Qui tắc Đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

QUI TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP @MỘT SỐ KIẾN THỨC: I. THỰC HIỆN BÀI TOÁN ĐẾM: 1. HOÁN VỊ: Tất cả n phần tử đều có mặt, mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần, có phân biệt thứ tự giữa các phần tử. 2. CHỈNH HỢP: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 3. TỔ HỢP: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước, không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 4. HOÁN VỊ TRÒN: Mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi. PP: Mời ng khách danh dự vào chỗ danh dự. Còn lại  1 !n  người khách ngồi tùy tiện vào  1n  vị trí còn lại. vậy có  1 !n  cách sắp xếp. Chú ý: Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, có nghĩa là các kết quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau nên nếu xếp n người vào bàn tròn thì có n P n cách sắp xếp. 1. Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 4 chữ số b) Có 4 chữ số khác nhau đôi một. Kí hiệu số phải tìm là: n abcd a. Có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 4 cách chọn c, 4 cách chọn d Vậy theo qui tắc nhân có 4.4.4.4=256 số thỏa yêu cầu bài toán b. Có 4 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c, 1 cách chọn d Vậy theo QTN: 4.3.2.1=24 số thỏa ycbt 2. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) Một chữ số ĐS: 6 b) Ba chữ số ĐS: 216 c) Ba chữ số khác nhau đôi một ĐS: 360 3. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn a) Có 3 chữ số b) Có ba chữ số khác nhau đôi một Kí hiệu số phải tìm là: n abc Vì n chẵn nên  0;2;4;6c a. Có 4 cách chọn c, 6 cách chọn a, 7 cách chọn b Vậy theo QTN có 4.6.7=168 số thỏa ycbt b. Trường hợp 0c  : Có 1 cách chọn c, 6 cách chọn a, 5 cách chọn b Vậy theo QTN có 1.6.5=30 số thỏa ycbt Trường hợp 0c  : Có 3 cách chọn c, 5 cách chọn a, 5 cách chọn b Vậy theo QTN có 3.5.5=75 số thỏa ycbt Tóm lại theo QTC có 30 75 105  số thỏa ycbt 4. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau? ĐS: 30 5. Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số khác nhau đôi một biết: a) n chia hết cho 5 b) n lẻ Kí hiệu số phải tìm là: n abcd a. n chia hết cho 5 nên  0;5d  Trường hợp d=0: Có 1 cách chọn d, 9 cách chọn a, 8 cách chọn b, 7 cách chọn c Theo QTN có 1.9.8.7=504 số thỏa ycbt Trường hợp d=5: Có 1 cách chọn d, 8 cách chọn a, 8 cách chọn b, 7 cách chọn c Theo QTN có 1.8.8.7=448 số thỏa ycbt Như vậy theo QTC có 504+448=952 số thỏa ycbt b. n lẻ nên  1;3;5;7;9d  Có 5 cách chọn d, 8 cách chọn a, 8 cách chọn b, 7 cách chọn c Theo QTN có 5.8.8.7=2240 số thỏa ycbt. 6. Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số khác nhau đôi một, biết: a) n chẵn ĐS: 2296 b) n chia hết cho 10 ĐS: 504 7. Cho tập  1,2,3,4,5,6A  a) Có thể lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A ĐS: 360 b) Có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó chia hết cho 2 ĐS: 60 c) Có thể lập bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó chia hết cho 3 ĐS: 720 d) Có thể lập bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó chia hết cho 5 ĐS: 120 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau? Kí hiệu số phải tìm là: n abcd Vì 0a  nên có 9 cách chọn a và 39A cách chọn bcd Vậy có 399. 4536A  9. Cho tập  1,2,3,4,5A  . Từ tập A có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt ? Mỗi số gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tập A ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó từ tập A có thể lập được 35 5.4.3 60A   số thỏa ycbt 10. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một? Kí hiệu số phải tìm là: n abcd Vì a khác 0 nên có 6 cách chọn a Mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử còn lại Vậy có 36A cách chọn bcd Theo QTN có 6. 36A =720 số thỏa ycbt 11. Cho tập  0,1,2,3,4,5A  . Từ tập A có thể lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? Mỗi số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng abcde Để tìm được là số chẵn, điều kiện là  0,2,4e Trường hợp 1: 0e  Có 1 cách chọn e và 45A cách chọn abcd Như vậy trong trường hợp này có 45A số thỏa ycbt Trường hợp 2:  2,4e có 2 cách chọn e, a được chọn từ tập  \ 0,A e có 4 phần tử nên có 4 cách chọn, 34A cách chọn bcd Như vây ta có : 2.4. 34A số thỏa ycbt Khi đó, theo QTC ta có: 45A +2.4. 3 4A =312 số thỏa ycbt 12. Cho tập  1,2,3,4,5,6,7,8,9A  . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi chữ số phải chứa số 5? Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng abcdef Để tìm được số phải có mặt chữ số 5 thì:  5 , , , , ,a b c d e f nên có 6 cách chọn , mỗi bộ số dành cho 5 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của tập  \ 5A nên có 58A cách chọn Vậy có 6. 58A =40320 số thỏa ycbt 13. Cho tập  0,1,2,3,4,5,6A  . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5? Một số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dangj: abcde Để số tìm được phải có mặt chữ số 5 ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: 5a  có 1 cách chọn a, và có 46A cách chọn bcde Như vậy trong trường hợp này có 1. 46A số thoả ycbt Trường hợp 2:  5 , , ,b c d e có 4 cách chọn . Có 5 cách chọn a (vì a phải khác 0 và 5 ) Mối bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử suy ra có 35A cách chọn. Như vậy trong trường hợp này có 5.4. 35A số thỏa ycbt Tóm lại theo QTC có: 46A +5.4. 3 5A =1560 số thỏa ycbt 14. Cho tập  0,1,2,3,4,5,6,7A  a. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau hình thành từ tập A ĐS: 5880 số b. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 2? ĐS: 3000 số c. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? ĐS: 1560 15. Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam nữ? Có 8 cách chọn bạn nam ứng với mỗi cách chọn bạn nam có 6 cách chọn bạn nữ. Theo QTN: 8.6=48 cách chọn đôi song ca nam nữ 16. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho: a. Hai người đó là vợ chồng b. Hai người đó không là vợ chồng a) Có 10 cách chọn người đàn ông. ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 1 cách chọn người đàn bà (là vợ của người đàn ông đó). Theo QTN có 10.1=10 cách chọn b) Có 10 cách chọn người đàn ông. Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn (trừ vợ của người đàn ông đã chọn) Theo QTN ta có 10.9=90 cách chọn 17. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên ba bì thư. Một bì thư chỉ bán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? Chọn 3 trong 5 tem thư có: 35C =10 cách chọn Chọn 3 trong 6 bì thư có: 36C =20 cách chọn Dán 3 tem thư lên 3 bì thư có: 3 3! 6P   cách chọn Theo QTN có 10.20.6=1200 cách làm thảo ycbt 18. Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 3 nữ và 7 nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền kề nhau? Xem 7 học sinh đứng liền kề như một nhóm X Xếp X và 3 học sinh nữ có 4 4!P  cách Xếp 7 học sinh nam trong nhóm X có 7 7!P  cách Theo QTN có 4!.7! 120960 19. Một nhóm gồm 12 hsinh trong đó có 5 nữ 7 nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 hsinh trên thành một hàng dọc sao cho 5 hs nữ đứng liền kề nhau? Xem 5 sinh nữ đúng liền kề nhau như một nhóm X Xếp X và 7 hsinh nam có 8 8!P  cách Xếp 5 hsinh nữ trong nhóm X có 5 5!P  cách Theo QTN có 8!.5! 4838400 cách xếp thỏa ycbt 20. Một nhóm gồm 9 hs trong đó có 5 nữ 4 nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 9 hsinh trên thành một hàng dọc sao cho 5 hsinh nữ phải đứng liền kề nhau và 4 hsinh nam cũng phải đứng liền kề nhau? Xem 5 hsinh nữ đứng liền kề nhau như một nhóm X Xem 4 hsinh nam đứng liền kề nhau như một nhóm Y Xếp X vàY có 2 2!P  cách Xếp 5 hsinh nữ trong nhóm X có 5 5!P  cách Xếp 4 hsinh nữ trong nhóm Y có 4 4!P  cách Theo QTN cso 5760 cách xếp 21. Trên giá sách có 30 quyển sách trong đó có 27 quyển có tác giả khác nhau.Còn 3 quyển kia của cùng 1 tác giả. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sách đó lên giá sách để các sách có cùng tác giả đứng cạnh nhau? Xem 3 quyển sách của cùng 1 tác giả như là một vị trí X Xếp X và 27 quyển sách còn lại có 28 28!P  Xếp 3 quyển sách trong vị trí X có 3 3!P  cách Vậy theo QTN có 3!28! 22. Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể xếp theo bao nhiêu cách để có: a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau b) Tập 1 và tập 2 không đứng cạnh nhau a. Xem tập 1 và tập 2 như là 1 vị trí X Xếp X và 28 tập sách còn lại có 29! Xếp tập 1 và tập 2 trong vị trí X có 2 cách Vậy theo QTN có 2.29! cách b. Cách xếp tùy ý có 30! Cách Cách xếp để tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau có 2.29! Vậy cách xếp để tập 1 và tập 2 không đứng cạnh nhau là 30!-2.29!=28.29! cách 23. Có bao nhiêu cách xếp dặt 4 người Việt Nam, 3 người Mỹ ngồi trên một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau? Xếp theo quốc tịch có 2 cách, 4! Cách xếp 4 ng Việt Nam, 3! Cách xếp 3 ng Mỹ. Vậy có 288 cách xếp thỏa ycbt 24. Một nhóm hsinh gồm 7 nam 3 nữ. Giáo viên muốn chọn 5 em trong nhóm để làm công tác xã hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu? a) Chọn 5 em tùy ý b) Phải chọn 1 nữ và ba nam c) Phải có ít nhất một nữ a. 510C b. Có 2 trường hợp: Trường hợp 1: Chọn 1 nữ 4 nam Chọn 1 nữ có: 13C cách , Chọn 1 nam có: 4 7C cách Theo QTN có: 13C . 4 7C =105 cách Trường hợp 2: Chọn 2 nữ 3 nam Chọn 2 nữ có: 23C cách , Chọn 3 nam có: 3 7C cách Theo QTN có : 105 cách Tóm lại, theo QTC có 105+105=210 cách 25. Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Linh muốn chọn ra 5 bông để cắm bình, trong đó nhất thiết phải có 2 bông bạch nhung và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhieu cách làm như vậy? Có 2 trường hợp: 2 bông bạch và 3 bông nhung hoặc 2 bông nhung và 3 bông bạch (ĐS: 10800 cách) 26. Một tổ hsinh gồm 8 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 6 em để thành lập một đội văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách nếu chọn trong mỗi cách sau: a) Có ít nhất 3 nữ b) Có nhiều nhất 2 nữ a.Có 2 tr hợp: 3 nữ,3nam hoặc 4 nữ và 2 nam ĐS: 252 cách b.Có 3 tr hợp: toàn nam hoặc 1 nữ 5 nam hoặc 2 nữ 4 nam ĐS: 672 cách. 27. Một cái hộp có 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Ta lấy ra 4 quả cầu a) Hỏi có bao nhiêu cách? b) Trong đó có bao nhiêu cách lấy hai quả cầu đỏ? c) Có bao nhiêu cách lấy nhiều nhất 2 quả cầu đỏ? d) Ít nhất là 2 quả cầu đỏ? HD: a) 410C b) 2 2 3 7.C C c) có 3 tr hợp: 2Đ2T+1Đ3T+0Đ4T (203 cách) d) 2Đ2T+3Đ1T 28. Xếp 3 bi đỏ khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô. a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho các viên bi cùng màu đứng cạnh nhau? a. Xếp 3 bi đỏ vào 7 ô có 37A =210 cách, Xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại 3 4C Vậy theo QTN có 210.4=840 cách xếp thỏa ycbt b. Xem 3 viên bi đỏ là 1 vị trí X, 3 bi xanh là 1 vị trí Y. Vì có 7 ô nên bài toán thành xếp X,Y vào 3 ô Có 23A cách xếp. Xếp 3 bi đỏ vào vị trí X có 3!, xếp 3 bi xanh vào vị trí Y có 3 3C cách Vậy theo QTN có 6.6.1=36 cách 29. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Người ta chọn 4 bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số đó bi lấy ra không đủ ba màu ? Cách chọn 4 bi tùy ý có 415 1365C  cách Cách chọn 4 viên bi đủ màu có 3 tr hợp: 2Đ1T1V có 180 cách, 1Đ2T1V có 240 cách, 1DD1T2V có 300 cách. Vậy có 1365-720=645 cách chọn thỏa ycbt 30. Bộ bài tây có 52 con trong đó có 4 con ách. Rút ra 5 con.Hỏi có bao nhiêu cách để rút được: a) 2 con ách ĐS: 103776 b) Nhiều nhất là 2 con ách? ĐS: 2594400 (2A3X+1A4X+0A5X _A:ách, X: khác) c) Ít nhất là 2 con ách? ĐS: 108336 31. Có 12 người gồm 10 nam 2 nữ. a. Có bao nhiêu cách chọn một ủy ban gồm 8 người từ 12 người đó không phân biệt nam hay nữ (ĐS: 812C =495 cách) b. Có bao nhiêu cách chọn một ủy ban gồm 8 người từ 12 người đó sao cho ủy ban có ít nhất 1 nữ? (1 nữ 7nam hoặc 2 nữ 6nam ĐS: 450 cách) c. Số cách chọn ủy ban 8 ng là nam? ĐS: 45 cách 32. Một đoàn đại biểu gồm 4 hsinh được chọn từ một tổ gồm 5nam 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1nam và 1 nữ? ĐS: 120 33. Bốn người đàn ông, 2 ng đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế quanh bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà? b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông? a. Xếp 2 ng đàn bà có 2 cách, xếp đứa trẻ ngồi vào giữa 2 ng đàn bà có 1 cách. Xếp 4 ng đàn ông vào 4 ghế còn lại có 4! Cách. Vậy có 48 cách b. Đầu tiên chọn 2 ng đàn ông có 24C cách. Xếp 2 ng đó ngồi cạnh nhau có 2 cách. Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa có 1 cách. Xếp 4 ng còn lại vào 4 ghế còn lại có 4! Cách. Vậy có 288 cách 34. Xếp ngẫu nhiên 3 ng đàn ông, 2ng đàn bà và 1 đứa trẻ vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a) Đứa trẻ ngồi giữa 2 ng đàn bà b) Đứa trẻ ngồi giữa hai ng đàn ông a. Để tạo nên một cách sắp xếp mà đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà thì xếp đứa bé ngồi ở vị trí thứ 2 đến thứ 5- có 4 cách.Ứng với mỗi cách xếp đứa bé có 2 cách xếp 2 ng đàn bà. Xếp 3 ng đàn ông vào các vị trí còn lại có 3! Cách. Vậy có 48 cách xếp thỏa ycbt b. Xếp đứa bé các ghế từ thứ 2 đến thứ 5 có 4 cách. Chọn 2 trong số 3 ng đàn ông có 23C cách. Xếp 2 ng đàn ông ngồi kế bên đứa bé có 2 cách. Xếp 3 ng còn lại vào trong các ghế còn lại có 3! Cách, vậy có 144 cách. 35. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau: a) Trong mỗi số có chữ số 1 xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần b) Trong mỗi chữ số có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? Xét số: n abcdef a. Xếp 2 chữ số 1 vào 2 trong 6 vị trí của n có 26C cách Xếp 4 chữ số còn lại có 4P cách Vậy theo QTN có 15.24 360 cách b. Chọn 1 trong 5 chữ đã cho để cho xuất hiện 2 lần có 5 cách Trong mỗi trường hợp này có 360 số thỏa yêu cầu bài toán. Vậy theo QTN có 5.360=1800 số thỏa ycbt 36. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số 1 được lặp lại 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Kí hiệu số phải tìm 1 2 3 4 5 6 7 8n a a a a a a a a Chọn vị trí cho chữ số 0 có 17C Chọn vị trí cho 3 chữ số 1 có 37C cách Chọn vị trí cho 4 chữ số còn lại 4 24P  cách Vậy theo QTN có 7.35.24 5880 cách RÚT GỌN-GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1. Tính: a) 17 15 P P ĐS:272 c) 12! 3!10! ĐS:22 e) 99101C ĐS: 5050 b) 10! 8! 8!  ĐS:91 d) 7! 5! 4!  ĐS: 205 f) 2 5 5 10 2 57 A A P P  ĐS:46 c)   2009 2010 2010 2009! A h)   2008 2008 2009 2 2007 2009 1 P C P A 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) 12 11 49 49 10 49 A A M A   ĐS: (1251) b) 10 9 17 17 8 17 A A A  ĐS: (81) 3. Giải các pt sau: a)     1 ! 72 1 ! n n    với n nguyên dương b) 2 12xA  (đk: *2, ; 4x x N x   ) c) 22 3 8P x P x  d) 53 5720n n nP A P  < đk: * 5 1 n N n      , n=7> e) 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x x    <đk: * ; 4 3 x N x x     > f) * 3 15 , 7 3 n n n N C C n n         g) 3 20nA n , 6n  h) 5 4 218n nA A  9, 10n n  i) 2 222 50x xA A  *2 , 5x N x   j)     2 ! 14 7 6 ! n n n n     k) 2 2 4 21n nC A P   l) 2 2 13 3 5 0P x A x C   m) 1 22 6 0nn nC A     * 2 n N n     NHỊ THỨC NIU TƠN 1. Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển   5 3 4x  Số hạng tổng quát của khai triển là:       5 5 5 5 53 4 3 4 k kk k k kC x C x    Số hạng này chứa 3x khi vàỉ khi 5 3 2k k    Vậy số hạng chứa 3x là:   22 3 3 3 5 3 4 4320C x x  suy ra hệ số cần tìm là 4320 2. Cho biết hệ số thứ ba trong khai triển 1 3 n x       bằng 5. Tìm số hạng giữa của khai triển. Số hạng thứ ba trong khai triển là:   2 22 2 2 3 1 1 3 9 n n n nT C x C x         Theo gt ta có:    2 2 1 ! 5 45 1 90 9 2! 2 ! 90 0 10 n n C n n n n n n              10n  suy ra khai triển có 11 sô hạng số hạng giữa: 56 10T C 3. Tìm x sao cho số hạng thứ ba của khai triển   6 3x  bằng 540 Số hạng thứ ba trong khai triển là 2 4 2 4 43 6 3 15 .9 135T C x x x   Theo gt 43 540 135 540 2T x x      4. Hệ số của 5 8x y trong khai triển   13 x y ? Sô hạng tổng quát của khai triển là: 131 13 k k k kT C x y    1kT  chứa 5 8x y 13 5 8 8 k k k       Vậy hệ số cần tìm: 813 1287C  5. Hệ số của 7x trong khai triển   15 3 2x ? Số hạng tổng quát của khai triển là:    15 151 15 152 2 .3 k kk k k k k kT C x x C x        1kT  chứa 7x 7k  Vậy hệ số cần tìm:   7 8 7 152 .3 .C . 6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 6 2 1 2x x       Số hạng tổng quát trong khai triển là:     6 6 6 3 6 62 1 2 2 1 k k kk k k kC x C x x          6 3 0 2k k    vậy số hạng cần tìm là:   22 6 2 6 2 1 240C    7. Biết hệ số của 2x trong khai triển của  1 3 n x là 90. Hãy tìm n Số hạng thứ 1kT  của khai triển là  3 kk nC x . Vậy số hạng chứa 2x là 2 2.9.nC x Theo gt ta có 2 29 90 10 5n nC C n     XÁC SUẤT 1. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau: A:”Xuất hiện mặt chẵn” B:” Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3” C:”Xuất hiên mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”    1,2,3,4,5,6 , 6n    2,4,6A  ,   3n A  ,       3 1 6 2 n A P A n               2 1 3,6 , 2, 6 3 n B B n B P B n                 4 2 3,4,5,6 , 4, 6 3 n C C n C P C n       2. Gieo hai con súc súc sắc cân đối và đồng chất. a) Hãy mô tả không gian mẫu  . Tính  n  b) Tính xác suất của biến cố sau: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 6” Không gian mẫu     *; / ; ,1 6,1 6 , 36x y x y N x y n                                     1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,1 3,2 3,3 , 4,1 , 4,2 , 5,1 A    15n A  Vậy       15 5 36 12 n A P A n     3. Có 9 miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 2 miếng bìa và xếp thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: “Số tạo thành là số chẵn” b) B: “Số tạo thành là số chia hết cho 5” Mỗi kết quả của phép thử là một chỉnh hợp chập hai của 9 phần tử. Vậy không gian mẫu gồm   29 72n A   (kết quả đồng khả năng) a. Kí hiệu số tạo thành là n ab , n A nên  2,4,6,8b Vậy có 4 cách chọn b và 8 cách chọn a (do a b ) Theo qui tắ nhân, ta có:   4 8 32n A    Vậy       32 4 72 9 n A P A n     b. n B nên 5b  . Có 1 cách chọn b và 8 cách chọn a Theo qui tắc nhân, ta có:   1 8 8n B    Vậy       8 1 72 9 n B P B n     4. Một bình đựng ngẫu nhiên 6 viên bi chỉ khác nhau về màu, 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác suất để được: a) 2 viên bi xanh b) 2 viên khác màu a. Một bình đựng 6 viên bi Lấy ngẫu nhiên 2 viên trong 6 viên có 26 15C  cách   15n   Chọn 2 viên bi xanh có 1 cách   1n A  Do đó       1 15 n A P A n    b. Để chọn được 2 viên khác màu, có 3 trường hợp:  Trường hợp 1: 1 xanh, 1 vàng: Chọn 1 xanh từ 2 xanh có 2 cách, chọn 1 vàng từ 2 vàng có 2 cách Trường hợp này theo QTN có 2 2 4  cách  Trường hợp 2: 1xanh, 1 đỏ. Tương tự có 4 cách  Trường hợp 3: 1 vàng, 1 đỏ. Tương tự có 4 cách Như vậy theo QTC, biến cố B để được hai viên bi khác màu có 4 4 4 12   phần tử Vậy       12 4 15 5 n B P B n     5. Từ một hộp chứa 3 viên bi trắng, 5 viên bi đen lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen. Hộp bi có chứa 8 viên bi Chọn ngẫu nhiên 3 viên trong 8 viên bi có 38 56C  cách   56n   Chọn 2 trong 3 viên trắng có 23 3C  cách Chọn 1 trong 5 viên bi đen có 15 5C  cách Vậy biến cố A: “lấy được 2 viên bi trắng, 1 viên bi đen” có 15 phần tử. Nnhuw vậy xác suất cần tìm là       15 56 n A P A n    6. Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân 2 số trên 2 thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là 1 số chẵn. Kết quả nhận được là 1 số chẵn khi và chỉ khi trong 2 thẻ có ít nhất 1 thẻ đánh số chẵn. Gọi A là biến cố “rút được 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ” B là biến cố “rút được 2 thẻ chẵn” Khi đó biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là A B Rõ ràng A và B xung khắc nên      P A B P A P B   Mỗi lần rút đồng thời 2 thẻ cho ta một tổ hợp chập hai của 9 phần tử. Do đó không gian mẫu  gồm các tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và   29n C  Trong 9 thẻ có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên   1 14 5.n A C C ,   2 4n B C Do đó:       20 5 36 9 n A P A n     ,       6 1 36 6 n B P B n     Vậy       5 1 13 9 6 18 P A B P A P B      7. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu a. Gọi A là biến cố “Chọn được 2 viên bi xanh” B là biến cố “Chọn được 2 viên bi đỏ” C là biến cố “Chọn được 2 viên bi vàng” Và X là biến cố “Chọn được hai viên bi cùng màu” Ta có X A B C   và các biến cố A, B, C đôi một xung khắc, nên:          P X P A B C P A P B P C      Mặt khác       22 2 34 2 2 2 2 9 9 9 6 3 1 , , 36 36 36 CC C P A P B P C C C C       Vậy   6 3 1 5 36 36 36 18 P X     b. Gọi D là biến cố “Chọn được 1 viên xanh và 1 viên đỏ” Gọi E là biến cố “Chọn được 1 viên xanh và 1 viên vàng” Gọi F là biến cố “Chọn được 1 viên vàng và 1 viên đỏ” Và Y là biến cố “Chọn được 2 viên khác màu” Ta có Y D E F   và các biến cố D, E, F đôi một xung khắc, nên:          P Y P D E F P D P E P F      Mặt khác       1 1 1 11 1 4 3 2 34 2 2 2 2 9 9 9 . .12 . 8 6 , , 36 36 36 C C C CC C P D P E P F C C C       Vậy   13 18 P Y  . NHẬN XÉT:    1P Y P X  8. Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên hai quả cầu. Hãy tính xác suất sao cho 2 quả cầu đó a) Cùng màu b) Khác màu Gọi A là biến cố “hai quả khác màu”, B là biến cố “hai quả cầu cùng màu” Rõ ràng B A a. Số phần tử của không gian mẫu   25 10n C   Số phần tử của biến cố A:   1 13 2 6 3 . 10 5 n A C C   Vậy       6 3 10 5 n A P A n     b. Vì B A nên       2 1 5 P B P A P A    9. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng, 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai quả cầu. Hãy tính xác suất sao cho hai quả cầu đó: a) Cùng màu b) Khác màu a. Gọi A là biến cố “hai quả cầu màu trắng” B là biến cố “hai quả cầu màu xanh” C là biến cố “hai quả cầu màu đỏ” D là biến cố “hai quả cầu cùng màu” Rõ ràng A, B, C là các biến cố đôi một xung khắc và D A B C   Do đó        P D P A P B P C          2 2 2 215 6 5 4, , ,n C n A C n B C n C C     Suy ra:       15 10 6 , , 105 105 105 P A P B P C   . Vậy   31 105 P D  b. Gọi E là biến cố “hai quả cầu khác màu”. Rõ ràng E D Vậy       74 1 105 P E P D P D    10. Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc (đều cân đối đồng chất). Xét phép thử sau: bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc. a) Mô tả không gian của phép thử này. b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp” B: “Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ” c) Chứng tỏ A và B là hai biến cố độc lập d) A và C có phải là hai biến cố độc lập không? a. Không gian mẫu của phép thử là:    1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6n S S S S S S N N N N N N  và   12n   b. Ta có    1, 2, 3, 4, 5, 6 , 6A S S S S S S n A  suy ra   6 1 12 2 P A         2 1 6, 6 , 2 12 6 B S N n B P B           6 1 1, 3, 5, 1, 3, 5 , 6 12 2 C N N N S S S n C P C     c. Ta có       1 6 , 1 12 AB S n AB P AB    Mặt khác     1 1 1 . . 2 6 12 P A P B   . Vậy      P AB P A P B Nghĩa là A và B là hai biến cố độc lập d. Ta có       3 1 1, 3, 5 , 3 12 4 AC S S S n AC P AC     Mặt khác     1 1 1 . . 2 2 4 P A P C   . Vậy      .P AC P A P C Nghĩa là A và C là hai