Sáng kiến kinh nghiệm - Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phần I. Mở đầu I. Lí do chọn đề tài. Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Mặt khác do đối tượng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và chưa đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà. Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh: - Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài, học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn. - Thứ hai: Việc giảI bài oán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giảI bài toán này học sinh phảI thường xuyên phảI sử dụng kiến thức liên quan như: GiảI phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi - Thứ ba: Thông qua việc giảI bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, kháI quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sih các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất. Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn như lúng túng khi tìm đường lối giảI có khi vận dụng một cách máy móc dập khuân. Vì những lí do trên, tài liệu này hệ thống một số phương pháp giảI bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc phảI trong quá trình giảI bài toán. II. Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu. Nhằm đè xuất phương pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn. III. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phương pháp giảng dạy ở trường THPT Sơn Thịnh. IV. Cấu trúc kinh nghiệm. Chương I. Các kiến thức cơ bản. Chương II. Các dạng bài toán về tính đơn điệu. Phần II. Nội dung kinh nghiệm. Chương I. Các kiến thức cơ bản. I. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. 1. Định nghĩa. Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu (a;b) mà - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu (a;b) mà Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện tương đương với định nghĩa. Giả sử (a;b), - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) trên khoảng (a;b). Từ đó suy ra: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) f’(x)= trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) f’(x)= trên khoảng (a;b). II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số. 1. Định lí 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). a, Nếu f’(x)>0 (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b, Nếu f’(x)<0 (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. 2. Định lí 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f’(x)0 ( hoặc f’(x)0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. 3. Điểm tới hạn: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và (a;b). Điểm được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không sác định hoặc bằng 0. 4. Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số: - Tìm khoảng đơn điệu của hàm số được thông qua bảng biến thiên. a, Tìm các khoảng giới hạn. b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng. III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng. 1. Hàm số bậc nhất: y= ax+b (a 0) - Tập xác định: R y’ = a. a>0 y’ > 0 Hàm số luôn đồng biến. a<0 y’ < 0 Hàm số luôn nghịch biến. 2. Hàm số bậc hai: y = (a 0) - Tập xác định: R y’ = 2ax + b. y’ = 0 + Nếu a>0 x y’ - 0 + y Hàm số đồng biến trên (;) và nghịch biến trên (;). + Nếu a<0 x y’ + 0 - y Hàm số nghịch biến trên (;) và đồng biến trên (;). - Vẽ đồ thị: a>0 a<0 3. Hàm số bậc ba: y = (a 0) - Tập xác định: R y’ = (a 0) = = + a, < 0 y’ cùng dấu với a. Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến. Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến. * Bảng biến thiên: a>0 x y’ + + y a<0 x y’ - - y * Đồ thị: a>0 a< 0 + b, = 0 y’ cùng dấu với a với . Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng và tiếp tục đồng biến trên khoảng . Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến và tiếp tục nghịch biến trên khoảng . * Đồ thị: a>0 a< 0 + c, > 0 y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ). a>0 x y’ + 0 - 0 + y f() f() a<0 x y’ - 0 + 0 - y f() f() * Đồ thị: a>0 a<0 4. Hàm số trùng phương: y = (a 0) - Tập xác định: R y’ = = - Nếu b > 0 y’ = 0 có một nghiệm x = 0 a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ; ). a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ; ) * Bảng biến thiên: a>0 x 0 y’ - 0 + y f(0) a<0 x 0 y’ - 0 + y f(0) * Đồ thị : a>0 a<0 + b 0 y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x = 0 ; x = * Bảng biến thiên: a>0 x 0 y’ - 0 + 0 - 0 + y f(0) f() f() a<0 x 0 y’ - 0 + 0 - 0 + y f() f() f(0) * Đồ thị: a>0 a<0 Chương ii. Các dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1. Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. * Phương pháp giải: - TXĐ. - Tìm điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên. - Suy ra chiều biến thiên của hàm số. * Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: a, y = 2 – x - . b, y = . c, y = . d, y = . e, y = . Giải: b, y = . - TXĐ: R - y’ = > 0 , Hàm số đồng biến trên khoảng () c, y =. - TXĐ: R - y’ = Y’ = 0 Bảng biến thiên: x -1 0 1 y’ - 0 + 0 - 0 + y Hàm số nghịch biến trên khoảng () và (0;1) Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; ) * Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: a, y = - x. b, y = x. lnx. Giải: a. TXĐ: R . y’ = - 1. y’ > 0 - 1 > 0 > 1 = x > 0. y’ < 0 x < 0. Hàm số nghịch biến trên khoảng () Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) b, y = x. lnx. TXĐ: y’ = lnx + x. = lnx + 1 y’ > 0 lnx > 1 = x > = . y’ < 0 lnx < 1 = x < = . Hàm số nghịch biến trên khoảng () Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x). Có tập xác định R. Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến. * Phương pháp giải: - Tính y’. - Hàm số luôn đồng biến y’ 0, Bài toán trở thành “ Tìm điều kiện để y’ 0, ”. +) Giả sử y’ = f’(x) = (a 0) Để hàm số đồng biến +) Giả sử y’ = f’(x) = (a 0) Ta thấy: Hàm số có đạo hàm là một nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm đồng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến được. +) Giả sử y’ = f’(x) = (a 0) y’ = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tương ứng không thể đồng biến. * Chú ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm tương tự như trên. * Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R. y = x + cosx. Giải: TXĐ: R y’ = 1 – sinx 0, . Vì Hàm số luôn đồng biến trên R. * Ví dụ 2: Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Giải: y’ = . ’ = = = Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có: y’ 0, . Vậy các giá trị của m cần tìm là * Ví dụ 3: Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + 1 )cosx. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến. Giải: y’ = (m – 3) + (2m + 1)sinx Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có: y’ 0, , . Đặt t = sinx với . Bài toán trở thành: Xác định m để: g(t) = (m – 3) + (2m + 1).t 0, Vậy giá trị của m cần tìm là: * Ví dụ 4: Cho hàm số y = . Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến. Giải: y’ = . ’ = = = Vì . Do đó, y’ = 0 luôn coc hai nghiệm phân biệt, m . Suy ra đạo hàm không luôn luôn dương. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến. * Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (). * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m). Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) , . +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng (). hoặc +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng (). * Chú ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng (). * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = đồng biến trong khoảng . Giải: y’ = ’ = = = -) Nếu m = -1 . Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trong khoảng . Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp. -) Nếu m -1 , y’ có hai nghiệm phân biệt . Giả sử . Ta có, y’ . Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng là: và m -1 Vậy: * Ví dụ 2: Xác định m để hàm số: y = đồng biến trong khoảng . Giải: y’ = y’ = 0 có hai nghiệm x = 1, x = m + 1. -) Nếu m = 0 Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến . Do đó, giá trị m = 0 thích hợp. -) Nếu m 0: y’ có hai nghiệm phan biệt . Giả sử . Ta có, y’ . Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng là: y’ Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán. * Ví dụ 3: Xác định m để hàm số: y = nghịch biến trong khoảng . Giải: TXĐ: R\ y’ = m * Bài toán 4: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (). * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m). Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) , . +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng (). hoặc +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng (). * Chú ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng (). * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = đồng biến trong khoảng . Giải: y’ = ’ = = = Để hàm số đồng biến trên khoảng , thì y’ . Vậy * Ví dụ 2: Xác định m để hàm số: y = nghịch biến trong khoảng . Giải: TXĐ: R\ y’ = Để hàm số nghịch biến trên khoảng , thì y’ giảm trên khoảng * Bài toán 5: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (). * Phương pháp giải: y’ = f’(x;m). Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) , . +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Nếu a>0 thì Hoặc hoặc hoặc Nếu a>0 thì +) Giả sử y’ = g(x) = (a 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x). Ta cần có y’ hoặc * Chú ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng (). * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = đồng biến trong khoảng . Giải: y’ = y’ = 0 Giả sử . Ta có, y’ . Hàm số đồng biến trong khoảng . Điều kiện phải có là: với g(x) = Vậy * Ví dụ 2: Xác định a để hàm số: y = đồng biến trong khoảng . Giải: y’ = y’ có hai nghiệm phân biệt . Giả sử . Ta có, y’ . Hàm số đồng biến trong khoảng . Điều kiện phải có là: với g(x) = Vậy Kết quả kinh nghiệm Tài liệu này đã được thông qua tổ, được các đòng nghiệp góp ý. Qua quá trình giảng dạy đã được bổ sung. Tài liệu này đã đạt được một số kết quả: - Hệ thống được các phương pháp giải toán xác định tính đơn điệu của hàm số, mỗi phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ cụ thể. - Thông qua việc giảI bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số giúp học sinh cùng cố, đào sâu kiến thức, thấy được sự liên hệ chặt chẽ các kiến thức toán học. - Việc giảI bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số không chỉ nhằm hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà còn phát huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh. Đây chính là vấn đề mấu chốt, là mục tiêu cơ bản của dạy học hiện đại. Những két quả trên đây tuy còn nhỏ bé nhưng cũng giúp cho việc giảng dạy và học tập được chủ động và đạt kết quả cao hơn. Học sinh có tiến bộ và yêu thích môn toán hơn. Tuy nhiên tài liệu vẫn còn sơ sài, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp để tài liệu được đầy đủ và hoàn thiện hơn. TôI xin chân thành cảm ơn.