Rèn luyện năng lực tư duy toán học cho học sinh giỏi thông qua việc phân tích giải quyết góc khuất trong lời giải các bài toán để sáng tạo bài toán mới

PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG ----------------0o0---------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI THÔNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH GIẢI QUYẾT GÓC KHUẤT TRONG LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐỂ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI người viết: LÊ THANH HÒA Giáo viên Trường THCS Tôn Quang Phiệt I. ĐẶT VẤN ĐỀ Có lẽ trong quãng đời học sinh bạn đã giải rất nhiều bài toán, và trong đó hẳn cũng có những bài rất khó. Tuy nhiên, có khi nào bạn tự hỏi: tại sao mình không tự đặt ra các bài toán, để “đố” bạn bè chẳng hạn? Nếu thắc mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Bài viết này có ý định giúp các bạn hình dung được phần nào lời giải đáp cho thắc mắc trên.Thật ra, hầu như đa phần những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là “từ trên trời rơi xuống”, mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc các bạn có thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới … sẽ giúp bạn thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính (thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa), qua đó giải thích được “vì sao giải như vậy”, và cao hơn là “vì sao nghĩ ra bài toán”. II.NỘI DUNG: Chúng ta bắt đầu với: BÀITOÁN 1 Cho x,y là các số dương thoả mãn: x2+y2 = 1. Tìm GTLN của A= x + 2y nhận xét: Đây là 1 bài toán không quá khó đối với 1 HS khá lớp 9. và khi gặp bài toán này hầu hết HS đều có cách giải như sau: áp dung bất đẳng thức: (ax+by)2 ≤ (a2+b2)(x2+y2) ta có: A2 = (x+2y)2 ≤ (12+22) (x2+y2) = 5 từ đó suy ra MaxA=↔ Khi dạy đối tượng HS khá giỏi chúng ta không nên chỉ dừng lại ở lời giải trên. Để kích thích HS gv cần đưa ra 2 câu hỏi sau: ?1.Ngoài cách giải trên có thể giải bài toán theo cách nào khác hay không? ?2.Nếu thay đổi GT hoặc KLcủa bài toán chẳng hạn thay GT thành x3+y3 =1 và giữ nguyên KL thì cách giải trên có thể giải quyết được yêu cầu của bài toán nữa hay không? *Để trả lời ?1 cần chú ý: MaxA=↔v à x,y≥ 0 ta có cách giải thứ 2 sau: áp dụng BĐT Cauchy cho 2 s ố : x2+≥ 2= 2x → x≤ = (1) Tương tự : y2+ ≥ 2. = 4y → 2y ≤ = (2) cộng từng vế (1) và (2) ta có: x + 2y ≤ += = = Từ đó ta có MaxA = ↔ Đây là lời giải đầu tiên của tôi cho bài toán1, và nó đã làm tôi đặc biệt thú vị(vì thực chất cách giải 2 là 1 cách giải có qui trình). Lúc đó, tôi đã nghĩ rằng đây chính là con đường đặt ra bài toán mới:Hào hứng với kết quả trên, tôi thử dùng “quy trình” ở trên để “săm soi” bài toán dưới đây BÀI TOÁN1a: Cho x,y là các số dương thoả mãn: x3+y3 = 1. Tìm GTLN của A= x + 2y GIẢI: đặt: a = b = → a+b =1 và 3 = (*) x3+a+a ≥ 3= 3x → x ≤ (3) y3+b+b ≥ 3 = 3y→2y ≤ (4) cộng từng vế (3) và (4) kết hợp với (*) ta c ó: x + 2y ≤ == (5) Bài toán 1a đã có lời giải nhưng ta cần làm rõ tại sao lại chọn đặt a= và b = như trên? Qui trìnhcủa lời giải trên chính là việc tìm ra các giá trị của các tham số a, b. Ta có thể thực hiện qui trình đó theo các bước sau: * để (3) v à (4) xảy ra dấu "=" ta đã gán cho a=x3 ; b=y3 (Điều kiện xảy ra dấu"=" của BĐT Cauchy) nên có a+b = x3+y3 = 1 * Để sử dụng GT x3+y3 = 1trong (3)v à (4)ta cho các mẫu thức bằng nhau a+b=1 * Để tìm a,b ta giải hệ: 3 = *Giải hệ trên ta tìm được các giá trị của a,b như trên. Nếu cảm thấy hứng thú, các bạn nên suy nghĩ thêm về các bài tập dưới đây, đó là những bài toán được đặt ra nhờ qui trình giải nói trên: BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: 1.Cho x,y,z là các số dương thoả mãn x3+y3+z3= 3.tìm GTLN của B = +2+3 2.cho x,y,z,t là các số dương thoả mãn x+y+x+t=4.Tìm GTNN của C = x4+2y4+4z4+8t4 BÀI TOÁN 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=(x+1)2+(x-3)2 Giải: Ta có: A=x2+2x+1+x2-6x+9 =2x2-4x+10 =2x2-2x+1+8 =2(x-1)2+8≥8 dấu = xảy ra ⟺x=1 Vậy MinA=8 x=1. BÀI TOÁN 2a : Tìm GTNN của biểu thức: D=x2+6y2+14z2-8yz+6zx-4xy Giải: D=x2+2(3z-2y)x+6y2+14z2-8yz =[x2+2(3z-2y)x+(3z-2y)2]+6y2+14z2-8yz-(3z-2y)2 =(x-2y+3z)2+2y2+4yz+5z2 =(x-2y+3z)2+2(y2+2yz+z2)+3z2 =(x-2y+3z)2+2(y+z)2+3z2≥0 D=0 x=y=z=0 BÀI TOÁN 2b : Tìm giá trị nhỏ nhất của: E=x2+2y2+3z2-2xy+2xz-2x-2y-8z+1 Giải: Ta có E =x2-2x(y-z+1)+2y2+3z2-2y-8z+1 =[x2-2x(y-z+1)+(y-z+1)2]+2y2+3z2-2y-8z-(y-z+1)2+1 =(x-y+z-1)2+y2+2y(z-2)+2z2-6z-(z-2)2 =(x-y+z-1)2+(y-z+2)2+2z2-6z-(z-2)2 =(x-y+z-1)2+(y-z+2)2+z2-2z-4 =(x-y+z-1)2+(y-z+2)2+(z-1)2 -5≥ -5 Vậy MinE=-5 Nhận xét: Nhóm bài toán 2 là một loại bài tập là một dạng toán hay và khó.Nhưng nếu ta chịu khó phân tích tìm hiểu các lời giải trên thì cách giải và cách sáng tạo bài toán mới không còn là vấn đề khó nữa. CÁCH SÁNG TẠO BÀI TOÁN Để có 1 bài toán dạng này ta làm như sau: Bước 1: Viết 1 biểu thức A dưới dạng A = (x+2y-z)2+(2y-z)2+(z-2)2+1 Bước 2:Khai triển rồi đ ưa về dạng: A = x2+8y2+2z2+4xy-2xz-8yz+5 Bước 3:Phát biểu bài toán: Tìm GTNN của: A = x2+8y2+2z2+4xy-2xz-8yz+5 Để giải bài toán này bạn hãy đọc kỹ các lời giải trên . BÀI TOÁN 3:Cho f(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng 1 thỏa mãn f(1) = 3; f(2)= 6; f(3)=11. Hãy tính giá trị của biểu thức M = f(-1)+f(5) Lời giải: Đặt g(x) = x2+2 khi đó ta nhận thấy g(1) = 3 g(2) = 6 g(3) =11 Xét đa thức H(x) = f(x)-g(x) (1) thì H(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng hệ số cao nhất của f(x) và: H(1) = H(2) = H(3) = 0 Vì f(1)=g(1);f(2)=g(2);f(3)=g(3) Nên H(x) có 3 nghiệm là 1,2,3 và do H(x) có bậc 4 nên ta đặt: H(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-m) (2) ở đây m là nghiệm thứ 4 của H(x). Từ (1) và (2) ta có  f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x2+2 (3) Trong (3) cho x =-1 ta có: f(-1) = (-2).(-3).(-4)(-1-m) +3 (4) Trong (3) cho x=5 ta có: f(5) = 4.3.2(5-m) +27 (5) Từ (4) và (5) ta có : M = f(-1) + f(5) =-24(-1-m) + 24(5-m) + 30 =24 + 24m + 120 -24m +30 = 174.Vậy giá trị của M = 174 Nhận xét: Đa số các bạn HS khi gặp bài toán này thường tìm cách xác định f(x) để từ đó tính f(-1) và f(5).nhưng thường không đạt được kết quả.Vì với GT nêu trên ta không thể xác định được dạng cụ thể của f(x),hay nói cách khác có vô số đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện f(1)=3; f(2)=6;f(3) =11. Nhận xét: Bài toán 3 và lời giải của nó ở trên chắc bạn không khỏi thắc mắc 1 điều : cơ sở nào để chọn đặt g(x) = x2+2? và nếu giải quyết được điều đó hẳn bạn sẽ rất vui mừng vì sẽ có thêm 1 cách đặt một dạng toán mới để bổ sung vào bộ sưu tập sáng tạo toán khó cho mình làm cẩm nang cho dạy học. THUẬT TOÁN TÌM ĐA THỨC g(x) : *Để xác định g(x) cần chú ý rằng Deg g(x) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau: deg G(x) < số giá trị đã biết của f(x) deg G(x) < deg f(x) (ở đây deg A(x) là bậc của đa thức A(x)) *Gán các giá trị đã biết của f(x) cho g(x) * Giải hệ PT để tìm g(x) CÁCH SÁNG TẠO BÀI TOÁN: 1.Chọn g(x) . Chẳng hạn g(x) = x2 - x + 3 → g(2) = 5; g(3) = 9 ; g(4) = 15 2. Đặt H(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-m) 3.Chọn 2 giá trị của x là a,b sao cho H(a) + H(b) không phụ thuộc m. 4.Phát biểu bài toán: Cho f(x) = x4+mx3+nx2+px+q (m,n,p,q là các hệ số).Biết rằng f(2)=5;f(3)=9;f(4)=15. Tính giá trị của biểu thức: A = f(7)+f(-1) 5.lời giải: Bước 1:TÌM ĐA THỨC g(x) Gỉa sử g(x) = ax2+bx+c (vì deg g(x) < 3) Để tìm a,b,c ta cho : g(2)=f(2)=5 → 4a+2b+c=5 g(3)=f(3)=9 → 9a+3b+c=9 g(4)=f(4)=15 → 16a+4b+c=15 Giải hệ: 4a+2b+c=5 9a+3b+c=9 16a+4b+c=15 Tìm được a=1;b=-1;c=3 nên g(x) = x2-x+3 Lời giải: Đặt g(x) = x2-x+3 khi đó: g(2)=f(2)=5 g(3)=f(3)=9 g(4)=f(4)=15 Xét đa thức H(x) = f(x) - g(x) (1) thì H(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng 1. Hơn nữa H(2)=H(3)=H(4)=0 (Vì f(2)=g(2);f(3)=g(3);f(4)=g(4)) Nên H(x) có 3 nghiệm là 2,3,4 và do H(x) có bậc 4 nên ta đặt: H(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-m) (2) ở đây m là nghiệm thứ 4 của H(x). Từ (1) và (2) ta có  f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-m)+x2-x+3 (3) Trong (3) cho x =-1 ta có: f(-1) = (-3).(-4).(-5)(-1-m) +5 (4) Trong (3) cho x=7 ta có: f(7) = 5.4.3(7-m) +45 (5) Từ (4) và (5) ta có : M = f(-1) + f(7) = -60(-1-m) + 60(7-m) + 50 = 60 + 60m + 420 -60m +50 = 530 Vậy giá trị của M = 530 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: 1.Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn f(1)=10 ; f(2) =20; f(3)=30.Tính giá trị của biểu thức: A = 2.Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn f(1) =3; f(3) =11;f(5) = 27.Tính giá trị của B = f(-2) + 7f(6) III. KẾT LUẬN: Có lẽ qua 3 ví dụ nhỏ ở trên, các bạn đã đủ hình dung ra một cách “đặt được bài toán mới”. Các bạn thấy đó, từ bài toán 1 có vẻ “rất tầm thường”, ta có thể dẫn tới những điều không tầm thường chút nào, theo một nghĩa nào đó thì “không có bài toán nào tầm thường, chỉ có những con người tầm thường làm toán mà thôi”.Cuối cùng, xin lưu ý rằng: “Giải toán” là một kĩ thuật rất tinh tế mà ở đây chỉ là những ý tưởng đơn giản nhất, điều đó có nghĩa là con đường sáng tạo là vô cùng, song giá trị của sự sáng tạo phụ thuộc chủ yếu vào chính các bạn.