Sáng kiến dạy học môn Toán 11 - Nhị thức Newton

LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây trong các kì thi tú tài và thi vào các trường đại học và cao đẳng, đề thi thường cho ra các bài tốn phải vận dụng đến cơng thức nhị thức Niutơn để giải các bài tốn đĩ, do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tình huống cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này . Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một số dạng tốn với số mũ nguyên. Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức “ nhị thức Niutiơn” một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết. Trước yêu cầu đó tôi cố gắng viết chuyên đề này với các nội dung như sau: NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn và một vài chú ý khi khai triển cơng thức nhị thức Niu – Tơn. Một số dạng toán nhị thức Niu – tơn thường gặp Trong phần này, tơi trình bày một số bày tốn cơ bản dành cho đối tượng là học sinh lớp 11 ( theo chương trình mới ) gồm các nội dung sau: Khai triển nhị thức Niu – tơn, vận dụng kiến thức tam giác Pax – can trong khai triển nhị thức Niu – tơn. Xác định số hạng trong khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk. Xác định tổng các hệ số khai triển của nhị thức NIutơn. Phần kiến thức mở rộng: Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn cĩ dạng khĩ hơn và bài tốn mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện nay ) khơng giải được : Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b cĩ số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực. Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Các bài tốn chứng minh cĩ liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn Xin cảm ơn các thầy cơ ở trường THPT Phước Thiền đã chân thành gĩp ý kiến cho tơi hồn thành đề tài. Mặt dù cĩ nhiều cố gắng, nhưng do kinh nghiệm khơng nhiều nên thiếu sĩt là điều khơng tránh khỏi, mong quý thầy cơ chân thành gĩp ý để tơi cĩ kinh nghiệm tốt hơn trong cơng tác dạy học mơn tốn. Chân thành cảm ơn Phước thiền, ngày 25 tháng 11 năm 2008MỤC LỤC A. LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN 3 B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 4 Khai triển nhị thức Niutơn 5 Xác định một số hạng nào đĩ trong khai triển nhị thức Niutơn 6 Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk 8 Tính các hệ số khai triển. 10 C. MỘT SỐ BÀI TỐN MỞ RỘNG 13 Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b cĩ số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực. 14 Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng 18 Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn 19 Các bài tốn chứng minh cĩ liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn 21 Các bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn 22 Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn 23 A. LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NEU-TƠN CÔNG THỨC: TÍNH CHẤT: Khi khai triển nhị thức ta cần để ý: Ở vế phải có n + 1 số hạng, trong đó đầu tiên là , cuối cùng là, các vị trí còn lại là tích an-kbk với số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n sao cho trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b phải bằng n tức là n – k + k = n. Số hạng thứ k + 1, kí hiệu: với k = 0, 1, 2, . . ., n và có dạng Hệ số trong khai triển (1) có tính chất đối xứng. Chú ý: . KẾT QUẢ ĐÁNG NHỚ: Cho a = 1, b = 1 ta có: . Cho a = 1, b = -1 ta có: . Cho a = 1, b = x ta có: . Cho a = 1, b = - x ta có: . Chú ý: Đối với thì hệ số của là . Đối với tích thì hệ số của là và được định bởi: (i + j = k). Đối với thì hệ số của là . Tam giác Paxcan và hệ số khai triển nhị thức Niu – tơn. Lủy thừa n của (a + b)n Tam giác Paxcan – Hệ số khai triển (a + b)n Ví dụ minh họa 1 1 1 (a + b)1 = 1a + 1b 2 1 2 1 (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 3 1 3 3 1 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 4 1 4 6 4 1 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 5 1 5 10 10 5 1 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1 b5 6 1 6 15 20 15 6 1 ---------------------------------------------------------------- -- ---------------------------------------------------- --------------------------------------------------  B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn thường gặp cĩ liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn trong chương trình tốn lớp 11 ( chương trình mới hiện nay ) như sau: Khai triển nhị thức Niutơn Xác định một số hạng nào đĩ trong khai triển nhị thức Niutơn Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk . Tính tổng các hệ số khai triển. VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức. Ghi chú: Khi khai triển nhị thức , ta cần nắm được kĩ năng như sau: Số hạng tổng quát trong khai triển là : (0 £ k £ n). Từ đĩ ta cĩ các số hạng trong khai triển như sau: Khi k = 0 ta có số hạng đầu thứ nhất là: Khi k = 1 ta cĩ số hạng thứ hai là: Khi k = 2 ta cĩ số hạng thứ 3 là: …………………………………………….. Khi k = n ta cĩ số hạng thứ (n + 1) ( số hạng cuối )là: Chú ý: Nếu khai triển thì ta cần chú ý qui tắc đang dấu số hạng thứ nhất k sẽ cĩ dấu là : ( - 1 )k ( 0 £ k £ n ) . Ví dụ: Khai triển nhị thức sau: (2a + b)5 Giải Áp dụng cơng thức nhị thức Niu – ton ta cĩ: Nhận xét: Trong khai triển trên ta đã vận dụng cơng thức (1), tuy nhiên trong một số khai triển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta cĩ thể vận dụng hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pax – can để khai triển như: Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa 5 là: 1 5 10 10 5 1 Þ (2a + b)5 = 1.(2a)5 + 5.(2a)4.b +10.(2a)3b2 + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5 Bài tập: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . VẤN ĐỀ 2: Tìm số hạng thứ k + 1. Trong dạng tốn này, theo chương trình mới hiện nay sách giáo khoa khơng đưa ra kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển (a + b)n , nên học sinh gặp nhiều lúng túng trong lập luận, để thuận tiện trong truyền đạt kiến thức tơi kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) là Tk + 1 = Ví dụ 1 : Tìm số hạng thứ bảy của khai triển nhị thức , x > 0. Giải: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là: Tk + 1 = Áp dụng cho k = 6, ta cĩ: Vậy số hạng thứ bày trong khai triển là: Bài tập tương tự: Tìm số hạng thứ k chỉ ra dưới đây của các khai triển. 1). Thứ sáu của ĐS: . 2). Thứ mười ba của ĐS: . 3). Thứ tám của ĐS: . Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x của khai triển , x > 0. Giải: Cách 1: Cách sử dụng kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) Số hạng thứ k + 1: = . Để hạng tử không chứa x là: Û k = 2 Vậy số hạng không chứa x là: . Cách 2: Ta có: Để hạng tử không chứa x là: Û k = 2 Vậy số hạng không chứa x là: . Nhận xét: Khi gặp đề bài cĩ yêu cầu như trong ví dụ 2, học sinh cần chú ý : a0 =1, "a > 0 Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa x của các khai triển. 1). , với x ¹ 0. ĐS: 924 2). , với x > 0. ĐS: 210 3). , với x > 0. ĐS: 3168. VẤN ĐỀ 3: Tìm hệ số của một số hạng nào đĩ trong khai triển nhị thức. Trong phần này học sinh cần nắm được số hạng của khai triển và hệ số của khai triển Ví dụ: ta cĩ thì số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là .xk và hệ số khai triển của nĩ là Ví dụ 1: Tìm hệ số của x2 trong khai triển nhị thức với a, x ≠ 0. Giải: Điều kiện để x2 xuất hiện là: Û k = 2. Vậy hệ số của số x2 là . Ví dụ 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển P(x) = Giải Ta cĩ: Để cĩ số hạng chứa x4 trong khai triển P(x) thì : hoặc hoặc hoặc Û m = 2 hoặc n = 1 hoặc p = 0 Þ Hệ số chứa x4 trong khai triển P(x) là := 8 Nhận xét: Trong một biểu thức đại số viết dưới dạng khai triển cĩ dạng: (a, b, k là các số nguyên thỏa đk bài tốn ). Thì hệ số của xak +b là ak và điều kiện để cĩ xm là : a.k + b = m ( với a, b, k phải thỏa điều kiện nào đĩ của bài tốn). Trong ví dụ 2, nếu học sinh chú ý một chút thì thấy được x4 chỉ cĩ trong các khai triển . Vì vậy ta chỉ cần tìm hệ số của x4 trong các khai triển và sau đĩ cộng lại các kết quả đĩ lại để xác định hệ số khai triển của x4 trong khai triển của P(x) Bài tập tương tự: Tìm hệ số của xk trong các khai triển. 1). Của x7 trong (2 – x)10. ĐS: –960. 2). Của x6 trong . ĐS: 56. 3). Của x3 trong . ĐS: 15. 4). Của x9 trong . ĐS: 3003. Ví dụ 2: Xác định hệ số của số hạng chức x11 trong khai triển cho biết tổng các hệ số nhị thức bằng 1024. Giải Ta cĩ: Þ Tổng các hệ số của khai triển được xác định là: Để cĩ số hạng chứa x11 thì 2n – 3k = 11 Þ 3k = 2.10 – 11 = 9 Þ k = 3 Þ Hệ số khai triển của x11 là : Bài tập tương tự: Tìm hệ số của xk trong các khai triển. 1) Của số hạng chức x11 trong khai triển cho biết tổng các hệ số nhị thức bằng 4096. HD: . 2) Của số hạng không chứa x trong khai triển biết tổng các hệ số nhị thức thứ nhất, nhì, ba bằng 46. HD: . VẤN ĐỀ 4: Tính tổng các hệ số. Ví dụ 1: Tính tổng các hệ số của khai triển nhị thức . Tính A = Tính B = Giải: Ta có: = ( Với là các hệ số của xK ( 0 £ k £ 10 ) ) Þ Tổng các hệ số trong khai triển trên là: Cho x = 1 ta có : Tổng quát của bài toán trên là : = ( Trong đó a , b là hai số thực cho trước, Với là các hệ số của xK ( 0 £ k £ n ) ) Tính A = Aùp dụng khai triển (a + b)n cho a = 1; b = 2; n = 5 ta có: A = = (1 + 2 )5 = 243 B = Aùp dụng khai triển (a + b)n cho a = 3; b = - 2; n = 5 ta có: B = ( 3 – 2)5 = 1 Nhận xét: Dĩ nhiên khi học sinh không nắm được kiến thức về nhị thức Niutơn học sinh có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị A và B, tuy nhiên trong trường hợp n lớn thì việc tính như vậy là khơng khả thi. Để vận dụng cơng thức nhị thức Niutơn (a + b)n để tính các giá trị như tổng A và B học sinh cần chú ý: trong cơng thức khai triển thì lủy thừa của a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa của b tăng từ lủy thừa 0 đến n. Từ đĩ ta suy ra giá trị a, b, n cần áp dụng để tính tổng là bao nhiêu. Trong khi tính B, học sinh chú ý đây là một tổng cĩ đang dấu nên cẩn thận a hay b cĩ dấu trừ. Ví vụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: . . Giải: Từ khai triển nhị thức Newton Cho a = 1, b = - 1 ta có: Suy ra: (1). Cho a = 1, b = 1 ta có: (2) Từ (1), (2) Þ . Hay S = 64. Từ khai triển nhị thức Newton Cho a = 1, b = 1 ta có: Do Þ P = 210 - = 772 Nhận xét: Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu được rằng đề bài đưa ra khơng nhất thiết là tình tổng tất cả các hệ số trong cơng thức khai triển, mà cĩ thể tính một số giá trị nào đĩ của khai triển, khi đĩ ta phải tìm ra qui luật tổng quát của tổng, từ đĩ vận dụng kiến thức một cách linh hoạt Cần chú ý tới chỉ số để nắm được qui luật của tổng. Ví vụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: Giải Từ khai triển (a + b)2n Cho a = 1, b = -1, ta cĩ: Cho a = 1, b = 1, ta cĩ: Þ Þ điều phải chứng minh Bài tập tương tự: Tính các tổng sau. 1). HD: a = b = 1, n = 6, S = 64. 2). HD: a = b = 1, n = 9, S = 256. 3). HD: a = b = 1, n = 10, S = 386. 4). HD: a =1, b = 2, n = 5, D = 243. 5). HD: a = 1, b = - 3, n = 6, E = 64. 6). HD: a = 2, b = 3, n = 5, F = 3125. 7). HD: a = 2, , n = 5, . Tính tổng các hệ số của khai triển các nhị thức. 1) ĐS:– 1 . 2) ĐS:243. 3) ĐS: 60 Chứng minh rằng:  C. MỘT SỐ BÀI TỐN MỞ RỘNG Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài tốn cĩ dạng khĩ hơn và bài tốn mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện ) khơng giải được : Một vài dạng tốn nhị thức Niutơn với a, b cĩ số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực. Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Các bài tốn chứng minh cĩ liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn Các bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b cĩ số mũ là hữu tỉ, số mũ thực: Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa căn của khai triển . Giải: Ta cĩ : Điều kiện để cĩ số hạng không chứa căn là: . vậy số hạng phải tìm là: Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa căn của các khai triển. 1). . ĐS: 60. 2). . ĐS: 4526 và 8. 3). . ĐS: T1, T4, T7, T10. Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x7 của khai triển Giải: Để x7 xuất hiện là: . Vậy số hạng chứa x7 là . Bài tập tương tự: Tìm số hạng chứa xk của các khai triển. 1). mà số mũ của x và y bằng nhau. ĐS: . 2). là số hạng đứng ở chính giữa. ĐS: . Ví dụ 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức , x > 0 biết rằng . (Khối A – 2003). Giải: Ta thấy Þ n = 12. Ta cĩo: . Để x8 xuất hiện thì: . Vậy hệ số của x8 là : . Bài tập tương tự: Tìm hệ số của xk trong các khai triển. 1). Của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức biết rằng . ĐS: n = 12, a6 = 792. 2). Của số hạng thứ mười ba của khai triển biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 105. HD: . 3). Của số hạng chứa x3 trong khai triển biết tổng các hệ số nhị thức của các số hạng đứng ở vị trí lẻ bằng 2048. HD: Tổng hệ chẵn, lẻ bằng nhau Þ a8 = –264. Ví dụ 3: Xác định x để số hạng thứ tư trong khai triển nhị thức: ( a > 0 ). Giải: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là:. Vậy: . Bài tập tương tự: 1). Xác định n để trong khai triển nhị thức mà các hệ số của: a) Số hạng thứ hai, thứ ba, thứ tư tạo thành một cấp số cộng. b) Số hạng thứ năm, thứ sáu, thứ bảy tạo thành một cấp số cộng. HD: Hệ số nhị thức a, b, c là một cấp số cộng Û a + c = 2b. ĐS: a) n = 7; b) n = 7 và n = 14. 2). Tìm n để ba số hạng đầu tiên của khai triển với x > 0 tạo thành một cấp số cộng. ĐS: n = 8. 3). Tìm x để trong khai triển mà số hạng thứ ba bằng 240. ĐS: x = 2. 4). Số hạng thứ ba trong khai triển không chứa x. Tìm x để số hạng ấy bằng số hạng thứ hai trong khai triển . ĐS: x = 2. 5). Trong khai triển cho biết và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n. (Khối A/2002). ĐS: n = 7, x = 4. Ví dụ 4 :Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển . Giải: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là: . Để Tk+1 là số hữu tỉ, cần phải có: (1). Từ (1) suy ra: m = 50 – 2p Þ p = 0, 1, . . ., 25. Do đó k = 4p, với p = 0, 1, . . ., 25. Hay ta có k = 0, 4, 8, 12, . . ., 100. Vậy có 26 số hạng hữu tỉ trong khai triển của . Bài tập tương tự: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong các khai triển. 1). . ĐS: 34. 2). . ĐS: 4. 3). . ĐS: 13. 4). . ĐS: 9. 5). . ĐS: 6. Khai triển lủy thừa cĩ nhiều số hạng Ví dụ:Tìm hệ số của x9 trong khai triển . Giải: Ta thấy . Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2 Ta cĩ số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là: . Để x9 xuất hiện là k + i = 9, với 0 £ i £ k £ 8. Suy ra: Hêệ số của x9 trong khai triển là: . Chú ý: Khi giải bài tốn trên ta cĩ thể áp dụng cho a = 1 + 2x, b = -3x2 Bài tập tương tự: Tìm hệ số của: 1). x4 trong khai triển . ĐS: a5 = 19. 2). trong khai triển . ĐS: a6 = –51. 3). trong khai triển . ĐS: a6 = –266. 4). trong khai triển . ĐS: a8 = –19440. 5). trong khai triển . ĐS: i, k không tồn tại nên a = 0. 6). trong khai triển . (Khối A/2004). ĐS: a5 = 238. 7). Cho gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để . (Khối D/2003). HD: . Hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn. Ví dụ 1: Trong các hệ số của khai triển (a + b)n ( n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cho trước , k là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n ). Tìm hệ số khai triển lớn nhất Giải Đặt ak = Nếu ak £ ak + 1 Û Nếu n là số nguyên dương lẻ Þ n – 1 là số tự nhiên chẳn Þ Þ a1 £ a2 £ a3 £ ………….. £ Þ hệ số cĩ giá trị lớn nhất trong trường hợp này là: Nếu n là số nguyên dương chẳn Þ Þ a1 £ a2 £ a3 £ ………….. £ Þ hệ số cĩ giá trị lớn nhất trong trường hợp này là: Vậy (n ỴN) Ví dụ 2:Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức . Giải: Ta có (0 £ k £ 12) Þ hệ số của xk trong khai triển là Nếu Û Þ a0 £ a1 £ a2 £ a3 £ ….. £ a9 ³ a10 ³ a11 ³ a12 Þ Max k = 8 (nhận). Vậy hệ số lớn nhất là . Bài tập tương tự: 1). Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển . ĐS: . 2). Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển: a) . ĐS: . b) . ĐS: . 3). Tìm x > 0 sao cho số hạng thứ 50 của khai triển là lớn nhất. HD: . 4). Tìm x sao cho số hạng thứ 50 của khai triển có giá trị lớn nhất, biết rằng x + y = 1 và x > 0, y > 0. HD: (nhận). Các bài toán chứng minh. Ví dụ: Chứng minh rằng . Giải: Ta có Hệ số của xn trong khai triển là (1). Hệ số của xn trong khai triển là, với i + j = n (2). Từ (1), (2) ta có Hay , mà nên ta có: . Bài tập tương tự: Chứng minh các đẳng thức: 1). . HD: cho x = – 1. 2). với 5 £ k £ n. HD: . 3). , với m £ k £ n. HD: . 4). . HD: , cho x = 3. 5). . HD: cho x = ± 3 rồi cộng vế. Bài tốn cĩ liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn: Ví dụ: Tính tổng: S1 = Giải Xét P(x) = (1 + x)100 = P'(x) = 100(1+ x)99 = Þ P' (1 ) = 100.299 = Þ S1 = 100.299 Nhận xét: Khi thấy bài tốn tính tổng cĩ dạng:S = , với là các hệ số khai triển của một nhị thức Niutơn nào đĩ thì ta vận dụng đạo hàm để tính tổng đĩ. Bài tập tương tự: 1) Tính S2 = 2 ) Tính S3 = 3) Chứng minh rằng: a) b) Bài tốn cĩ liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn Ví dụ: a) Tính b) S = Giải a) Ta cĩ: b) Ta cĩ: (1 + x)10 = Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được: = = Þ S = Bài tập tương tự: 1) Tính A = ĐS: 2) Tính B = ĐS: 3) Chứng minh rằng: