Rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm về phân số cho học sinh giỏi lớp 4, 5

A.Đặt vấn đề I .Lời mở đầu Năm học 2008-2009 là năm học tiếp tục thực hiện nghị quyết Đại Hội X của Đảng và cũng là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “ Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong GD “ .Cũng là năm đầu tiên thực hiện chủ đề năm học : ứng dụng công nghệ thông tin đổi mới công tác tài chính trong GD , xây dựng trường học thân thiện , học sinh tích cực ,trường xanh sạch đẹp. Thấm nhuần cuộc vận động :"Hai không” trong GD, mỗi chúng ta – những người làm công tác giáo dục đều phải lo lắng , trăn trở, tập trung nâng cao chất lửợng day học nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục . Cũng như các môn học khác , môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng trong việc hình thành nhân cách con người lao động .Vì vậy , mỗi GV cần phải có trách nhiệm dạy học sao cho HS của mình tiếp thu được những kiến thức và kĩ năng mà chương trình giáo dục tiểu học qui định .Đặc biệt ở tiểu học ,chất lượng , kết quả đó không chỉ được đo bằng tỉ lệ HS lên lớp ,hoàn thành chương trình tiểu học 98%đến 100% mà còn là chất lượng HS giỏi các cấp .Nhưng kết quả thi HS giỏi lại ít chiều lòng GV .Một lý do ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng HS giỏi lớp 4,5 là do phần lớn GV truyền dạy rập khuôn ,máy móc ,còn HS tiểu học (do đặc điểm về sinh lý lứa tuổi ) nên tiếp thu một cách thụ động .Mặt khác HS tiểu học thi HS giỏi cả 2 môn Toán ,Tiếng Việt mà qua các kì thi thì điểm Tiếng Việt thường được cao hơn vì mộn này được chấm theo từng ý ,từng câu ,từng từ …do đó dễ kiếm điểm .Môn Toán nhiều em điểm thấp ,có cả điểm kém bởi môn toán hoặc là làm đúng hoặc là không làm được gì .Cũng có khi chỉ cần các em sơ suất hoặc lập luận không chặt chẽ cũng bị trừ điểm hoặc không được tính điểm .Do đó có được giảI hay không phần lớn là do môn toán quyết định và qua thực tế giảng dạy ,nghiên cứu tôi thấy cấu trúc một đề thi HS giỏi thường có bài tập tính nhanh , tính nhẩm ,đây là bài tập gỡ điểm nhưng rất ít HS làm được trọn vẹn .Các kiểu bài tính nhanh yêu cầu HS sử dụng kiến thức cơ bản và sử dụng một cách hợp lý .Nhưng có lẽ toán tính nhanh về phân số là khó nhất vì mức độ khó không chỉ với số tự nhiên ,số thập phân mà còn phải phân tích và rút gọn phân số nữa .Qua các đề thi ,HS ít khi làm được bài vì các em tiếp thu một cách thụ động máy móc nên vào phòng thi dễ quên cách làm và gặp không ít khó khăn . Mặt khác không những tính nhanh ,tính nhẩm trong phòng thi mà trong thực tế cùng với sự phát triển của xã hội khi máy tính ,máy vi tính đã trở thành đồ dùng sinh hoạt bình thường và dễ mua lại tính toán nhanh hơn nên nhiều người cho rằng tính nhẩm, tính miệng không còn cần thiết nữa .Nhưng một bài tính nhanh với nhiều con số và đủ 4 phép tính thì lại có thể bấm nhầm số ,nhầm dấu phẩy ,nhầm phép tính và các phương tiện tính toán không phải mọi lúc ,mọi nơi đều hỗ trợ cho ta luôn trong công việc hàng ngày .Hơn nữa qua tính nhanh ,tính nhẩm rèn cho HS vận dụng linh hoạt ,khéo léo tính chất của các phép tính để tìm ra kết quả một cách nhanh nhất ,tiết kiệm sức lực nhất Vì vậy qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bồi dưỡng HS giỏi tôi rút ra một số kinh nghiệm về “Rèn kĩ năng tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS giỏi lớp 4,5” . II .Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu 1.Thực trạng . Giải toán là mức độ cao nhất của tư duy đòi hỏi mỗi HS phải biết huy động gần hết vốn kiến thức vào hoạt động giải toán .mỗi bài toán ,mỗi biểu thức ,mỗi lời văn đều có nội dung kiến thức logic của nó ,được thể hiện bằng các ngôn ngữ toán học (các thuật toán ) và có mối quan hệ chặt chẽ trong mỗi bài toán ,dạng toán . Tính nhanh là tính toán đòi hỏi con người phải vận dụng toàn bộ những hiểu biết về số học ,huy động sức nhớ của bộ não để tìm ra kết quả nhanh, đúng .Vậy khả năng tính nhanh là khả năng lựa chọn và lựa chọn cách tính tối ưu trong nhiều cách tính có thể có của một phép tính .Do đó trong óc mỗi người phải thực hiện các phép biến đổi khác nhau để đưa tính phép hoặc dãy tính về một dạng mới cho phép tính tránh được sự kềnh càng về tính toán mà có thể thực hiện dễ dàng trong suy nghĩ . Mặt khác trong các đề thi HS giỏi ,đề bài nhìn chung giống SGK - Tài liệu nâng cao hoặc biến đổi đi chút ít .Do đó chương trình nâng cao luôn được coi là cẩm nang để GV dạy bồi dưỡng sử dụng .Nhưng đôi khi vì quá coi trọng nâng cao mà bài tập trong SGK học sinh lại không làm được .Ví như ngay trong SGK ,sách bài tập toán 4,5 cũng có các dạng tính nhanh như : Cộng phân số có các mẫu số bằng nhau : ( SGK Toán 5 trang160) Tính tích các phân số : (SGK Toán 5,trang177) Một phân số nhân với một tổng các phân số ,một phân số nhân với một hiệu các phân số , … hoặc (SGK Toán 4 trang 169) Trên thực tế những bài trên nhiều khi ngay cả HS giỏi cũng phải suy nghĩ rất lâu mới làm được chứ chưa nói đến HS đại trà bởi các em không hiểu sâu ,không nắm được bản chất của vấn đề . Ngay cả GV chính vì nhiều khi không nghiên cứu hoặc có một số GV đã lâu năm chỉ dạy các khối lớp 1,2,3 nên không khỏi vướng mắc khi gặp các dạng toán này .Do vậy ,tìm ra biện pháp ,phương pháp để giúp HS tiếp thu kiến thức kĩ năng về tính nhanh ,tính nhẩm không chỉ là để bồi dưỡng HS giỏi mà còn để GV có thể giải ngay được bài toán dạng này khi có HS hoặc phụ huynh nhờ mình giải hộ và cũng rất cần thiết khi dạy đến phần này cho HS đại trà trên lớp . 2. Kết quả của thực trạng . Từ những thực trạng trên năm học 2007- 2008 tôi đã xin phép ban giám hiệu nhà trường tiến hành thực nghiệm trên đội tuyển HS giỏi của nhà trường và tiến hành khảo sát chất lượng trên 20 em (khối4:10 em; khối 5:10 em) đã được ôn luyện tương đối kĩ với GV đã bồi dưỡng HS giỏi lâu năm về dạng toán này .Kết quả đạt được như sau : Lớp SL Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 4 10em 0 0% 2em 20% 8em 80% 5 10em 2em 20% 2em 20% 6em 60% Từ thực tế trên ,tôi xin mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm về tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS lớp 4,5 (Đặc biệt là HS giỏi ) để các đồng chí cùng tham khảo ,góp ý . Mong sao kinh nghiệm nhỏ này sẽ góp phần giúp cho HS giỏi lớp 4,5 tính nhanh ,tính nhẩm được phần phân số một cách chủ động ,sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói chung. B. Giải quyết vấn đề . I.Các giải pháp thực hiện Đối tượng dạy học của chúng ta là HS tiểu học .Đây là lứa tuổi chuyển tiếp từ giai đoạn vui chơi sang giai đoạn học tập khả năng tri giác của các em rất tốt ,hứng thú học tập ngày càng bộc lộ .Tuy vậy khả năng tư duy của các em lại còn mang tính trực quan ,cụ thể .Do đó ,khi dạy HS về tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS giỏi tôi vẫn chia ra thành 4 dạng cụ thể . Đó là : Dạng I.Tính tổng các phân số có cùng tử số . Dạng II.Tính tổng các phân số có các cặp mãu số bằng nhau . Dạng III.Tính nhanh tích của nhiều phân số Dạng IV.Các chữ số được viết đi viết lại nhiều lần . Mỗi dạng đó tôi sẽ có từng biện pháp ,cách giải riêng . II.Các biện pháp để tổ chức thực hiện Dạng I.Tính tổng các phân số có cùng tử số . Một thừa số của mẫu số này làm thừa số của mẫu số liền trước nó (sau khi đã phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên ) a-Phương diện lý thuyết - Phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên theo thứ tự tăng dần . - Tử số bằng hieuj của 2 số tự nhiên của mẫu số đó . - Các mẫu số có quy luật chung . b- Phương diện thực hành . - Phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên theo thứ tự tăng dần . - Viết mỗi phân số dưới dạng hiệu của 2 phân số - Viết lại biểu thức (đề bài )rồi tính kết quả (các phân số sẽ triệt tiêu . Đối với dạng này trước tiên ta đưa cho HS tính 1 biểu thức đơn giản . VD1 .Tính nhanh biểu thức sau : A= Giúp HS nhận xét : Tử số có đặc điểm gì ? (đều bằng 1) Các mẫu số có đặc điểm gì ?( 2 = 1 x 2 , 6 = 3 x 4 ,20 = 4 x 5 ,…..) ( Tức là ta đã phân tích được mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo thứ tự tăng dần )và rút ra được quy luật :Thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số này là thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số đứng liền sau nó theo thứ tự tăng dần . - Vậy ta có thể phân tích các phân số này thành hiệu của 2 phân số Từ đó ta tính được biểu thức như sau : A= Sau khi HS đã biết nhận xét ,hiểu và nắm được cách giải ,GV biến đổi đề ddeer rèn sự quan sát ,óc suy nghĩ và phát huy trí thông minh của HS .Tôi có sử dụng một số biện pháp biến đổi như sau : *Biện pháp 1: Sau khi HS nắm được bài học tôi ra một bài tập khác đã được biến đổi đi chút ít . BT1:Tính bằng cách hợp lý : A= BT2. Tính nhẩm (dựa vào bài đã học ) b) Nếu tập trung làm bài các em sẽ nhẩm ra ngay kết quả (vì ở bài 2a chỉ khác VD1 là thêm số 2 ở đầu ,ở bài 2b chỉ khác là bớt đi phân số *Biện pháp 2.nâng cao dần bằng các bài tập khó hơn để rèn kĩ năng phân tích ,tổng hợp, giải toán cho HS . VD :Tính nhanh . A= . (Đề thi HS giỏi tỉnh Thanh Hóa 1998-1999) Để làm được dạng này GV cho HS nhận dạng được quy luật của mẫu số .(Quy luật của mẫu số là tích của 2số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự tăng dần ) Từ đó HS hiểu được các phân số chưa biết của biểu thức mà người ta chưa viết Như vậy A viết đầy đủ sẽ là : A=. Từ đó HS nắm được cách giải thông qua bài học và các VD .S au khi giải GV cho HS nhắc lại cách giải của các dạng này là : -Phân tích tìm ra quy luật của dãy số ,từ đó tìm ra các phân số chưa có trong biểu thức .Như vậy mới tính nhanh được giá trị của biểu thức . Biện pháp 3. Ra đề có dạng như bài học nhưng có thêm cả biến số .Đây là dạng HS dễ bị lừa và thụ động hoặc là nhận xét sai do không đọc kỹ đề bài dẫn đến làm bài sai . VD :Tính tổng sau bằng cách hợp lý . A= (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 1999-2000) Nếu HS vẫn phân tích theo cách trên ,các em sẽ bị lúng túng vì 2 phân số đầu tiên không theo quy luật (mẫu số là tích của 2 số lẻ liên tiếp theo thứ tự tăng dần ).Từ đó GV cho HS nhận thấy được những phân số nào không thuộc quy luật thì không phân tích .Chỉ phân tích những phân số nào tuân theo quy luật để tạo thành những phân số triệt tiêu nhau. Như vậy bài trên phải giải như sau : A= Sau khi HS đã nắm được cách làm của từng dạng GV cho HS làm một số bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó để củng cố lại kỹ năng cho HS . VD : -ở VD a) để giải được HS phải xác định được phân số không thuộc quy luật của dãy tính . - Còn ở VD b) và c) thì HS phải biến đổi một chút mới trở về dạng đã học . B. Còn một dạng nữa cũng cùng từ số nhưng mẫu số của phân số đứng sau gấp một số lần phân số đứng trước . a- Về phương diện lý thuyết : Nếu ta viết tổng các phân số dưới dạng tổng từng cặp các phân số thì tổng đố không thay đổi . b- Về phương diện thực hành .Hướng dẫn HS : - Viết bài toán (biểu thức ) dưới dạng từng cặp 2 số một ( tính chất kết hợp) - ở mỗi cặp tổng 2 phân số đặt thừa số chung (là phân số ) có tử số và mẫu số là mẫu số đầu tiên của cặp đó . - Sử dụng tính chất 1 số nhân với 1tổng ghép các cặp giống nhau lại dưới dạng tích . -Thực hiện phép tính (nếu các cặp lẻ thì để riêng phân số đầu tiên ) - Mẫu số đứng sau gấp đôi mẫu số đứng trước VD Tính nhanh biểu thức : B = Giúp HS nhận xét :có 7 phân số trong biểu thức do đó ta để lại phân số -Ta ghép các cặp : - Đặt nhân tử chung : -Sử dụng tính chất 1số nhân với 1 tổng ta có : Sau đó ta thực hiện phép tính ( Nếu tổng ở trong còn nhiều số thì GV hướng dẫn HS áp dụng tính tổng như ở dạng 1 ) Trong trường hợp mẫu số đứng sau gấp 3,4,5 …lần mẫu số đứng trước thì làm tương tự . Dạng II .Tính tổng các phân số có các cặp mẫu số bằng nhau . Về phương diện lý thuyết -Tổng các phân số không thay đổi khi ta thay đổi vị trí các phân số - Khi ta nhan hay chia cả tử và mẫu với cùng một phân số khác 0 thì ta được phân số mới bằng phân số đã cho . b.Về phương diện thực hành GV hướng dẫn HS : -áp dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp để : +Ghép các phân số có mẫu số bằng nhau để ta cộng tử số với nhau để ta cộng tử số của chúng với nhau ,khi đó ta sẽ tính tổng đó được dễ dàng hơn +Nếu có các cặp phân số bằng nhau ta ghép các phân số bằng nhau thành cặp rồi tính tổng trước . + Sau đó thực hiện phép tính còn lại . c.Biện pháp thực hiện . Trong phần này tôi tách ra thành 4 loại bài tập để mỗi dạng sẽ có 1 biện pháp phù hợp hướng dẫn HS . * Biện pháp 1. Rèn kĩ năng sử dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp . VD : Tính nhanh tổng sau : A= Hướng dẫn HS : + Bước 1: áp dụng tính tổng các phân số có cùng mẫu số ta có : A= + Bước 2: áp dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp ta có : A= Sau khi HS hiểu được VD ta ra cho HS một số dạng bài tập tương tự và nâng cao dần : Bài 1: A = Bài 2: B = Bài 3: A = Bài 4 : B = Đến bài 4 HS sẽ gặp khó khăn nếu các em không nhận ra được cặp số và thì GV có thể gợi ý để HS có thể nhớ lại nếu ta quy đồng hoặc rút gọn các phân số cũng sẽ có mẫu số bằng nhau . Biện pháp 2.Tính tổng các phân số có hỗn số VD : Tính nhanh tổng sau đây : A = GV cho HS phân tích bài : Trong bài toán trên có gì đặc biệt ? ( Có các phân số là hỗn số ) GV ; Trong hỗn số em hiểu phần nguyên ,tử số ,mẫu số tương ứng với các phần nào của phép chia ? [ Phần nguyên (thương ) ,tử ( số dư) ,,mẫu (số chia) ] GV :Vậy nếu các phép chia có cùng số chia (mẫu ) ta có thể tính kết quả chung bằng cách : Lấy thương + thương (phần nguyên +phần nguyên ) Số dư + số dư ( tử số + tử số ) với nhau Từ đó áp dụng vào bài này ta tính như thế nào ? HS ; tìm những phân số có mẫu số bằng nhau ( hoặc nhân lên , hoặc rút gọn đi để được các mẫu số bằng nhau ) thành nhóm .Sau đó tính kết quả . Như vậy ,sau khi hướng dẫn HS có thể dựa vào bài toán ở dạng trên các em sẽ giải được bài toán này một cách dễ dàng . Giải : A = =b *Biện pháp 3 : áp dụng tính chất một số nhân với một tổng ,chia một tổng cho một số ,áp dụng phân số bằng nhau như : a b – a xc =a x ( b- c ) ( a + b ) : c = a: c + b:c VD : tính nhanh : A = GV lưu ý HS trong trường hợp các phân số nhân với 1 ( ) Từ đó áp dụng tính chất một số nhân với một tổng ( 1số nhân với 1 hiệu) các em sẽ giải được bài tập trên một cách dễ dàng . Giải : A= Giống như các bước trên GV cho HS làm các bài tập tương tự nhưng được nâng cao dần VD : Tính tổng sau bằng cách hợp lý : A= Trong VD này nếu chưa được gặp HS sẽ lúng túng .Khi đó GV giúp HS nhận xét xem : ở phần phân số ,các mẫu số giống nhau ở điểm nào ?Tử số và mẫu số có liên quan với nhau như thế nào ? HS : Mẫu số là số tròn choc ,tử và mẫu cùng là bội của chữ số hàng chục .Do đó ở mỗi phân số sau khi rút gọn các em sẽ được các phân số có cùng mẫu số . Từ đó HS sẽ giải được bài tập này theo các cách hướng dẫn ở trên .Sau đó GV cho HS làm thêm một số bài tập để củng cố: Bài 1. Bài 2. ở dạng này sau khi HS được ôn kĩ về các tính chất giao hoán ,kết hợp của phép cộng ,khái niệm về phân số bằng nhau ,phân số tối giản và cộng dãy số tự nhiên theo quy luật HS sẽ giải được dễ dàng và thành thạo . Dạng III .Tính nhanh tích của nhiều phân số . Về phương diện lý thuyết :Củng cố cho HS kiến thức về : Một số có thể phân tích thành tích của 2 phân số Một phân số có thể phân tích thành tích của 2 phân số . Khi ta nhân hoặc chia cả tử và mẫu số cho 1 số tự nhiên khác 0 ta được phân số mới bằng phân số đã cho b. Về phương diện thực hành .Hướng dẫn HS : - Phân tích ở tở số và mẫu số thành tích của các số sao cho có các thừa số giống nhau -áp dụng tính chất giao hoán đưa các thừa số giống nhau ở tử và mẫu về một phía . - Sau đó rút gọn . c.Biện pháp thực hiện . Trước tiên GV đưa ra cho HS bài ở dạng đơn giản chưa cần các em phân tích . VD .Tính nhanh : A= GV giúp HS nhận they cần đưa các phân số có các số giống nhau ở tử và mẫu số về cùng một cụm .Từ đó sẽ rút gọn và giải được bài toán : A= Sau đó GV cho HS làm quen với dạng khó và rắc rối hơn VD .Tính nhanh biểu thức . A= GV giúp HS nhận dạng đề toán :( Tích của nhiều phân số ) Hỏi Vậy ở dạng này trước tiên ta phải làm gì ? ( Phân tich các số ở tử số (mẫu số) để thành các thừa số giống thừa số ở mẫu (tử ) ) Hỏi : Vậy những phân số nào có thể làm như vậy ? HS trả lời và phân tích : 0,75=3x0,25 4,6=2x2,3 0,625=5x0,125 Từ đó áp dụng các bước trên HS sẽ giải được bài toán Sau đó cho HS làm thêm một số bài tập tự luyện