiện như thế (thường được gọi là các điều kiện biên) cho nên điện trường của các điện tích ảnh phải trùng với điện trường của các điện tích cảm ứng của vật dẫn. Dưới đây là một vài ví dụ. Ví dụ 1. Điện tích điểm và tấm phẳng dẫn điện. Ví dụ này nhiều học sinh đã biết. Nếu đặt một điện tích điểm q ở cách một mặt phẳng dẫn rộng vô hạn một đoạn bằng a thì điện trường xuất hiện khi đó trùng với điện trường của hai điện tích điểm: điện tích q và điện tích ảnh của nó bằng -q, được đặt đối xứng với q qua mặt phẳng dẫn. j =0 -q q a a Thực vậy, mặt đẳng thế với j = 0 của điện trường do hai điện tích trên tạo ra trùng với bề mặt vật dẫn. Nói cách khác, điện trường trong chân không tạo bởi các điện tích cảm ứng trùng với điện trường của điện tích điểm -q. Ví dụ 2. Điện tích điểm và quả cầu dẫn nối đất. Nếu đặt một điện tích điểm q cách tâm của quả cầu dẫn bán kính R (đã được nối đất) một đoạn L (L > R) thì điện trường tổng hợp sinh ra sẽ trùng với điện trường của hai điện tích điểm: điện tích q và điện tích ảnh q' = -qR/L nằm trên đường bán kính có phương đi qua q và cách tâm quả cầu một đoạn bằng l = R2/L . q' q l O q' R R1 R2 l q C B A Sự trùng nhau của hai điện trường này suy ra từ điều khẳng định mặt đẳng thế với j = 0 đối với điện trường của các điện tích q và q' trùng với bề mặt quả cầu. Chúng ta hãy chứng minh điều này. Lấy một điểm A tuỳ ý trên mặt quả cầu và ký hiệu r1 là khoảng cách từ nó đến q (điểm B) và r2 là khoảng cách từ A đến q' (điểm C). Vì AO/OC = R/l = L/R =BO/OA, suy ra DAOC đồng dạng với DBOA. Nghĩa là đối với điểm A bất kỳ tỷ số r1/r2 bằng L/R và điện thế j(A) = kq/r1 + kq'/r2 = 0 (nhớ là q' = -qR/L). Nói cách khác điện trường bên ngoài quả cầu tạo bởi các điện tích cảm ứng trùng với điện trường chỉ của q' gây ra. Ví dụ 3. Điện tích điểm và quả cầu dẫn tích điện Nếu trong ví dụ trước thay quả cầu nối đất bằng quả cầu dẫn tích điện Q, thì ngoài điện tích ảnh q' cần bổ sung điện tích ảnh thứ hai q'' = Q - q' đặt tại tâm quả cầu, để đảm bảo cho điện tích trên mặt cầu luôn bằng Q. Có thể dùng phương pháp ảnh tĩnh điện như thế nào trong bài toán này? Vì kết quả phải không phụ thuộc vào hệ điện tích nào là nguồn gốc của điện trường nên chúng ta xem nó được tạo bởi hai điện tích q và -q đặt đối xứng đối với tâm quả cầu và cách tâm này một khoảng L lớn (L >> R). Cần chọn giá trị của các điện tích này sao cho cường độ điện trường được tạo ra bởi chúng tại tâm quả cầu bằng E0 : q' - q' - q q Điện trường của các điện tích cảm ứng gây ra trong không gian ngoài quả cầu sẽ trùng với điện trường của hai điện tích điểm q' và -q', với q' = -qR/L, được đặt cách tâm quả cầu đoạn l = R2/L. Hai điện tích ảnh tạo thành một lưỡng cực điện có mômen bằng p = q'.2l =2qR3/L2 = 3Ve0E0 Đây chính là công thức (3) đã đưa ra ở trên. Nếu xét chuyển giới hạn trong đó các điện tích được đưa ra xa vô hạn nhưng đồng thời giá trị của chúng phải thay đổi như thế nào để cường độ điện trường vẫn bằng E0, thì điện trường sẽ trở thành điện trường đều, còn lưỡng cực chuyển thành lưỡng cực điểm. Vấn đề còn lại là phải trả lời câu hỏi: trong khuôn khổ của phương pháp ảnh điện làm thế nào tìm được không chỉ điện trường của các điện tích cảm ứng mà còn cả phân bố trên bề mặt của chúng? Có thể thực hiện được điều đó nhờ hệ thức liên hệ cường độ điện trường gần bề mặt vật dẫn và mật độ điện tích: E = s/e0 (4) x E a a q -q Thí dụ trong trường hợp điện tích diểm và mặt phẳng dẫn dễ dàng tính được cường độ điện trường của các điện tích q và -q cách trung điểm của chúng đoạn bằng x và tìm được mật độ điện mặt: . Trong trường hợp quả cầu nằm trong điện trường đều thì cần tính điện trường toàn phần gần mặt hình cầu, bằng tổng điện trường đều và điện trường của lưỡng cực điểm . Bạn hãy thử tự làm điều này. 5. Phương pháp chập các quả cầu Cách cuối cùng giải bài toán quả cầu dẫn trong điện trường đều sẽ cho lời giải đầy đủ nhất, đồng thời lại khá đơn giản. Cũng như trước đây, chúng ta trình bày phương pháp này thành một một vài bước, mỗi bước là một bài toán hay. a) Quả cầu tích điện đều Xét một quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện khối r. Cường độ điện trường ngoài quả cầu, khi r > R trùng với điện trường của điện tích điểm q = rV: (5) Trong quả cầu, khi r < R, cường độ điện trường chỉ do các điện tích nằm trong hình cầu bán kính r tạo ra (còn cường độ do lớp cầu bên ngoài tạo ra bằng không): , trong đó q(r) = r(4/3)pr3. Để đơn giản về sau chúng ta viết biểu thức cuối dưới dạng véc tơ: (6) b) Chập hai quả cầu Bây giờ ta hãy xét hai quả cầu tích điện đều trong cả thể tích của chúng: một quả có mật độ r và quả còn lại có mật độ -r . Giả sử các quả cầu được đặt sao cho khoảng cách l giữa hai tâm nhỏ hơn tổng các bán kính của chúng, tức là tồn tại một miền chúng giao nhau. Mật độ điện tích khối trong miền này bằng không, còn điện trường bằng điện trường tổng hợp của cả hai quả cầu. Chúng ta hãy xét một điểm tuỳ ý trong miền này và kí hiệu và tương ứng là các véc tơ bán kính kẻ từ tâm của các quả cầu tích điện dương và âm tới điểm đó. Theo công thức (6) ta được: (7) ở đây là véc tơ hướng từ tâm của quả cầu tích điện âm đến tâm quả cầu tích điện dương . Như vậy chúng ta đã chứng minh được điện trường trong phần giao của các quả cầu tích điện bằng nhau và trái dấu là đều. Có thể sử dụng điều này để tạo ra một phân bố điện tích trên mặt một quả cầu sao cho làm triệt tiêu điện trường ngoài. Chúng ta chỉ ra cách làm điều đó như sau. c) Quả cầu đặt trong điện trường đều Chúng ta hãy xét hai quả cầu cùng bán kính R, tích điện đều bằng nhau và trái dấu, tâm của chúng đặt cách nhau khoảng rất nhỏ l0 (l0<< R). Điện tích của hệ tạo thành hầu như bằng không ở mọi chỗ trừ hai chỏm cầu mảnh, ở rìa. Hai mảnh chỏm cầu này tích điện đều, trái dấu: một mảnh có mật độ điện tích bằng r, của mảnh kia bằng -r. Độ dày của các mảnh -q -r l0 r l0 l q q -E0 này chỗ lớn nhất bằng l0 và giảm theo góc q theo quy luật l = l0 cosq. Rõ ràng để chuyển sang trường hợp tích điện trên bề mặt (tương đương với quả cầu dẫn tích điện do cảm ứng) thì cần thực hiện việc chuyển giới hạn l0 đ 0, đồng thời mật độ điện tích khối r phải thay đổi như thế nào để điện tích tính trên một đơn vị diện tích bề mặt cực đại, bằng rl0 , phải tiến đến giới hạn xác định bằng s0. Vì điện trường của hai điện tích này trong phần giao của hai quả cầu phải làm triệt tiêu điện trường ngoài nên theo (7) chúng ta có: (véc tơ được dựng từ tâm của quả cầu tích điện âm đến tâm quả cầu tích điện dương). Như vậy giá trị giới hạn của mật độ điện tích mặt cực đại được biểu thị qua giá trị điện trường ngoài bằng công thức: s0 = rl0 đ 3e0E0 Đây chính là công thức (2). Ta cũng nhận được biểu thức đúng của sự phụ thuộc của mật độ điện tích mặt s vào góc q : s = rl = rl0 cosq = s0 cosq. Ngoài ra, trong giới hạn l0 đ 0, điện trường bên ngoài hệ hai quả cầu trùng với điện trường của hai điện tích điểm q = rV (xem công thức (5)) sẽ chuyển thành điện trường của lưỡng cực điểm với mômen lưỡng cực: . Như vậy là ta đã nhận được đầy đủ lời giải của bài toán quả cầu dẫn đặt trong điện trường đều bằng các cách khác nhau.