Sáng kiến kinh nghiệm Bình phương của một tổng

I . lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lý luận: Trong sự nghiệp chiến đấu bảo vệ tổ quốc, cũng như trong sự nghiệp xây dựng đất nước .Việc tìm ra con đường cách mạng cũng như phương pháp cách mạng đúng đắn khoa học, là yếu tố quyết định sự thành công, nó có một ý nghĩa chiến lược và là sự sống còn của cách mạng. Cũng như trong toán học việc tìm ra hướng đi cũng như phương phảp để giải toán là rất quan trọng. Như chúng ta đều biết, không có phương pháp chung nào để giải mọi bài toán, và việc giải một bài toán có thể có nhiều phương pháp nhưng việc lựa chọn phương pháp tối ưu, để giải một bài toán là rất cần thiết. Nó giúp người giải toán tiết kiệm được thời gian và công sức, để đi đến kết quả nhanh nhất, đơn giản nhất 2.Cơ sở thực tiễn: Hiện nay học sinh giải toán còn gặp nhiều khó khăn về phương pháp, nhất là trong trình bày lời giải, không ít em trình bày chỗ thừa, chỗ thiếu và không ít em để lại những sai sót cơ bản. Đặc biệt là các em học thuộc lý thuyết nhưng không biết vận dụng vào giải các bài tập.Với học sinh lớp 8, 9 trở lên khi nói đến 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì em nào cũng có thể nhớ và viết được công thức tổng quát. Nhưng khi áp dụng vào giải các bài tập thì rất lúng túng. Xuất phát từ những lý do đó bản thân tôi đề xuất đề tài ứng dụng hằng đẳng “Bình phương của một tổng” vào việc giải một số dạng toán nhằm góp phần khắc phục phần nào những tồn tại nêu trên. Vậy vận dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” vào giải bài toán như thế nào. Sau đây tôi xin trình bày một số dạng bài toán áp dụng bình phương của một tổng trong quá trình giải . 3. Mục đích của đề tài. Giúp và định hướng cho các em biết vận dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” vào việc giải các dạng bài tập rèn luyện cho học sinh tư duy lô gích, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo…. 4. Phương pháp nghiên cứu. -Nghiên cứu thực trạng của việc dạy học vấn đề này, từ đó đề xuất phương pháp giải các dạng toán. -Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc rền luyện tư duy, cho học sinh thông qua dạy học toán 5. Giả thiết khoa học. Nếu áp dụng một cách thích hợp hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” đồng thời đổi mới việc dạy học vấn đề này theo hướng tư duy sáng tạo cho học sinh thì sẽ nâng cao được chất lượng môn toán lớp 8 lớp 9 của bậc trung học cơ sở. II. Nội dung 1. Cách xác định các thành phần của hằng đẳng thức (A, B là số hoặc biểu thức) Ví dụ 1: Điền vào chỗ “?” để có dạng bình phương của một tổng ( ? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 Xét vế phải: x2 + ? + 4y2có dạng bình phương của một tổng suy ra x2 +? + 4y2 phải có dạng ta có A2 = x2 hay A = x; B2 = 4y2 hay B = 2y hạng tử phải điền vào là 2A.B = 2x. 2y = 4xy vậy ta có (x+2y)2= x2+ 4xy + 4y4 Ví dụ 2: (?-?) = a2- 6ab + ? Xét vế phải: a2- 6ab + ? = a2 – 2a.3b + ? ta dễ dàng xác định được A = a; B = 3b Hạng tử phải điền vào là B2 = (3b)2= 9b2 vậy ta có đẳng thức (a- 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2 Hai ví dụ này đơn giản nhưng sẽ giúp học sinh xác định được thành phần của hằng đẳng thức trong các dạng toán khác nhau. 2. Nội dung A. Vận dụng cụ thể vào các dạng toán: Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức: Ví dụ 1: tính nhanh P = 572+ 114.43 + 432 ở đây ta thấy trong P có hạng tử 572 và 432. Ta xác định A = 57, B = 43 và nghĩ đến việc tách 114.43 = 2A.B Ta có 114.43 = 2. 57. 43 = 2.A.B Như vậy đưa được P về dạng “ bình phương của một tổng”, việc tính toán trở nên đơn giản hơn P = 572+ 114.43 + 432 = 572+ 2.57.43 + 432 = (57 + 43)2 = 1002 = 10 000 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: M = a3 + b3 – ab2- a2b với a = 5,75; b = 4,25 Ta thấy trong biểu thức M có chứa các hạng tử – ab2 ; a2b ta nghĩ ngay đến việc phân tích xem có thể tách, nhóm các hạng tử để xuất hiện dạng “bình phương của một tổng” ta có - ab2 = - 2ab2 + ab2 ; - a2b = - 2a2b + a2b Khi đó ta nhóm các hạng tử M = (a3 – 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b) Đặt nhân tử chung ở mỗi nhóm được M = a(a2 – 2ab + b2) + b(b2 – 2ab + a2) Các biểu thức trong ngoặc là dạng “bình phương của một tổng” ta chỉ việc thu gọn biểu thức rồi thay các giá trị của a, b vào biểu thức để tính. Giải: M = a3 + b3 – ab2- a2b = a3 + b3 – 2ab2 + ab2 - 2a2b + a2b = (a3 – 2a2b + ab2) + (b3 - 2ab2 + a2b) = a(a2 – 2ab + b2) + b(b2 – 2ab + a2) = a(a – b)2 + b(b- a)2 = (a – b)2(a + b) Với a = 5,75; b = 4,15 M = (5,75 – 4,25)2(5,75 + 4,25) = 1,52.10 = 22,5 Vậy M = 22,5 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A = Xét biểu thức C = x + ta thấy hệ số của x của biểu thức dưới căn là 2 vậy ta dự đoán các thành phần của hằng đẳng thức có thể là: A = Có nghĩa là: (A + B)2 = = 2x – 1 + = 2x + = 2(x + ) Tương tự Muốn thu gọn A trước hết ta tính A. khi đó các biểu thức dưới dấu căn ở vế phải có dạng bình phương của một tổng như trên, từ đó ta khử các dấu căn để thu gọn biểu thức Giải: Điều kiện = = - = ││ Nếu x Nếu * Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức: Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = 1 – 2a +2bc +a2 – b2 – c2 Ta dễ dàng nhóm các hạng tử với nhau (1 -2a + a2), -(b2 -2bc +c2) Xuất hiện dạng bình phương của một tổng, khi đó biểu thức P có dạng hiệu 2 bình phương suy ra ta phân tích các nhân tử Giải: P = 1 – 2a +2bc +a2 – b2 – c2 = (1 – 2a + a2) – (b2 – 2b.c + c2) = (1 – a)2 – (b – c)2 = (1 – a + b – c)(1 – a – b + c) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử Q(x,y) = 9x6 + 24x3y2 + 16y4 Ta dễ thấy 9x6 = (3x3)2; 16y4 = (4y2)2 suy ra A = 3x3 , B = 4y2 Ta tách 24x3y2 = 2(3x3)(4y2) = 2A.B Q(x,y) = (3x3)2 + 2.(3x3)(4y2) + (4y2)2 = (3x3 + 4y2)2 Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: M = - 16a4b6 – 24a5b5 - 9a6b4 Nhìn vào biểu thức M ta chưa thấy ngay dạng “Bình phương của một tổng”, mà thấy các hạng tử có các hệ số của hạng tử là 16 = 42; 9 = 32 (24 = 2.3.4 ) Ta nghĩ đến có thể đưa về dạng “B ình phương của một tổng” Các hạng tử trong đa thức có thừa số chung là ta đặt ra ngoài . khi đó biểu thức trong ngoặc có dạng “Bình phương của một tổng” trong đó A = 4b B =3a; 2AB = 2.4b.3a = 24ab M Đối với dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử việc phân tích bài toán, để đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng, hoặc chứa bình phương của một tổng giúp chúng ta đưa về dạng tích một cách nhẹ nhàng hơn. Đặc biệt là đối với những biểu thức có chứa các hạng tử có dạng bình phương hay lũy thừa bậc chẵn của một số và tích của các số đó.Tuy nhiên trong quá trình phân tích cần phải sử dụng thêm một số hằng đẳng thức khác . Bài tập tương tự : Phân tích đa thức thành nhân tử 1)25x4 -10x2y + y2 2)( a2+b2-5)2- 4( ab+2)2 3)2 4) 4x2 + 81 Dạng 3: Giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình 2x - x2 + 3 = 0 (1) = 0 Ta thấy vế trái của phương trình không có dạng bình phương của một tổng nhưng có chứa các hạng tử x2 - 2x Ta có A = x; 2AB =-2xta có các thành phần của Bình phương của một tổng . Muốn vậy ta tách -3 = 1- 4 x2- 2x-3 =(x2- 2x+1)-4= (x-1)2- 4 Như vậy (I) Ví dụ 2: Giải phương trình (Đ/K: x) để giải phương trình (I) ta chuyển vế một căn thức để hai vế của phương trình không âm, sau khi bình phương hai vế, chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái của phương trình ta có : Ta dễ dàng nhìn thấy các hạng tử nhóm với nhau để có dạng “Bình phương của một tổng” Do Lúc này vế trái của phương trình là tổng các hạng tử không âm nên vế trái bằng không các hạng tử đó bằng không .. Nên (thoả mãn điều kiện ) Vậy phương trình có nghiệm : x=-1, y=1/2 Ví dụ 3: Giải phương trình (II) (Đ/K: Vế trái của phương trình (II) có chứa các hạng tử để các hạng tử đó là thành phần của “Bình phương một tổng” Với A = x; Ta thêm vào hai vế của phương trình (II)với Từ (II) suy ra Đặt y= Ta được phương trình y2+ 4y -12=0 (*) Giải phương trình (* ) ta được y1=2, y2=- 6 Với y1=2 (thõa mãn pt (II) và Đ/K) Với y2 = - 6 phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình (II) có nghiện là x = Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình (III) Hai vế của phương trình (II) đều có dạng tích, ta khai triển chuyển các hạng tử sang vế trái ở vế trái có chứa các hạng tử x2 ; xy; y2 ; x ; y ;1 Để có thể tạo ra được các thành phần của hằng đẳng thức, ta nhân cả hai vế với 2 Lúc này vế trái có các hạng tử 2xy; -2x; 2y. Ta nghĩ đến tách 2x2 = x2+x2;2y2 = y2+y2; 2 =1+1. Sau đó chọn các hạng tử nhóm với nhau để các nhóm có dạng “Bình phương của một tổng”. Ta có Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và y = -1 Khi giải PT việc áp dụng “Bình phương của một tổng” mục đích đưa phương trình về dạng tích về hoặc dạng A2(x,y) + B2(x,y) + C2(x,y) + ... = 0 Hoặc dạng phương trình bậc hai một ẩn đơn giản hơn Các bài tập tương tự : Giải phương trình : 1, 2, Dạng 4: Giải bài toán cực trị Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức A ta cần chứng minh A( hoặc AK ) với K là hằng số, với mọi giá trị thích hợp của biến. Khi đó GTNN ( GTLN) của A bằng K . Với tính chất ( A+B) 2 ta có thể áp dụng “Bình phương của một tổng” vào giải các bài toán cực trị. 1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Biến đổi P = a Nếu a > 0: P có giá trị nhỏ nhất là K = khi x = Nếu a < 0: P có giá trị lớn nhất là K = khi x = Vậy tam thức bậc 2 luôn có cực trị, kỹ năng cần rèn luyện ở đây là phải biết đưa hạng tử ax2 và bx vào trong một bình phương Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 -2x +5 Ta thấy các hạng tử của M có chứa các hạng tử x2,-2x ta tách 5 = 4+1 ta sẽ có các hạng tử là các thành phần của “Bình phương của một tổng” Ta có M = x2 -2x +5 = vì Vậy Mmin = 4 tại x= 1 2. Đa thức một biến bậc 2n (nguyên dương ) Các đa thức bậc chẵn luôn có giá trị lớn nhất hoặc giá trị bé nhất. Còn các đa thức bậc lẻ chỉ có cực trị địa phương ( nếu có ) Phương pháp : Đưa về tổng các bình phương của các biểu thức cộng với 1 hằng số Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a, A = x4 - 4x3+5x2 - 4x +4 Với đa thức này ta cần chú ý: Nếu đưa hạng tử cao nhất vào trong bình phương thì hạng tử bậc tiếp theo cũng phải đưa vào trong bình phương đó . Giải : A = x4 - 4x3+5x2 - 4x + 4 ta đưa và 4x3 vào trong bình phương dạng Vậy Amin = 0 tại x=2 Như vậy nếu x4 là hạng tử a2 thì 4x3 chính là 2ab . Khi đã đưa được các hạng tử bậc cao thì các những hạng tử còn lại, có thể đưa vào bình phương khác nhưng phải thỏa mãn các bình phương đó có giá trị của biến để chúng đồng thời bằng không hoặc có thể đưa tiếp vào bình phương với các hạng tử bậc cao đó . Ta xét ví dụ: B = x4 - 2x3+ 3x2 – 2 x+ 1 Vì với nên ta tiếp tục biến đổi Vậy Bmin = tại x = Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của nó. (có những em khi giải đến thì kết luận ngay là B nên suy ra B min = 0 mà không để ý rằng B thực sự lớn hơn không) đặc biệt là các bình phương của một tam thức bậc hai . b) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức C = 4x4+ 20x3+13x2- 30x - 7 Ta đưa 4x2 vào trong bình phương thì hạng tử 20x3cũng được đưa vào trong bình phương đó .Tức là 4x2 đóng vai trò là a2 thì 20x3 chính là 2ab trong bình phương Ta có : C = Vậy : F min = -16 tại Bài tập tương tự : Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x2- 8x + 1 B = x4- 6x3 + 10x2- 6x+9 c, D = x6 - 2x3+ x2 - 2x + 2 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức e) -x4+16x2+12x-93 f) -x4 + 2x3 - 6x2+ 10x - 8 g) -x4 + 4x3 - 7x2+ 12x +18 3.Tìm Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bậc cao nhiều hơn hai biến . Phương pháp : Đưa về tổng các bình phương của các biểu thức cộng với 1 hằng số. Để làm được điều đó ta chọn một biến làm biến chính và vận dụng hằng đẳng thức , chú ý thêm bớt các hạng tử, tùy từng bài toán cụ thể mà ta chọn biến x hay y … làm biến chính để việc biến đổi được đơn giản và ngắn gọn nhất . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x2 –xy +y2 -2x -2y Cách 1: nhân 2 vế với 2 rồi tìm cách tách và thêm bớt ở vế phải để xuất hiện tổng các bình phương .. 2E = 2 x2 – 2 xy + 2y2 - 4x - 4y = x2 - 4x + 4 + y2- 2xy + x2+ y2 - 4y + 4 -8 = (x -2)2+ (y-x)2 +(y -2)2 -8 -8 E Vậy Emin = - 4 tại x = y = 2 Cách 2: Chọn biến x làm biến chính và biến đổi E như sau : E = x2 - (y +2)x +y2 - 2y = x2 -2x + - + y2 - 2y =+ = + = + = + Vậy: Emin = - 4 tại x = y = 2 Ta cũng có thể chọn biến y làm biến chính và biến đổi tương tự ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12y + 2002 Ta thấy hệ số của y2 là một số chính phương nên ta chọn biến y làm biến chính và biến đổi như sau : A = 9y2 - 6(x+2)y + 2x2 - 6x + 2002 A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 - (x+2)2 + 2x2 - 6x + 2002 A = (3y)2- 2.3y (x+2) + (x+2)2 + x2 -10x +1998 A = (3y – x -2 )2 + (x-5)2+1973 1973 Vậy Amin = 1973 tại x = 5 , y = ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x2+2y2 +3z2 - 2xy +2xz - 2x - 2y - 8z + 2002 Ta thấy hệ số của x2 là số chính phương nên ta chọn biến x làm biến chính và biến đổi như sau : B = x2 - 2x(y – z +1) + (y-z +1)2 + y2 +2z2 - 4y + 2yz - 6z + 2001 B = (x- y +x -1)2 + y2 +2z2 - 4y +2yz - 6z +2001 ta lại chọn biến y làm biến chính và biến đổi tiếp B = (x- y +x -1)2 +y2 - 2y(2-z) + (2 –z )2 – (2-z)2 + 2z2 - 6z +2001 B = (x- y +x -1)2 + (y-2+z)2 + z2-2z +1997 B = (x- y +x -1)2 + (y-2+z)2+ (z-1)2 +1996 1996 Vậy Bmin = 1996 tại x = y = x =1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = -5x2 - 2xy - 2y2 +14x+10y -1 Trong ví dụ 6 hệ số của x2 và y2 không phải là số chính phương ta cũng có thể chọn một trong hai biến làm biến chính Chọn biến chính là y và biến đổi như sau: C =-2y2 -2(x-5)y -5x2+14x -1 =-2 ==-2+ =-2+ =-2- Vậy MaxC = 16 và y+ Như vậy : Với cách giải này mọi bài to án về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng ax2 +by2 +cxy +dx +ye + f đều thực hiện được nhanh chóng. Bài tập tương tự : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a, A = 5x2+ 8xy + 5y2+ 2x + 2y b, B = 2x2 + 4y2- 4xy + 4x - 4y + 2009 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a, C= -5x2-2xy -2y2 +14x +10y -10 b, D = -8x2- y2+ 4xy+10x +6y +25 4. Phân thức có dạng Phương pháp: Đưa y về dạng Hoặc Để biến đổi được các biểu thức về dạng trên, ta phải thêm bớt ở tử nhằm làm xuất hiện bình phương của một biêủ thức Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = Hạng tử 4x phải đưa vào trong bình phương và nó đóng vai trò là 2ab của bình phương. Vì vậy ta tách 4x = 2.x.2 = 2.2x.1 Ta cho các em thử chọn để có cặp số thích hợp cho Min hoặc Max tìm Min ta chọn cặp a = x; b = 2 Ta có : Vậy A min = -1 tại x = -2 Bây giờ để tìm giá trị lớn nhất ta chọn cặp a = 2x ; b = 1 ta có Vậy A măx = 4 tại x= Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau : Ta có : 12x = 2.6.1x = 2.2x.3 = 2.3x.2 = 2.x.6 Thử với các cặp đã phân tích để chọn cặp thích hợp Ta có Vậy B min =-1 tại x= 6 Vậy B max = 4 tại x = Với các phân thức dạng này ta có thể rèn luyện khả năng tư duy của các em bằng những bài toán khó hơn : Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức : Ta tách hạng tử 2x = 2.x.1 và để tìm giá trị lớn nhất ta biến đổi như sau : Vậy P max = 1 tại x = 1 Với cặp hạng tử x.1 ta không tìm được giá trị nhỏ nhất , vậy ta phải làm thế nào ? Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức mà vẫn để các hạng tử có hệ số nguyên, ta biển đổi như sau: Ta có 4x = 2.2x.1= 2.x.2 chọn cặp x.2 ta có Vậy Qmin= tại x= -2 Như vậy: Với phân thức dạng này việc tìm Min, Max là khó đối với các em, nhưng ta làm cho các em hiểu được cơ sở của phép biến đổi này, là xuất phát từ hạng tử chứa biến bậc nhất ở tử, thì các em sẽ biết cách thử chọn các cặp số thích hợp, và cũng là cơ sở để các em giải các bài tập đưa ra ngoài dấu căn, với các biểu thức chứa căn tầng ở lớp 9. B Kết luận 1.Hiệu quả: Việc sử dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” có nhiều tác dụng đó là: - Nhiều bài toán tưởng chừng như không giải được ví dụ như tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bậc cao nhiều hơn hai biến dạng ax2 +by2 +cxy +dx +ye + f . Nhưng nếu biết áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” vào giải thì bài toán trở nên dễ dàng, hấp dẫn và thú vị . - Có nhiều bài toán phức tạp nhưng khi xác định được dạng có thể đưa được về dạng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” hay có chứa dạng hằng đẳng thức này thì bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn. - Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng thì ta có thể giải được nhiều bài toán ở nhiều dạng khác nhau. -Thực tế vận dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” học sinh dễ hiểu khi giải một số dạng bài tập. Các em đã ngày càng làm được nhiều dạng bài tập hơn, lời giải trình bày đơn giản ngắn gọn thể hiện tính chắt chẽ chính xác lô gích nhiều hơn, nhiều em trình bày khá độc đáo và quan trọng hơn là các em ngày càng hứng thú học toán. 2.Phạm vi áp dụng - Giải được nhiều bài toán ở các lớp 8,9 và các lớp trên . - Có thể áp dụng cho các biểu thức số hoặc biểu thức chứa chữ. 3. Kết luận chung : Như ta đã biết sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng vào giải các bài toán có hiệu quả cao, song muốn vận dụng tốt cần chú ý những điểm sau: - Cần nắm vững hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” để đưa các biểu thức về dạng tức là phải xác địh cụ thể biểu thức A, biểu thức B trong bài toán là gì và chú ý rằng (A+B)2 Ta có thể mở rộng đẳng thức: (A +B + C+…)2 = A2 + B2 + C2+…+ 2 A.B +2A.C +2B.C+… (A+B)2k = C02kA2k+C12kB + …+ C2k-1 B2k với Sử dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” có thể giải được các dạng toán: Tính giá trị của biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, bài toán cực trị, chứng minh một số là số chính phương trong đó ưu thế nhất là đối với dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, khai căn bậc hai, tìm cực trị. Như ban đầu đã nói: Không có phương pháp chung để giải mọi bài toán, việc dùng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” không phải bài toán nào cũng giải được, vì vậy ta phải phân tích các thành phần của biểu thức, xem nó có thể biến đổi để đưa về dạng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, chắc còn có nhiều khiếm khuyết trong cách trình bày cũng như nội dung rất mong được lắng nghe, ý kiến góp ý của ban giám khảo và các bạn đồng nghiệp. Tháng 3 năm 2010